高考数学答题技巧题型23 6类圆锥曲线离心率问题解题技巧（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）（原卷版）Word（11页）

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 ，所以 ， ． 例1-2．（2023·江苏模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． . 1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C： 的右焦点为 ，P 为椭圆的左 顶点，且 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的离心率为 . 3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C： ，其右焦点到渐近 线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ． 4．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆 经过点 和 ，则椭圆 的离心 率为 . 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 知识迁移 已知棚圆方程为 ,两焦点分别为 , 设焦点三角形 , ,则椭圆的离心率 公式 3:已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形 ,则 例2．（全国·高考真题）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P 是C 上的点， 焦点三角形中求离心率方法较多，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，难度较小，需强化练习 ⊥ ， ∠ = ，则C 的离心率为 A． B． C． D． 【法一】 离心率e＝ 【法二】 计算即可 1. 已知 是椭圆 的两个焦点, 是 上的一点,若 ,且 ,则 的离心率为) A. B. C. D. 2．（全国·高考真题）设 是等腰三角形， ，则以 ， 为焦点，且过点 的双曲线的离 心率为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，P 为双曲线C 上一点， 且 ，那么双曲线C 的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 4．（天津红桥·高二统考期末）已知F1，F2是双曲线 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为 边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A． ＋1 B．4＋2 C． D． －1 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线 的两个顶点分别为 ， ，点 为双曲 线上除 ， 外任意一点，且点 与点 ， 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大 题中命题，需重点强化练习 k PQ k PF=b2 a2=5 ，求解即可 1．（2022 秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知双曲线 的两个顶点分别为 A、B，点P 为双曲线上除A、B 外任意一点，且点P 与点A、B 连线的斜率为 ，若 ，则双曲 线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）椭圆 的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高三专题练习）过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： ( )相交于 ､ 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率等于（ ） A． B． C． D． 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 知识迁移 点 是椭圆的焦点,过 的弦 与椭圆焦点所在轴的夹角为 为直线 的斜率,且. ,则 当曲线焦点在 轴上时, 注 : 或者 而不是 或 点 是双曲线焦点, 过 弦 与双曲线焦点所在轴夹角为 为直线 斜率, ,则 ,当曲线焦点在 轴上时, 注: 或者 而不是 或 已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大 题中命题，需重点强化练习 例4．（全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为F 且斜率为 的直线交C 于A、 B 两点，若 ，则C 的离心率为 A． B． C． D． 计算即可 1．（2022·全国·高三专题练习）已知F 为椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交 椭圆C 于点D，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直 线与 相交于 两点．若 ，则 A．1 B． C． D．2 3．（2023·山东烟台·统考三模）已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一 点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交双曲线的右支于 、 两点．点 满足 ，且 ，者 ， 则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示，取线段 的中点 ，连接 ， 用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题 中命题，需重点强化练习 因为 ，则 ， 因为 为 的中点，则 ，且 ， 由双曲线的定义可得 ， 所以， ，则 ， 由余弦定理可得 ， 所以， ，因此，该双曲线的离心率为 . 1．（2023·山东烟台·校联考三模）双曲线 的左､右焦点分别为 ，以 1．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点 的直线与椭圆 交于 两点，设椭圆的右 焦点为 ，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆 于A，B 两点，若 ，点 满足 ，且 ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·统考一模）已知圆 经过椭圆 的两个焦 点 ，圆 和椭圆 在第二象限的交点为 ，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 例6．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大 题中命题，需重点强化练习 ，直线过点 且与椭圆 的长轴垂直，直线 过椭圆 的上顶点与右顶点且与交于点 ，若 （ 为坐标原点），且 ，则椭圆 的离心率为（ ）． A． B． C． D． 【详解】设椭圆的焦距为 ， 则直线 ，直线 ， 联立 ，解得 ，即 ， 因为 ，故 ． 因为 ，所以点 在椭圆 上， 将 代入椭圆的方程得 ，即 ， 即 ，解得 或 （舍去）. 1．（2024 上·浙江宁波·高三统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 是椭 圆 的上顶点，线段 的延长线交椭圆 于点 ．若 ，则椭圆 的离心率 （ ） A． B． C． D． 2．（2024·广东茂名·统考一模）椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 作 垂直于 轴的直线，交 于A， 两点，若 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．（2024 上·广东·高三统考期末）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左、 右顶点分别为 ， ，点 在 上，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D．