题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 （ ） A． ＋1 B．4＋2 C． D． －1 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线 的两个顶点分别为 ， ，点 为双曲 线上除 ， 外任意一点，且点 与点 ， 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 A． B． C． D． ，求得 ， ， . 故选：A. 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线 的两个顶点分别为 ， ，点 为双曲 线上除 ， 外任意一点，且点 与点 ， 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． k PQ k PF=b2 a2=5 ，求解即可 已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大

（2）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，再由差角的正切 公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理可解. 【详解】（1）抛物线的准线为 ，当 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p， 此时 ，所以 ， 所以抛物线C 的方程为 ； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设 ，直线 ， 由 可得 ， ， 由斜率公式可得 ， ， 直线 ，代入抛物线方程可得 ， ，设直线 ， 代入抛物线方程可得 ， ，所以 ， 所以直线 . [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN 的斜率存在. 设 ,直线 由 得： ， ,同理， . 直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， . 代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使 最大，则 ， 设 ，则 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 最大时， ，设直线 最大，则 ， 设 ，则 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 最大时， ，所以直线 . 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关 系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性 通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简

3. 如果一次函数的斜率k<0，则函数图像是什么趋势？ A. 从左到右上升 B. 从左到右下降 C. 水平不变 D. 垂直上升 4. 一次函数\( y = -2x + 3 \) 在y 轴上的截距是： A. -2 B. 2 C. 3 D. -3 5. 给定点(2,5) 和(3,7)，函数的斜率是多少？ A \)，下列哪些选项正确？ A. 斜率是4 B. 在y 轴上的截距是-5 C. 当x=1 时，y=-1 D. 图像从左到右下降 2. 哪些性质是所有一次函数的图像共有的？ A. 直线图像 B. 经过原点 C. 有斜率 D. 在y 轴上有一个截距 3. 如果两个一次函数的图像平行，它们必须有什么相同点？ A. 斜率相等 B. y 截距相等 B. 斜率是-3, 所以下降 C. 与x 轴交点为(2/3,0) D. 当x 增加时，y 减少 5. 当k>0 且b=0 时，一次函数图像的性质是： A. 经过原点 B. 从左到右上升 C. 与y 轴交于正半轴 D. 斜率为正 6. 函数y=2x+1 和y=2x-3 的图像之间关系： A. 平行 B. 斜率相同

【详解】 , 故选：B. 4. 若直线 的斜率为 ， 经过点 ， ，则直线 和 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可. 【详解】因为直线 经过点 ， ， 第3 页/共21 页 （北京）股份有限公司 所以直线 的斜率为： ， 又因为 ， 所以两直线垂直， C. 2x+3y+2=0 D. 3x-2y-2=0 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心坐标，根据直线平行确定所求直线的斜率，再应用点斜式求直线方程. 第4 页/共21 页 （北京）股份有限公司 【详解】由题设，圆心为 ，且所求直线的斜率为 ， 所以直线方程为 ，整理得 . 故选：A 7. 椭圆 上的一点到两个焦点的距离之和为（ ） A. B. 4 C. 6 ，所以 . 故答案为： . 15. 已知一直线的倾斜角为 ，且 ，则该直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由倾斜角和斜率的关系 进行求解. 【详解】因为直线的倾斜角为 ，且 ， 当 时， ； 当 时， ； 第10 页/共21 页 （北京）股份有限公司 即该直线的斜率的取值范围是 . 故答案为： . 16. 已知 是椭圆 的右焦点，且 过点 ，则椭圆

(m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a 2 m 上. 其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+k BQ. 性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB. 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设 双 曲 线 C : x 2 a 2−y 2 b (m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a 2 m 上. 其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+k BQ. 性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB. 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 AB , 过A ，B 两点做抛物线切线，交于Q 点，称△ABQ 作抛物线的弦，与抛物线交于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的切线， 相交于点 ， 又常被称作阿基米德三角形． 的 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 设 ， ，由题意可得直线AB 的斜率不为0, 因为直线AB 过焦点 ，所以设直线AB 的方程 ； 联立 得 ，所以 ， 由抛物线的性质可得过点 ， 的抛物线的切线方程为： ， 联立 得 ， ，即 .点 到直线的距离 ， 当且仅当

