山西省大同市2022-2023学年高二上学期期中数学试题Word版含解析

大同市2022-2023 年度高二期中测试题（卷） 数学 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知平面α 和平面β 的法向量分别为 ， ，则（ ） A. α⊥β B. α∥β C. α 与β 相交但不垂直 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α 和平面β 的位置关系. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故选：B. 2. 椭圆 和 具有（ ） A. 相同的离心率 B. 相同的焦点 C. 相同的顶点 D. 相同的长、短轴 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：第一个椭圆的焦点 ，第二个椭圆的焦点为 ； 第一个椭圆的顶点 ，第二个椭圆的顶点 ； 第一个椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，第二个椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ； 第一个椭圆的离心率为 ；将第二个椭圆方程化为标准式： 故离心率为 ，故两椭圆的离心率相同. 考点：椭圆的离心率. 3. 直线 与圆 相切，则 A. -2 或12 B. 2 或-12 C. -2 或-12 D. 2 或12 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线 与圆心为（1,1）,半径为1 的圆相切，∴ ＝1 或12,故选D. 考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公 式的应用. 4. 已知点 ， .若过点 的直线l 与线段 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知直线恒过定点 ，如图． 若与线段 相交，则 ，∵ ， ，∴ ，故选D. 5. 如图所示，空间四边形 中， ，点M 在 上，且 ，N 为 中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】 , 故选：B. 6. 设抛物线 上的三个点 到该抛物线的焦点距离分别为 ．若 的最大值为3，则 的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义直接分析可得 到抛物线的焦点距离最大,再根据焦半径公式求解即可. 【详解】根据抛物线的定义可得 到抛物线的焦点距离最大为 .故 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义性质,属于基础题型. 7. 设 和 为双曲线 的两个焦点，若点 ， 是等腰直角三角形的 三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若 ，设 ，则 ， 是等腰直角三角 形的三个顶点， ， ， ，即 ， 双曲线的渐近线方程为 ，即为 ，故选C. 8. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑 中， 平面 ， ， ， 分别是棱 ， 的中点，点 是线段 的中点，则点 到直线 的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示出对应点的坐标，然后利用空间几何点到直线的距离公式即可完成求 解. 【详解】 因为 ，且 是直角三角形，所以 .以 为原点，分别以 ， 的方向为 ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .因为 ，所以 ， ， ， ，则 ， .故点 到直线 的距离 . 故点 到直线 的距离是 . 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. （多选）设 ，圆 与圆 的位置关系不可能是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】CD 【解析】 【分析】计算两圆的圆心距及半径之和，由两圆位置关系求解即可. 【详解】两圆的圆心距 ，两圆的半径之和为 ， 因为 ， 所以两圆不可能外切或外离， 故选：CD 10. 若方程 所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的是 A. 若 为椭圆,则 B. 若 为双曲线,则 或 C. 曲线 可能是圆 D. 若 为椭圆，且长轴在 轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线 表示的可能的类型. 【详解】若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线； 若 ，则方程可变形为 ，它表示焦点在 轴上的双曲线； 若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆； 若 ，则 ，故方程 表示焦点在 轴上的椭圆； 若 ，方程 即为 ，它表示圆， 综上，选AD. 【点睛】一般地，方程 为双曲线方程等价于 ，若 ，则焦点在 轴上，若 ，则焦点在 轴上；方程 为椭圆方程等价于 且 ，若 ， 焦点在 轴上，若 ，则焦点在 轴上；若 ，则方程为圆的方程. 11. 若实数x，y 满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】确定 的圆心和半径，明确 为圆上的点与定点 连线的斜率，数形结合， 利用圆心到直线的距离等于半径，结合 的几何意义即可确定答案. 