高考数学答题技巧题型22 5类圆锥曲线解题技巧（焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解定理-万能公式)）（解析版）Word（28页）

题型22 5 类圆锥曲线解题技巧 （焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解 定理-万能公式) 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在ΔP F1 F2 中,记 ∠F1 P F2=θ, 椭圆定义可知: (1). |P F1|+|P F2|=2a,|F1 F2|=2c. (2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c. (3) |P F1∥P F2|= 2b 2 1+cosθ . (4). 焦点三角形的而积为: S=1 2|P F1∥P F2|sinθ=b 2tan θ 2. 2. 双曲线焦点三角形主要结论 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 技法05 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P 为双曲线上任意一点, 记 ∠F1 P F2=θ, 则 △P F1 F2的面积 S= b 2 tan θ 2 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【法一】因为 ，所以 ，从而 ，所以 ． 【法二】因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ， 所以 ，又 ，平方得： ，所以 ． 例1-2．（全国·高考真题）设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足 ，则 的面积为（ ） A． B．2 C． D．1 【法一】 △P F1 F2的面积S= b 2 tan θ 2 =1 【法二】设 ， ， 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上， ， ， ， ， ， 的面积为 . 故选：D 1．（上海·高考真题）已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一 点，且 .若 的面积为9，则 = . 【答案】3 【详解】设椭圆的焦距为 ，则 .由椭圆定义知 ， 由题意知 ， ，则 ， 则 ， 即 ，所以 . 2．（2023·河南开封·统考三模）已知点 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，则 的面积为（ ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设 ， ，由椭圆定义得 ，由余弦定理求出 ，从而利用三角形面 积公式求出答案. 【详解】由椭圆 ，得 ， ， . 设 ， ， ∴ ，在 中，由余弦定理可得： ， 可得 ，得 ， 故 . 故选：C. 3．（全国·高考真题）已知 、 为双曲线C： 的左、右焦点，点P 在C 上，∠ P = ，则 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得 ①,又 ,由余弦定理 ②，由①2-②得 ，故选B． 4．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于（ ） A．24 B． C． D．30 【答案】A 【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得 的三边长，进而求得 的面积 【详解】由 ，可得 又 是是双曲线 上的一点，则 ， 则 ， ，又 则 ，则 则 的面积等于 故选：A 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a>b>0)的弦为 AB , 过A ，B 两点做椭圆切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 AB 绕着定点 P (m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a 2 m 上. 其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+k BQ. 性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB. 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设 双 曲 线 C : x 2 a 2−y 2 b 2 =1 (a,b>0) 的 弦 为 AB , 过A ，B 两点做双曲线切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 AB 绕者定点 P (m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a 2 m 上. 其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+k BQ. 性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB. 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 AB , 过A ，B 两点做抛物线切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则 有: （1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 阿基米德三角形问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结 合公式运算，需强化训练复习. （2）若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线 （3）若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 C( c a ,−bp a ). （4）底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a 3 8 p . （5）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p 2 （6）在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB （7）|AF|⋅|BF|=|QF| 2. （8）抛物线上任取一点 I (不与 A ,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA ,QB 于 S ,T,连接 AI ,BI, 则 △ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍 例2．