分，共20 分．） 13．曲线 在点 处的切线的斜率为 ． 14．已知数列 首项为2，且 ，则 15．已知直线 ： 与直线 ： （m， ）相交于点M，点N 是圆 C： 上的动点，则 的取值范围为 ． 3 （北京）股份有限公司 16．已知椭圆C： 的右焦点 和上顶点B，若斜率为 的直线l 交椭圆 C 于P，Q 两点，且满足 （北京）股份有限公司 （2）设点 ，过点 的直线l 不经过点A，且与椭圆C 交于M，N 两点，证明：直线AM 的斜率与 直线AN 的斜率之和是定值． 参考答案： 1．B 【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率k，即可知直线的倾斜角． 【详解】由题意可知A，B 两点间的斜率 ， 设直线AB 的倾斜角为α， 则 ，所以 故选：B 2．A 【分析】根据平均变化率的定义直接求解． 【详解】因为函数 所以 ，而直线AP、BP 斜率存在且不为0（ ）， 故 ， ， 所以 ，即 或 ， 当 ，化简得 ． 当 时， ，显然 ，无解． 所以 ． 故选：B． 8 （北京）股份有限公司 9．BC 【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。 【详解】 对于A：令 时， ，故在y 轴上的截距是2，A 错． 8 （北京）股份有限公司 对于B：直线的斜率为2，在x、y 轴上的截距分别为

＝1 或12,故选D. 考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公 式的应用. 4. 已知点 ， .若过点 的直线l 与线段 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知直线恒过定点 ，如图． 若与线段 相交，则 ，∵ ， ，∴ ，故选D. 5. 如图所示，空间四边形 【答案】CD 【解析】 【分析】确定 的圆心和半径，明确 为圆上的点与定点 连线的斜率，数形结合， 利用圆心到直线的距离等于半径，结合 的几何意义即可确定答案. 【详解】由题意可得方程 为圆心是 ，半径为1 的圆， 则 为圆上的点与定点 连线的斜率， 由于直线 和 没有交点， 故设过 点的斜率存在的直线为 ，即 ， 当直线 与圆 相切时，圆心 到该直线的距离 ，即 ， ，所以 ，故正确； C．设点 到 轴的距离为 ， 所以 ，所以 ，故正确； D．因为 ，故正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 直线 、 的斜率 、 是关于k 的方程 的两根，若 ，则实数 ______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意 ，利用韦达定理得到方程，解得即可； 【详解】解：因为 ，所以 ，又 、 是关于k 的方程 的两根，

是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称 为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举， 2/22 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知 成公差为 0.1 的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设 从而得： 或 , 6/22 所以函数 在点 处的切线斜率为 ， 切线方程为： 即 ． 故选：AD． 10. 已知O 为坐标原点，过抛物线 焦点F 的直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一 象限，点 ，若 ，则（ ） A. 直线 的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线 的方程，联立抛物线求得 选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D 选 项. 【详解】 对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ， 6/22 代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A 正确； 对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ， 7/22 设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ， 则 ， 则 ，B 错误； 对于C，由抛物线定义知： ，C 正确； 对于D，

【详解】由题意， 在直线 中，斜率为 ， 垂直于直线 且过点 的直线方程为 ，即 ， 设两直线交点为 ， 由 ，解得： ， ∴ , ∴点 关于直线 的对称点的坐标为 ， 即 ， 故选：C. 2．（2024 上·阶段练习）已知点 关于直线 对称，则对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得 计算即得. 【详解】设对称点坐标 ，由题意知直线 与 垂直， 结合 的斜率为1，得直线 的斜率为-1， 所以 ，化简得 ，① 再由 的中点在直线 上， ，化简得 ，② 联立①②，可得 ，所以对称点 的坐标为 . 故选：A. 3．（2023 上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知直线 恒过定点P， 则点P 关于直线 的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先化简直线方程，求出定点 关于直线 对称，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案. 【详解】由题意得 ， ，则 的中点的坐标为 ， 直线 的斜率 . 由圆 与圆 关于对称，得的斜率 . 因为 的中点在上，所以 ，即 . 故选：C. 技法04 圆中的切线问题解题技巧 知识迁移 圆中切线问题