【详解】由题意可得方程 为圆心是 ，半径为1 的圆， 则 为圆上的点与定点 连线的斜率， 由于直线 和 没有交点， 故设过 点的斜率存在的直线为 ，即 ， 当直线 与圆 相切时，圆心 到该直线的距离 ，即 ， 可得 ，解得 ， 所以 ，即 最大值为 ，最小值为 故选： 12. 已知 是椭圆 上一点，椭圆的左､右焦点分别为 ，且 ，则（ ） A. 的周长为 B. C. 点 到 轴的距离为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据椭圆定义分析 的周长并判断； B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出 的值，结合三角形的面积公式求解出 并判断； C．根据三角形等面积法求解出点 到 轴的 距离并判断； D．根据向量数量积运算以及 的值求解出结果并判断. 【详解】A．因为 ， 所以 ，故错误； B．因为 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 ，故正确； C．设点 到 轴的距离为 ， 所以 ，所以 ，故正确； D．因为 ，故正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 直线 、 的斜率 、 是关于k 的方程 的两根，若 ，则实数 ______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意 ，利用韦达定理得到方程，解得即可； 【详解】解：因为 ，所以 ，又 、 是关于k 的方程 的两根， 所以 ，解得 ； 故答案为： 14. 已知 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【详解】因为 ， 所以 , 所以 ． 答案： 15. 已知双曲线 被直线截得的弦AB，弦的中点为 ，则直线AB 的斜率为______. 【答案】1 【解析】 【分析】设出 ， 点坐标，根据点差法即可求得斜率的值. 【详解】设 ， ，显然 ， 则有 ， ， 两式作差可得， ，即 ， 又弦的 中点为 ，则 ， ，代入可得 ， 即 ，所以直线AB 的斜率为1. 此时直线方程为 ，即 ， 联立直线与双曲线方程 可得， ， ，即直线与 双曲线相交，所以直线AB 的斜率为1 满足条件. 故答案为：1. 16. 如图，在梯形ABCD 中， ， ， ， ，将 沿对 角线BD 折起，设折起后点 的位置为 ，并且平面 平面BCD.则下面四个命题中正确的是_____ _.（把正确命题的序号都填上） ① ；②三棱锥 的体积为 ；③ ；④平面 平面 . 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据空间几何中的垂直关系即可进行证明与判断. 【详解】 若 ，由已知平面 平面BCD ，且平面 与平面 交线为 . 如图过 作 的垂线，垂足为 ,易知 平面 ，又因为 平面 ， 所以 ， ， 与 平面 ， 可得： 平面 ，又因为 平面 ，所以 与已知矛盾， 故 不成立. 所以①错误. 三棱锥 的体积 ， 故②错误. 在 中， ，所以 ，同理在 中， ，又因为 ，在 中满足 ，故 ， 所以③正确. ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，所以，平面 平面 . 所以④正确. 故答案为：③④ 【点睛】1. 空间几何中垂直关系为重点考察内容，也是直观想象核心素养的直接体现. 2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质是解决此类问题的关键. 3.注意通过现有的垂直关系和可证明的垂直关系，利用直角三角形来减少运算量. ， 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知 ， ， 为平面内的一个动点，且满足 . （1）求点 的轨迹方程； （2）若直线为 ，求直线被曲线 截得的弦的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)首先设点 ，利用两点间距离表示 ，化简求轨迹方程； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【小问1 详解】 由题意可设点 的坐标为 ，由 及两点间的距离公式可得 ，整理得 . 【小问2 详解】 由（1）可知，曲线 圆心 到直线 的距离 ， 所以弦的长度 . 18. 如图.在正方体 中，E 为 的中点． （1）求证： 平面ACE； （2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O，根据中位线定理可知 ，然后根据线面平行的判定定 理可得. （2）建立空间直角坐标系，计算 ，平面 的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可. 【小问1 详解】 如图所示： ， 连接BD 与AC 交于点O， 因为O，E 为中点， 所以 ,又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； 【小问2 详解】 建立如图所示的空间直角坐标系 令 ，所以 设平面 的一个法向量为 所以 ，令 所以 ， 所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值 19. 