精品解析：广东省广州市南海中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共21 页 （北京）股份有限公司 广州市南海中学2022 学年第一学期 高二级中段考试卷数学 （时间：120 分钟满分：150 分） 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系 ，点 关于xOy 平面的对称点B 的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间直角坐标中的点关于面对称求对称点坐标. 【 详解】由 与 关于xOy 平面对称，且 ， 所以 . 故选：C 2. 已知向量 ，单位向量 满足 ，则 ， 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将模平方后可求数量积，从而可求夹角的大小. 【详解】因为 ，故 ， 因此 ，故 即 ， 第2 页/共21 页 （北京）股份有限公司 故 即 ，故 ， 而 ，故 ， 故选：C. 3. 如图所示，空间四边形 中， ，点M 在 上，且 ，N 为 中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】 , 故选：B. 4. 若直线 的斜率为 ， 经过点 ， ，则直线 和 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可. 【详解】因为直线 经过点 ， ， 第3 页/共21 页 （北京）股份有限公司 所以直线 的斜率为： ， 又因为 ， 所以两直线垂直， 故选：B 5. 方程 表示的曲线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理得 ，再根据圆的方程即可得答案. 【详解】解：对 两边平方整理得 ， 所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为 的圆在 轴及下方的部分，A 选项满足. 故选：A 6. 经过圆 的圆心C，且与直线2x+3y-4=0 平行的直线方程为（ ） A. 2x+3y+3=0 B. 2x+3y-3=0 C. 2x+3y+2=0 D. 3x-2y-2=0 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心坐标，根据直线平行确定所求直线的斜率，再应用点斜式求直线方程. 第4 页/共21 页 （北京）股份有限公司 【详解】由题设，圆心为 ，且所求直线的斜率为 ， 所以直线方程为 ，整理得 . 故选：A 7. 椭圆 上的一点到两个焦点的距离之和为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】依题意求出 ，再根据椭圆的 定义判断即可. 【详解】解：对于椭圆 ，即 ，所以 ，则 ， 即椭圆 上的任意一点到两个焦点的距离之和为 ； 故选：C 8. 椭圆 上任一点 到点 的距离的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设点 的坐标为 ，结合两点间的距离公式，化简得到 ，即可求解. 【详解】设点 的坐标为 ，其中 ， 第5 页/共21 页 （北京）股份有限公司 由 ，可得 ， 又由 ， 当 时， 取得最小值，最小值为 . 故选：B. 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.） 9. 已知 ， ， 是不共面的 三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，整理方程组，可得答案. 【详解】对于A，设 ，令 ，则 ，则 ，则向量共面，故A 错误； 对于B，设 ，令 ，则 ，则方程组无解，则 向量不共面，故B 正确； 第6 页/共21 页 （北京）股份有限公司 对于C，设 ，令 ，由 ， ， 不共面，则方程不成立，即向量不 共面，故C 正确； 对于D，设 ，令 ，则 ，则 ，则向量 共面，故D 错误； 故选：BC. 10. 使方程 表示圆的实数a 的可能取值为（ ） A . B. 0 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】 ，配方得： ， 要想表示圆，则 ， 解得： ， 故选：BC 11. 已知圆 的一般方程为 ，则（ ） A. 圆 的圆心为 B. 圆 经过原点 C. 圆 的半径为25 D. 圆 被 轴截得的弦长为8 第7 页/共21 页 （北京）股份有限公司 【答案】ABD 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可判断ABC，再利用弦长公式即可判断D. 【详解】由已知，圆的标准方程为 ， 所以圆心为 ，故A 正确； 满足圆的方程，故B 正确； 圆的半径为5，故C 错误； 圆心到x 轴的距离为3 圆 被 轴截得的弦长为 ，故D 正确. 故选：ABD 12. