高考数学答题技巧题型23 6类圆锥曲线离心率问题解题技巧（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）（解析版）Word（20页）

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 A． B． C． D． ，所以 ， ． 例1-2．（2023·江苏模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． . 1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C： 的右焦点为 ，P 为椭圆的左 顶点，且 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式解得 ，进而可得. 【详解】由题意可得： ，解得 ， 所以C 的离心率为 . 故选：A. 2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】根据已知可知： ，再代入离心率公式 即可. 【详解】由题知： ，即 . . 故答案为： 【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题. 3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C： ，其右焦点到渐近 线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式求出 ，并根据离心率公式求解即可. 【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为2， 由题可知，过一三象限的渐近线为 ，即 ， 所以右焦点 到渐近线的距离为 ， 又 ，∴ ， ∴ ． 故答案为: . 4．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆 经过点 和 ，则椭圆 的离心 率为 . 【答案】 /0.5 【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率. 【详解】将两个点代入椭圆方程得： ，解得 ，故 . 故答案为： 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 知识迁移 已知棚圆方程为 ,两焦点分别为 , 设焦点三角形 , ,则椭圆的离心率 焦点三角形中求离心率方法较多，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，难度较小，需强化练习 公式 3:已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形 ,则 例2．（全国·高考真题）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P 是C 上的点， ⊥ ， ∠ = ，则C 的离心率为 A． B． C． D． 【法一】 离心率e＝ 【法二】 计算即可 1. 已知 是椭圆 的两个焦点, 是 上的一点,若 ,且 ,则 的离心率为) A. B. C. D. 2．（全国·高考真题）设 是等腰三角形， ，则以 ， 为焦点，且过点 的双曲线的离 心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设条件可知 ，由正弦定理可得 ，再由双曲线的定义可得 ，最后由离 心率公式进行计算即可得解. 【详解】双曲线的焦点为 ， ，则 ， 是等腰三角形， ， ， ， 由正弦定理 即 ，解得 ， 双曲线过点 ，由双曲线的定义可得 ， 解得离心率 ， 3．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，P 为双曲线C 上一点， 且 ，那么双曲线C 的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值. 【详解】设双曲线的半焦距为 ，则 ， 由题意可得： ， 因为 ，整理得 . 故选：D. 4．（天津红桥·高二统考期末）已知F1，F2是双曲线 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为 边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A． ＋1 B．4＋2 C． D． －1 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点 的坐标可得，进而求 得边 的中点 的坐标，代入双曲线方程求得 ， 和的关系式化简整理求得关于的方程求得． 【详解】解：依题意可知双曲线的焦点为 ， ， ， 三角形高是 ， ， 边 的中点 ， ，代入双曲线方程得： ， 整理得： ， ， ， 整理得 ，求得 ， ， . 故选：A. 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线 的两个顶点分别为 ， ，点 为双曲 线上除 ， 外任意一点，且点 与点 ， 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． k PQ k PF=b2 a2=5 ，求解即可 已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大 题中命题，需重点强化练习 1．（2022 秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知双曲线 的两个顶点分别为 A、B，点P 为双曲线上除A、B 外任意一点，且点P 与点A、B 连线的斜率为 ，若 ，则双曲 线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意设 设 ，根据题意得到 ，进而求得离心率． 【详解】根据题意得到 设 ，因为 ，所以 ， 所以 ，则 故选：C. 2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）椭圆 的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将 用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设 ，则 则由 得： ， 由 ，得 ， 所以 ，即 ， 所以椭圆 的离心率 ，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故 ， 由椭圆第三定义得： ， 故 所以椭圆 的离心率 ，故选A. 3．（2022·全国·高三专题练习）过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： ( )相交于 ､ 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，由点差法运算可得 ，再由离心率公式即可得解. 【详解】设 ，则 ， ， 所以 ，作差得 ， 所以 ，即 ， 所以该椭圆的离心率 . 故选：A. 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 知识迁移 点 是椭圆的焦点,过 的弦 与椭圆焦点所在轴的夹角为 为直线 的斜率,且. ,则 已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大 题中命题，需重点强化练习 当曲线焦点在 轴上时, 注 : 或者 而不是 或 点 是双曲线焦点, 过 弦 与双曲线焦点所在轴夹角为 为直线 斜率, ,则 ,当曲线焦点在 轴上时, 注: 或者 而不是 或 例4．