26 最值问题隐圆模型

最值问题隐圆模型（全国通用） 一、单选题 1．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B，B＝4m，D 是中线，点E、F 同时从点D 出发，以相 同的速度分别沿D、DB 方向移动，当点E 到达点时，运动停止，直线E 分别与F、B 相交 于G、，则在点E、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ） ．2 B．π ．2π D． π 【答】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：如图， ∵＝B，∠B＝90°，D＝DB， ∴D⊥B， ∴∠DE＝∠DF＝90°，D＝D＝DB， 在△DE 和△DF 中， ， ∴△DE≌△DF（SS）， ∴∠DE＝∠DF， ∵∠ED＝∠EG， ∴∠DE＝∠GE＝90°， ∴、、G、D 四点共圆， ∴点G 的运动轨迹为弧D， ∵B＝4，B ， ∴＝2 ， ∴＝ ， ∵D＝D，＝， ∴D⊥， ∴∠D＝90°， ∴点G 的运动轨迹的长为 π． 故选：D． 2．如图，△B 中，＝B＝4，∠B＝90°，点P 为上的动点，连BP，过点作M⊥BP 于M．当 点P 从点运动到点时，线段BM 的中点运动的路径长为（ ） ． π B． π ． π D．2π 【答】 【解析】 【分析】 【详解】 解：设B 的中点为Q，连接Q，如图所示： ∵为BM 的中点，Q 为B 的中点， ∴Q 为△BM 的中位线， ∵M⊥BP， ∴Q⊥B， ∴∠QB＝90°， ∴点的路径是以QB 的中点为圆心， B 长为半径的圆交B 于D 的 ， ∵＝B＝4，∠B＝90°， ∴B ＝4 ，∠QBD＝45°， ∴∠DQ＝90°， ∴ 为⊙的 周长， ∴线段BM 的中点运动的路径长为： π， 故选：． 3．如图，在 中， ， m， m． 是 边上的一个动点， 连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是 （ ） ．1 B． ．2 D． 【答】 【解析】 【分析】 由∠E＝90°知，点E 在以为直径的⊙M 的 上（不含点、可含点），从而得BE 最短时， 即为连接BM 与⊙M 的交点（图中点E′点），BE 长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】 如图， 由题意知， ， 在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ， 最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点）， 在 中， ， ，则 ． ， 长度的最小值 ， 故选： ． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时， 注意辅助线的作法． 4．如图，菱形BD 的边B=8，∠B=60°，BP=3，Q 是D 边上一动点，将梯形PQD 沿直线 PQ 折叠，的对应点为′．当′的长度最小时，Q 的长为（ ） ．5 B．7 ．8 D．65 【答】B 【解析】 【分析】 作⊥B 于，如图，根据菱形的性质可判断△B 为等边三角形，可求得，B，P，在Rt△P 中， 利用勾股定理计算出P，再根据折叠的性质得点′在以P 点为圆心，P 为半径的弧上，利用 点与圆的位置关系得到当点′在P 上时，′的值最小，然后证明Q=P 即可． 【详解】 解：作⊥B 于，如图， ∵菱形BD 的边B=8，∠B=60°， ∴△B 为等边三角形，B=8 ∴B=4， ， ∵PB=3， ∴P=B-BP=4-3=1， 在Rt△P 中， ， ∵梯形PQD 沿直线PQ 折叠，的对应点′， ∴点′在以P 点为圆心，P 为半径的弧上， ∴当点′在P 上时，′的值最小， ∴∠PQ=∠PQ，而 ， ∴∠PQ=∠QP， ∴∠QP=∠PQ， ∴Q=P=7． 故选：B． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，求圆外一点 到圆的距离的最值问题，解决本题的关键是确定点′在P 上时，′的值最小． 5．如图， 的半径是 ，P 是 上一动点，是 内部一点，且 ，则下列说 法正确的是（ ） ①P 的最小值为 ；②P 的最大值为 ；③当 时，△P 是等腰直角三 角形；④△P 面积最大为 ． ．①③④ B．①②④ ．①②③ D．②③④ 【答】 【解析】 【分析】 分析知当在线段P 上时，P 取最小值，在P 延长线上时，P 取最大值，可以判断①②是否 正确；当∠P=90°时，根据勾股定理求出P 的长度，可以判断③是否正确；作出点的轨迹圆， 知当⊥P 时，三角形P 面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可． 【详解】 解：由题意知，当在线段P 上时，P 取最小值，在P 延长线上时，P 取最大值， ∴P 的最小值为 ，P 的最大值为 ， 故①②正确； 当∠P=90°时，根据勾股定理得：P= ， 即P=，三角形P 为等腰直角三角形， 故③正确； 作出点轨迹圆如下： 知当⊥P 时，三角形P 面积取最大值，最大值为： ， 故④错误， 综上所述，正确的序号为：①②③， 故选：． 