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得到 ，再根据 ,求出 ，分焦点在x 轴和y 轴上写出标准方程即 可 【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以 ，解得 ， 又 ， 所以当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为 ； 当椭圆的焦㤐在y 轴上时，椭圆的标准方程为 ， 故选：BD 第8 页/共21 页 （北京）股份有限公司 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 向量 ， ，若 与 共线，则实数x 与y 的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由向量平行，得到 利用系数对应相等构建关系，即可求出 ，即得结果 【详解】解：因为 与 共线，所以存在 使得 ， 因为 ， ，所以 ，解得 ， 所以 ， 故答案为： 14. 直三棱柱 中， ， 分别是 的中点， ，则 与 所成角的余弦值为___________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】结合题意建立空间直角坐标系，分别求得 ， 的坐标表示，进而利用空间向量数量积运算 即可求得 与 所成角的余弦值. 【详解】由题意，易知 面 ， ，故建立空间直角坐标系，如图， 第9 页/共21 页 （北京）股份有限公司 不妨设 ，则 ， ， ， ， 则 ，故 ， ， 设 的夹角为 ，所以 . 故答案为： . 15. 已知一直线的倾斜角为 ，且 ，则该直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由倾斜角和斜率的关系 进行求解. 【详解】因为直线的倾斜角为 ，且 ， 当 时， ； 当 时， ； 第10 页/共21 页 （北京）股份有限公司 即该直线的斜率的取值范围是 . 故答案为： . 16. 已知 是椭圆 的右焦点，且 过点 ，则椭圆 的离心率为_ _____. 【答案】 【解析】 【分析】 由右焦点及椭圆所过点坐标列出关于 的方程组，解得 得离心率． 【详解】由题意 ，解得 ，又 ，∴离心率为 ． 故答案为： ． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知圆 过点 ， ， . （1）求圆 的标准方程； （2）过点 的直线被圆 截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） ； （2） 或 . 【解析】 第11 页/共21 页 （北京）股份有限公司 【分析】（1）设圆 的方程为 ，待定系数求解，再转化为标准 方程即可； （2）分直线的斜率存在，不存在两种情况设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可. 【小问1 详解】 设圆 的方程为 ，则由题意易知： ，解方程组可得 ， 验证可得： 成立， 故所求圆的方程为 , 故圆 的标准方程为： . 【小问2 详解】 因为过点 的直线被圆 截得的弦长为8，故圆心 到直线的距离为3， 分两种情况讨论： （i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，满足题意； （ii）当直线的斜率存在时，可设直线方程为 ，即 ， 则圆心 到直线的距离 ，解得 ， 综上所述，直线方程为 或 . 18. 己知直线l 过定点 ． （1）当直线l 的倾斜角是直线 的倾斜角的二倍时，求直线l 方程． （2）当直线l 与x 轴正半轴交于A 点、y 轴正半轴交于B 点，且 的面积为12 时，求直线l 的方程． 第12 页/共21 页 （北京）股份有限公司 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知直线斜率可求得其倾斜角，由此可得所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式即可 整理得到直线方程； （2）设直线方程的截距式方程 ,由直线过点(2，3)及 的面积列方程组求得两截距. 【小问1 详解】 直线 的斜率为 ， 则该直线的 倾斜角为 ， 又所求的直线倾斜角为 时，它的斜率为 ， 所以所求直线方程为 ， 即： ； 【小问2 详解】 设直线方程为： ，则 ①； ∴ 的面积为 ②， 由①②解得： ； 所以所求的直线方程为 即 ． 19. 如图，已知 垂直于梯形 所在的平面，矩形 的对角线交于点 ， 为 的中点， 第13 页/共21 页 （北京）股份有限公司 ， . （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接 通过三角形中位线与底边关系即可证明. （2）根据题意建立建立空间直角坐标系，找出 的方向向量，平面 的法向量，利用向量关于线面 角公式即可计算的出答案. 