（全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为F 且斜率为 的直线交C 于A、 B 两点，若 ，则C 的离心率为 A． B． C． D． 计算即可 1．（2022·全国·高三专题练习）已知F 为椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交 椭圆C 于点D，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知 ， ，设 ，由 解得点 坐标，代入椭圆方程，化简即可求 得离心率. 【详解】设椭圆的焦点在 轴上，方程为 ， ， ， 设 ，由 ，且 ， 故 ， ， 由点 在椭圆上，故 ，整理得 ， 故离心率 ， 故选：B. 2．（全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直 线与 相交于 两点．若 ，则 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为 ，所以 ，从而 ，则椭圆方程为 ．依题意可得 直线方程为 ，联立 可得 设 坐标分别为 ，则 因为 ，所以 ，从而有 ① 再由 可得 ，根据椭圆第二定义可得 ，即 ② 由①②可得 ，所以 ，则 ，解得 ．因为 ，所以 ，故选B 3．（2023·山东烟台·统考三模）已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一 点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出 的坐标，根据 得出 的坐标，根据 在椭圆上列方程求解即可. 【详解】 不妨设 在第一象限，由题意， 的横坐标为， 令 ，解得 ，即 . 设 ，又 ， ， ， 由 可得： ，解得 ， 又 在椭圆上，即 ， 整理得 ，解得 . 故选：A 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交双曲线的右支于 、 两点．点 满足 ，且 ，者 ， 则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示，取线段 的中点 ，连接 ， 因为 ，则 ， 因为 为 的中点，则 ，且 ， 由双曲线的定义可得 ， 所以， ，则 ， 用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题 中命题，需重点强化练习 由余弦定理可得 ， 所以， ，因此，该双曲线的离心率为 . 1．（2023·山东烟台·校联考三模）双曲线 的左､右焦点分别为 ，以 1．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点 的直线与椭圆 交于 两点，设椭圆的右 焦点为 ，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为 ，连接 ，得到四边形 为平行四边形，设 ，在 中， 利用余弦定理，求得 ，结合椭圆离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ， 由椭圆的对称性，可得四边形 为平行四边形， 设 ，则 ， ， 由余弦定理得： ． 因为 ， ， 所以椭圆的离心率 . 故选：D． 2．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆 于A，B 两点，若 ，点 满足 ，且 ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 、 结合正弦定理可得 ，又 ，故 ， 再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知 ，由 ，故 ， ， 点 满足 ，即 ，则 ， 又 ， ， 即 ，又 ， 故 ，则 ，即 ， 即 平分 ，又 ，故 ， 则 ，则 ， ， ， 由 ， 故 ， 即 ，即 ，又 ，故 . 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由 、 ，得到 平分 ，结合 ，从而得到 . 3．（2023·四川成都·统考一模）已知圆 经过椭圆 的两个焦 点 ，圆 和椭圆 在第二象限的交点为 ，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆与 轴的交点求出椭圆的焦点，然后利用圆周角的性质求出 ，进而根据余弦 定理及椭圆的定义可求出 ，则离心率可得. 【详解】对于圆 ， 即 ，圆心为 ，半径为 当 时， ，当 时， ， 即如图点 即椭圆 的两个焦点为 ，即 ， 又圆 和椭圆 在第二象限的交点为 ， 由圆周角的性质可得 ， 则 又由 得 ， 又 得 ，解得 ， 所以离心率 . 故选：C. 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 例6．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线过点 且与椭圆 的长轴垂直，直线 过椭圆 的上顶点与右顶点且与交于点 ，若 （ 为坐标原点），且 ，则椭圆 的离心率为（ ）． A． B． C． D． 构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大 题中命题，需重点强化练习 【详解】设椭圆的焦距为 ， 则直线 ，直线 ， 联立 ，解得 ，即 ， 因为 ，故 ． 因为 ，所以点 在椭圆 上， 将 代入椭圆的方程得 ，即 ， 即 ，解得 或 （舍去）. 1．（2024 上·浙江宁波·高三统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 是椭 圆 的上顶点，线段 的延长线交椭圆 于点 ．若 ，则椭圆 的离心率 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线 的方程 ，与椭圆方程联立，求得点B 的坐标，再根据 求解. 【详解】由题意得 ， 则直线 的方程为 ， 联立方程 ，消去y 得 ， 则 ， 所以 ， 因为 ，则 ， 因为 ，化简得 ， 即 ，可得 ，所以 . 故选：B. 2．（2024·广东茂名·统考一模）椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 作 垂直于 轴的直线，交 于A， 两点，若 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知直线： ，结合方程可得 ，进而求离心率. 【详解】因为 ，且直线垂直于 轴，可知直线： ， 将 代入椭圆方程可得 ，解得 ，所以 ， 又因为 ，则 ，即 ， 可得 ，则 ，解得 . 故选：A. 3．（2024 上·广东·高三统考期末）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左、 右顶点分别为 ， ，点 在 上，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用焦点三角形得面积表示出 ，借助 找到斜率之间得关系，计算 即可. 【详解】设 ， ， 由 ，解得 ， 又因为 在椭圆 上， 所以 ，解得 ， 因为 ， 可得 ，即 ， 记直线 的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 , 因为 ,所以 , 即 ， 即 ， 整理得： ，解得 , 故选:B.