【点睛】 本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是 解决本题的关键． 6．正方形BD 中，B=4，点E、F 分别是D、B 边上的动点，且始终满足DE=F，DF、E 相 交于点G 以G 为斜边在G 下方作等腰直角△G 使得∠G=90°，连接B．则B 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【解析】 【分析】 首先证明 ，从而 ，再根据 ，可求 ， 可知点的运动轨迹为以点M 为圆心，M 为半径的圆，从而可求B 最小值． 【详解】 解：如图，取D 中点，连接G，以为斜边作等腰直角三角形M， 则 ， 在 和 中， ， ∴ （SS）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 是直角三角形， ∴ ， ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点的运动轨迹为以点M 为圆心，M 为半径的圆， 如图，连接BM，交圆M 于 ，过点M 作 于点P， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∵ ， P=MP= ∴ =1， BP=4-1=3 ∴ ， 在 中， ， ∴ ． B ∴ 的最小值为 ． 故选：． 【点睛】 本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的 知识解决． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x 轴、y 轴相交于点、B，点E、F 分别是正方形D 的边D、上的动点，且 ，过原点作 ，垂足为，连接、 B，则 面积的最大值为（ ） ． B．12 ． D． 【答】D 【解析】 【分析】 先证明=，再证点在以直径的圆上运动，则当点在QM 的延长线上时，点到B 的距离最大， 由相似三角形的性质可求MK，KQ 的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】 解：如下图，连接D，交EF 于，连接，取的中点M，连接M，过点M 作MQ⊥B 于Q，交 于点K，作MP⊥与点P， ∵直线y= x−3 分别与x 轴、y 轴相交于点、B， ∴点（4，0），点B（0，-3）， ∴B=3，=4， ∴ ， ∵四边形D 是正方形， ∴D//，==D=4，=4 ，∠=45°， ∴∠ED=∠F，∠DE=∠F， 又∵DE=F， ∴△DE≌△F（S）， ∴D=，E=F， ∴点是D 的中点，即点是的中点， ==2 ∴ ， ∵⊥EF， =90° ∴∠ ， ∴点在以直径的圆上运动， ∴当点在QM 的延长线上时，点到B 的距离最大， ∵点M 是的中点， ∴M=M= ， ∵MP⊥P，∠=45°， ∴P=MP=1， ∴P=3， ∵∠B+∠B=90°=∠B+∠KQ， ∴∠KQ=∠B=∠MKP， 又∵∠B=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴MK= ，PK= ， ∴K= ， ∵∠KQ=∠B，∠B=∠KQ， ∴△KQ∽△B， ∴ ， ∴ ， ∴KQ= ， ∴QM=KQ+MK= + = ， ∴点到B 的最大距离为 + ， ∴△B 面积的最大值= ×5×( + )= ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ 的长． 8．如图，在Rt 和Rt 中， ， ，B=E=5．连接 BD，E，将△ 绕点旋转一周，在旋转的过程中当 最大时，△E 的面积为（ ）． ．6 B． ．9 D． 【答】 【解析】 【分析】 先分析出D 的轨迹为以为圆心D 的长为半径的圆，当BD 与该圆相切时，∠DB 最大，过作 F⊥E 于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、F 的长，代入面积公式求解即可． 【详解】 解：由题意知，D 点轨迹为以为圆心D 的长为半径的圆， 当BD 与D 点的轨迹圆相切时，∠DB 取最大值，此时∠BD=90°，如图所示， 过作F⊥E 于F， ∵∠DE=90°，∠B=90°， ∴∠F=∠BD， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：BD= ， ∴由s∠F=s∠BD 得： ， 即 ， 解得：F= ， ∴此时三角形E 的面积= =6， 故选：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键 是利用D 的轨迹圆确定出∠DB 取最大值时的位置． 9．如图， 是等腰直角三角形，正方形 绕点逆时针旋转 ，再延 长 交 于G，以下结论中：① ；② ；③当 ， 时， ，正确的有（ ） ．3 个 B．2 个 ．1 个 D．