【小问1 详解】 如图连接 ⸪ 为 的中点， 为 的中点 ⸫ 为 中位线 第14 页/共21 页 （北京）股份有限公司 ⸫ ⸪ ， ⸫ 平面 【小问2 详解】 ⸪ ，⸫ ⸪ 垂直于梯形 所在的平面，⸫ 如图建立以 为原点， 所在直线为x 轴， 所在直线为y 轴， 所在直线为z 轴的空间直角坐标系. ， ， ， ， ， 设平面 法向量为 ， ，令 ，则 ， ，故 第15 页/共21 页 （北京）股份有限公司 综上，直线 与平面 夹角的余弦值为: 20. 已知圆 ，点 ． （1）过 作圆 的切线，求切线方程； （2）过 作直线与圆 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程 【答案】（1） 或 （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为 ，再根据圆心到直线的距离为半径列式解方程即 可求解； （2）根据题意得圆心到直线 的距离为 ，进而设直线 的方程为 ，再根据圆心到直线 的距离为半径列式解方程即可求解； 【小问1 详解】 解：由题知圆 ，即圆心为 ，半径为 ， 因为 ，所以点 在圆 外， 所以，当切线斜率不存在时，方程为 ，此时与圆 相交，不满足题意； 故设所求切线的斜率为 ，方程为 ， 因为 与圆 相切， 所以， ，即 ，解得 ， 第16 页/共21 页 （北京）股份有限公司 所以，所求切线方程为 或 【小问2 详解】 因为 ，所以圆心到直线 的距离为 ， 当切线斜率不存在时，方程为 ，圆心到直线 的距离为1，不满足题意； 所以，设直线 的方程为 ， 所以， ，即 ，解得 或 ， 所以，直线 的方程为 或 21. 如图，在平行四边形 中， ， ， ，四边形 为矩形，平面 平面 ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）点 在线段 上运动，且 ，若平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ， 求 的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） ﹒ 【解析】 第17 页/共21 页 （北京）股份有限公司 【分析】(1)证明△ABC 是直角三角形得AB⊥AC，再结合面面垂直性质可得AB⊥平面平面 ，由此即 可证明平面 平面 ； (2)以点A 为坐标原点，分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，表示出各点坐 标，求出平面 和平面 的法向量，利用向量法即可求解． 【小问1 详解】 ∵ ，∴ ． 在 中， ， ，则根据余弦定理易得 ， ∴ ，∴ ． ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，又 平面 ，∴平面 平面 ； 【小问2 详解】 ∵四边形 为矩形，∴ ， ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． 以点A 为坐标原点，分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系， 第18 页/共21 页 （北京）股份有限公司 则 ， ， ， ， 则 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 由题意可知，AC⊥CD，AC⊥CE，则AC⊥平面ECD， 则平面 的一个法向量 ， 设平面 与平面 所成的锐二面角为θ，则 ， 则 ， ，解得 ， ∵ ，∴ ． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点 ， ，M 是一个动点，且直线AM，BM 的斜率之积 是 ，记M 的轨迹为E． （1）求E 的方程； （2）若过点 且不与x 轴重合的直线l 与E 交于P，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为 （ 与Q 不重合），直线 与x 轴交于点G，求点G 的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 第19 页/共21 页 （北京）股份有限公司 【分析】（1）设 ，则可表示出AM，BM 的斜率，再利用其乘积为 列方程化简可得E 的方程； （2）由题意知，过点F 的直线PQ 的斜率存在且不为0，可设其方程为 ，设 ， ，则 ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出直线 的方程， 令 ，结合前面的式子化简可求出 的值，从而可得结果 【小问1 详解】 设 ，则直线AM 的斜率为 ，直线BM 的斜率为 ， ∴ ，整理得 ， 故E 的方程为 ． 【小问2 详解】 由题意知，过点F 的直线PQ 的斜率存在且不为0，可设其方程为 ， 设 ， ，则 ， 将 代入 ，得 ． 则 ， ∴ ， ． 则直线 方程为 ， 令 ，则 第20 页/共21 页 （北京）股份有限公司 ， ∴点G 的坐标为 ． 第21 页/共21 页 （北京）股份有限公司