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线 的焦点 作抛物线的弦，与抛物线交于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的切线， 相交于点 ， 又常被称作阿基米德三角形． 的 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 设 ， ，由题意可得直线AB 的斜率不为0, 因为直线AB 过焦点 ，所以设直线AB 的方程 ； 联立 得 ，所以 ， 由抛物线的性质可得过点 ， 的抛物线的切线方程为： ， 联立 得 ， ，即 .点 到直线的距离 ， 当且仅当 时取到最小值.故选：C. 1．（2023 秋·江西上饶·高三统考期末）（多选）若 ， ，点 满足 ，记点 的 轨迹为曲线 ，直线 ， 为上的动点，过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点为 ， ，则下列说法中正确的是（ ） A． 的最小值为 B．直线 恒过定点 C． 的最小值为0 D．当 最小时，直线 的方程为 【答案】ABC 【分析】由题知，点 的轨迹曲线 为 ，对于A， 即可判断；对于B，设 ，根据条件得到直线 ，由 ，得 ，即可判断；对于C， 根据条件得到 ， 为全等的等腰直角三角形，得 ，即可判断；对于D， 求出四边形 的面积，得到A 和B 的坐标,即可判断. 【详解】设 ，因为 ， ，点 满足 ， 所以 ， 即 ，化简得 ， 所以点 的轨迹曲线 为 ，圆心为 ，半径 . 对于A，因为直线 ， 为上的动点， 过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点为 ， ， 设圆心 到直线l 的距离为d, 所以 ，故A 正确； 对于B，设 ，则 ， 所以 ， 以 为圆心， 为半径的圆的方程为 ，① 因为 为 ，② 由①，②相减,得直线 ，即 ， 由 ，得 ，所以直线 恒过定点 ，故B 正确； 对于C，因为 ， ， 根据几何性质可知， ， 在 中， ， 因为 ，所以 ， 所以此时 ， 为全等的等腰直角三角形， 所以， ，即有 ， 所以 ，所以 的最小值为0，故C 正确； 对于D，因为四边形 的面积为 ， 此时四边形 为正方形， ， 所以直线 的方程为 ，故D 错误. 故选：ABC. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点到原点的距离等于直线 的斜率. （1）求抛物线C 的方程及准线方程； （2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，求 面积的最小值. 【答案】（1）抛物线方程为 ，其准线方程为 ；（2）最小值为 . 【分析】（1）求出直线斜率可得 即可写出抛物线方程及准线方程； （2）利用切线求出直线 的方程，联立抛物线方程，求出弦长，再有点到直线的距离即可求出三角形面 积，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题意， ，即 ，可知抛物线方程为 ，其准线方程为 . （2） ，则切线 ： ，即 ； 同理 ： . 分别代入点 可得 ，对比可知直线 的方程为： .(即切点弦方程) 联解 ，可知 ， 点 到直线 的距离为 ， 因此， ， 而 ，故 . 当且仅当 ，即 时， 的最小值为 . 【点睛】关键点点睛：涉及三角形面积问题，一般可利用直线联立抛物线方程求出弦长，再由点到直线距 离求出高，即可表示三角面积，属于中档题. 3．（2023·全国·高三专题练习）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线， 两切线的交点为 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义求出 即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理， 设切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，点 坐标为 ，利用已知条件对函数 求导得 出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用 ，即可得出结论. 【详解】（1）由题意知： ， 则焦点 到直线 的距离为： ， 所以抛物线的方程为： ； （2）证明： 把直线 代入 消 得： ， 又 ， 利用韦达定理得 ， 由题意设切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，点 坐标为 ， 由（1）可得： ， 则 ， 所以 ， 则切线 的方程为： ，切线 的方程为： ， 则 ， 利用韦达定理化简整理得： ， 把 代入 整理得： ， 则 ， ， 则 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达 定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题. 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1) 为椭圆 的左、右焦点，过 (或 )斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，则 (2) 为椭圆 的下、上焦点，过 (或 斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)F1，F2 为双曲线C : x 2 a 2−y 2 b 2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦点，过F1 斜率为k的直线l与双曲线交于A ,B两 点，则 (1)A ，B在同支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) a 2k 2−b 2 圆锥曲线的焦点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合 公式运算，需强化训练复习. (2)A ，B在异支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) b 2−a 2k 2 综合(1)(2)可统一为:|AB|=2ab 2(1+k 2) |a 2k 2−b 2| (2)F1，F2 为双曲线C : y 2 a 2 −x 2 b 2=1 (a>0,b>0)的上、下焦点，过F1 斜率为k的直线l与双曲线交于A ,B两 点，则 (1)A ，B在同支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) a 2−b 2k 2 (2)A ，B在异支弦，|AB|=2ab 2(1+k 2) b 2k 2−a 2 综合(1)(2)可统一为:|AB|=2ab 2(1+k 2) |a 2−b 2k 2| 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)F1, F2 为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a>b>0)的左、右焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A ,B两点， 则|AB|= 2ab 2 a 2−c 2cos 2θ = 2ep 1−e 2cos 2θ 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=| a 2 c −c|=b 2 c (2)F1, F2 为椭圆C : y 2 a 2 + x 2 b 2=1 (a>b>0)的上、下焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A ,B两点， 则|AB|= 2ab 2 a 2−c 2sin 2θ = 2ep 1−e 2sin 2θ 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=| a 2 c −c|=b 2 c 特殊情形，对于焦点在x轴上的椭圆，当倾斜角为θ=90 ∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB|=2ep=2b 2 a . 