已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为2， 为坐标原点. （1）求的 方程； （2）设过点 且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两 、 ，且 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据离心率和斜率公式可解得 ，从而可得椭圆的标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出弦长，结合已知弦长列方程可解得结果. 【详解】（1）由离心率 ，则 ，设 ， 则直线 的斜率 ，则 ， ， ， ∴椭圆 的方程为 ； （2）由题意得直线 ，设 ， ， 则 ，整理得： ， ，即 ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ， 解得： 或 （舍去）， ∴ ， 【点睛】关键点点睛：根据弦长公式 求出弦长是本 题解题关键. 20. 如图，在三棱锥 中，侧面 是等边三角形， ， . （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，则在棱 上是否存在动点 ，使得平面 与平面 所成二面角的大小为 . 【答案】（1）证明见解析； （2）存在.M 为靠近P 三等分点 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，证明 平面 ，根据面面垂直的判定定理即可 证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设 ，求得平面 的法向量， 利用向量的夹角公式求得 ，即可求得答案 根据线面 【小问1 详解】 证明：取 的中点 ，连接 ， 因为 为等边三角形，所以 ， 在 中，有 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 又因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以平面 平面 . 【小问2 详解】 不妨设 ，在 中， ，所以 ， 在底面 内作 于点 ，则 两两垂直， 以点 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立空间直角 坐标系，如图所示： 则 ， ， ， 所以 ， ， ， ， 设 ， 则 ， 设平面 的法向量为 ， 所以 ， 令 ，可得 ， ，所以 ， 可取平面ABC 的一个法向量为 ， 所以 ， 整理可得 ，即 ，解得 或 （舍去）. 所以 ，所以当 时，二面角 的大小为 . 21. 已知抛物线C： （ ）上的一点 到它的焦点的距离为 . （1）求p 的值. （2）过点 （ ）作曲线C 的切线，切点分别为P，Q.求证：直线 过定点. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义列方程可得结果； （2）设过N 的 直线： ，代入 得， ．根据判别式等于 0，得 ，代入 可得 ，设 ， 的斜率分别为 ， ，则 ． ， ，根据点斜式可得直线 的方程，结合 ，可得结论. 【详解】（1）曲线C 上点M 到焦点的距离等于它到准线的距离． ∴ ，∴ ，∴ ． （2）依题意，过点N 的抛物线切线的斜率存在， 故可设过N 的直线： ，代入 得， ． 因为直线与曲线C 相切，则 得 ，即 ． 所以 ，代入 并化简得 ，解得 ， 设 ， 的斜率分别为 ， ，则 ． 所以 ， ， 当 时，直线 的方程： ． 即： ． ． 即： ． ． ． ． ∴直线 过定点 ． 当 时，即 ， 则 所在的直线为 .过点 综上可得，直线 过定点 . 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线相切的问题，考查了直线方程的点斜式，考 查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题. 22. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，其离心率为 ，且过点 （1）求双曲线 的方程 （2）过 的两条相互垂直的交双曲线于 和 ， 分别为 的中点，连接 ，过坐 标原点 作 的垂线，垂足为 ，是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，求此定点 .若不存 在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， . 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到 ，再解方程组即可； （2）首先当直线 和 其中一条没有斜率时， 点为 ，直线MN 的 方程为 ，当直线 和 都有斜率时，设直线 的方程为： ，联立方程组 ，利 用韦达定理得到 ， ，同理得到 ， ，从而得到直线 的方程为 ，恒过 ，根据 得到点 的运动轨迹是以点 为圆心， 以 直径的圆，从而得到存在定点 ，使得 为定值 . 【详解】（1）由题可知： ， 双曲线 的方程是 . （2）存在定点 ，使得 为定值，理由如下： 由题意可知，若直线 和 其中一条没有斜率，则 点为 ， 直线MN 的方程为 ， 当直线 和 都有斜率时， 因为点 ，设直线 的方程为： 设 ， ， ， 联立方程组 得： 所以 ， ， 故 ， 设直线 的方程为： 设 ， ， ， 同理可得 ， ， 故 所以 ， 所以直线 的方程为 ， 化简得： ，可知直线 过定点 又因为 ，所以点 的运动轨迹是以点 为圆心， 以 直径的圆， 所以存在定点 ，使得 为定值 . 【点睛】方法点睛： （1）解答直线与双曲线题目时，常用把两个曲线方程联立，得到关于 的一元二次方程，利用根系关系， 结合已知条件建立有关参变量的等量关系； （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.