都不对 【答】B 【解析】 【分析】 根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质易得△BD≌△F，从而易得①②正确；取B 的中 点，连接G、，则由直角三角形斜边上中线的性质可得G 是B 的一半，即为定值，故可得 点G 的运动路径是以为圆心G 长为半径一段圆弧上运动，从而BG 的长度不是固定的，因 此可对③作出判定． 【详解】 （1）∵四边形DEF 是正方形 ∴D=F，∠DF=∠D+∠F=90゜ ∵△B 是等腰直角三角形，∠B=90゜ ∴B= ∴∠BD+D=90゜ ∴∠BD=∠F 在△BD 和△F 中 ∴△BD≌△F(SS) ∴BD=F，∠DB=∠F 设BG 与交于点M，则∠BM=∠MG ∴∠F+∠MG=∠DB+∠BM=90゜ ∴∠GM=90゜ ∴BD⊥F 故①②均正确； 如图，取B 的中点，连接G、 ∵BG⊥F，B⊥ ∴G、分别是Rt△GB、Rt△B 斜边上的中线 ∴ 在Rt△B 中，由勾股定理得 ∴ 则点G 在以为圆心 为半径的一段圆弧上运动，其中点为此弧的一个端点 所以BG 的长变化的，不可能是定值 故③不正确 故选：B． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上 中线的性质等知识，对③的判断是比较难，判断出点G 的运动路径后问题则迎刃而解． 10．如图， 中， ， ， ，P 是 内部的一个动点，满足 ，则线段P 长的最小值为（ ） ． B．2 ． D． 【答】D 【解析】 【分析】 结合题意推导得 ，取B 的中点，以点为圆心， 为直径作圆，连接P；根据 直角三角形斜边中线的性质，得 ；根据圆的对称性，得点P 在以 B 为直径的 上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点、点P、点三点共线时，P 最 小；根据勾股定理的性质计算得 ，通过线段和差计算即可得到答． 【详解】 ， ， ， ， ， 取B 的中点，以点为圆心， 为直径作圆，连接P， 点P 在以B 为直径的 上，连接交 于点P， 当点、点P、点三点共线时，P 最小 在 中， ， ， ， ， 最小值为 故选：D． 【点睛】 本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关 键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成 求解． 二、填空题 11．如图，长方形BD 中， ，B=2，点E 是D 边上的动点，现将△BE 沿直线BE 折 叠，使点落在点F 处，则点D 到点F 的最短距离为________． 【答】2 【解析】 【分析】 由题意易得点F 的运动轨迹是以点B 为圆心，B 长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆 问题可进行求解． 【详解】 解：由题意得：点F 的运动轨迹是以点B 为圆心，B 长为半径的圆弧， 连接BD，交圆弧于点，如图所示： ∴当点F 与点重合时，点D 到点F 的距离为最短， ∵四边形BD 是矩形， ，B=2， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即点D 到点F 的最短距离为2； 故答为2． 【点睛】 本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F 的运动轨迹． 12．如图，在△B 中，∠＝90°，＝8，B＝10，D 是上一点，且D＝3，E 是B 边上一点，将 △DE 沿DE 折叠，使点落在点F 处，连接BF，则BF 的最小值为_______． 【答】 ## 【解析】 【分析】 先由折叠判断出F 的运动轨迹是为以D 为圆心，D 的长度为半径的圆，当B、D、F 共线且 F 在B、D 之间时BF 最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF 的长度即可． 【详解】 解：由折叠知，F 点的运动轨迹为：以D 为圆心，D 的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F 共线，且F 在B、D 之间时，BF 取最小值， ∵∠＝90°，＝8，B＝10， ∴B=6， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：BD= ， ∴BF=BD－DF= ， 故答为： ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题 属于中考常考题型，根据折叠确定出F 点运动轨迹是解题关键． 13．如图，在锐角△B 中，B＝2，＝ ，∠B＝60°．D 是平面内一动点，且∠DB＝30°，则 D 的最小值是________ 【答】 ## 【解析】 【分析】 作⊥B 于，证明△为等腰直角三角形，求得B= +1，在B 上截取B=B=2，则△B 为等边三 角形，以为圆心，2 为半径作⊙，根据∠DB=30°，可得点D 在⊙上运动，当DB 经过圆心时， D 最小，其最小值为⊙的直径减去B 的长． 