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)F1，F2 为双曲线C : x 2 a 2−y 2 b 2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A ,B 两点，则|AB|= 2ab 2 |a 2−c 2cos 2θ| = 2ep |1−e 2cos 2θ| 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=| a 2 c −c|=b 2 c (2)F1，F2 为双曲线C : y 2 a 2 −x 2 b 2=1 (a>0,b>0)的上、下焦点，过F1 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A ,B 两点，则|AB|= 2ab 2 |a 2−c 2sin 2θ| = 2ep |1−e 2sin 2θ| 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=| a 2 c −c|=b 2 c 特殊情形，对于焦点在x轴上的双曲线，当倾斜角为θ=90 ∘时，即为椭圆的通径，通径长 |AB|=2ep=2b 2 a . 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 x 轴上, |AB|= 2|p| sin 2θ (2) 焦点在 y 轴上, |AB|= 2|p| cos 2θ 例3-1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 直线，交双曲线于 两点，求弦长 ． 由双曲线 得 ，又 所以 ． 例3-2．（山东·统考高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则 = ． 【法一】先求出倾斜角，代入|AB|= 2|p| sin 2θ 求解即可 【法二】解得 所以 【法三】 设 ，则 , 过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示. 故答案为： 1．（全国·高考真题）已知直线 与抛物线 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点，若 ,则k= A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. 设交点的横坐标分别为xA,xB, 则xA+xB= -4,① xA·xB=4. 又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2, |FA|=2|FB|, 2x ∴ B+4=xA+2. x ∴A=2xB+2.② ∴将②代入①得xB= -2, xA= -4+2= -2. 故xA·xB= =4. 解之得k2= . 而k>0, k= ∴ ,满足Δ>0.故选D. 2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）． A． B． C．以MN 为直径的圆与l 相切 D． 为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答 案. 【详解】A 选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ， 所以 ，则A 选项正确，且抛物线 的方程为 . B 选项：设 ， 由 消去 并化简得 ， 解得 ，所以 ，B 选项错误. C 选项：设 的中点为 ， 到直线的距离分别为 ， 因为 ， 即 到直线的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线相切，C 选项正确. D 选项：直线 ，即 ， 到直线 的距离为 ， 所以三角形 的面积为 ， 由上述分析可知 ， 所以 ， 所以三角形 不是等腰三角形，D 选项错误. 故选：AC. 3．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F 的直线与该抛物线交 于A，B 两点， ，AB 的中点横坐标为4，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线定义有 ，结合已知即可求参数p 的值. 【详解】由抛物线定义知： ，而AB 的中点横坐标为4，即 ， 所以 ，即 . 故答案为： 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆中点弦斜率公式 (1) 若 M (x0, y0) 为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有 k AB .kOM=−b 2 a 2 =e 2−1 (2) 若 M (x0, y0) 为椭圆 y 2 a 2 + x 2 b 2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有 k AB .kOM=−a 2 b 2 = 1 e 2−1 圆锥曲线的中点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合 公式运算，需强化训练复习. 2. 双曲线的中点弦斜率公式 (1) 若 M (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k AB⋅kOM=b 2 a 2=e 2−1(2) 若 M (x0, y0) 为双曲线 y 2 a 2 −x 2 b 2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k AB⋅kOM=a 2 b 2= 1 e 2−1 3. 抛物线的中点弦斜率公式 (1) 若 M (x0, y0) 为抛物线 y 2=2 px 弦 AB( AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 k AB=¿ p y0 (2) 若 M (x0, y0) 为抛物线 x 2=2 py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 k AB= x0 p 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 x 2