【详解】 解：如图，作⊥B 于， ∵B=2，= ，∠B=60°， ∴B= B=1， = ∴ ， = ， ∴△为等腰直角三角形， ∴∠B=45°， B=+B= +1， 在B 上截取B=B=2，则△B 为等边三角形， 以为圆心，2 为半径作⊙， ∵∠DB=30°， ∴点D 在⊙上运动， 当DB 经过圆心时，D 最小， 最小值为4-（ +1）=3- ． 故答为： ． 【点睛】 本题考查了勾股定理，含30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆 周角定理．解题的关键是得出点D 在⊙上运动． 14．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一动点，且 ， 点 为线段 的中点，连接 ，当 取最大值时，点 的纵坐标为____． 【答】 【解析】 【分析】 根据同圆的半径相等可知：点在半径为2 的⊙B 上，通过画图可知，在B 的延长线上时， 最大，根据中点坐标公式可得结论． 【详解】 解：如图，∵点为坐标平面内一点，B=2， ∴在⊙B 上，且半径为2， ∴当在B 的延长线上时，最大， 过点作D⊥x 轴， ∵点 ， 的坐标分别为 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ． ∵D⊥x 轴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ，即 ， 解得： ， ∴点的纵坐标为 ， ∵点 为线段 的中点， ∴点 的纵坐标为 ． 故答为： ． 【点睛】 本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定为最大值时点 的位置是解题的关键． 15．如图，⊙的半径为2，弦B＝2，点P 为优弧B 上一动点，⊥P 交直线PB 于点，则△B 的最大面积是_________． 【答】 【解析】 【分析】 连接、B，如图1，由=B=B=2 可判断△B 为等边三角形，则∠B=60°，根据圆周角定理得 ∠PB= ∠B=30°，由于⊥P，所以∠=60°，因为B=2，则要使△B 的最大面积，点到B 的距离 要最大；由∠B=60°，可根据圆周角定理判断点在⊙D 上，且∠DB=120°，如图2，于是当点 优弧B 的中点时，点到B 的距离最大，此时△B 为等边三角形，从而得到△B 的最大面积． 【详解】 解：连接、B，如图1， = ∵B=2，B=2， ∴△B 为等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠PB= ∠B=30°， ∵⊥P， =60° ∴∠ ， ∵B=2，要使△B 的最大面积，则点到B 的距离最大， 作△B 的外接圆D， ∵∠B=60°，点在⊙D 上， ∴∠DB=120°，如图2， 当点优弧B 的中点时，点到B 的距离最大，此时△B 为等边三角形，且面积为 B2= ， ∴△B 的最大面积为 ． 故答为： ． 【点睛】 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角 形的面积公式． 16．如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，点 是 的中点， 、 ，则四边形 面积的最小值为______． 【答】38 【解析】 【分析】 首先连接，过B 作B⊥于，当G 在B 上时，三角形G 面积取最小值，此时四边形GD 面积 取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G 点轨迹圆，该轨迹与B 交点即为所求最小值时的 G 点，利用面积法求出B、G 的长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：连接 ，过 作 于 ， 当G 在B 上时，△G 面积取最小值，此时四边形GD 面积取最小值， 四边形GD 面积=三角形G 面积+三角形D 面积， 即四边形GD 面积=三角形G 面积+24． 连接BG，由G 是EF 中点，EF=4 知， BG=2， 故G 在以 为圆心， 为半径的圆弧上，圆弧交 于 ，此时四边形GD 面积取最小 值，如图所示， 由勾股定理得：=10， ∵ ·B= B·B， ∴B=48， ∴ ， 即四边形 面积的最小值= ． 故答为： ． 【点睛】 本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜 边的直线等于斜边的一半确定出 点的运动轨迹． 17．如图，已知 ，外心为 ， ， ，分别以 ， 为腰向形外 作等腰直角三角形 与 ，连接 ， 交于点 ，则 的最小值是______． 【答】 【解析】 【分析】 由 与 是等腰直角三角形，得到 ， ，根据 全等三角形的性质得到 ，求得在以 为直径的圆上，由 的外心为 ， ，得到 ，如图，当 时， 的值最小，解直角三角形即 可得到结论． 【详解】 解： 与 是等腰直角三角形， ， ， 在 与 中， ， ≌ ， ， ， ， 在以 为直径的圆上， 的外心为 ， ， ， 如图