高考数学答题技巧题型21 3类对称与4类切线解题技巧（点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线问题）（解析版）Word（19页）

题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 ． 技法01 点对称问题解题技巧 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 Ax+By+C A2+B2 =17 5 ，所以x−2 A( Ax+By+C ) A2+B2 =−38 5 ， y−2B( Ax+By+C ) A2+B2 =29 5 答案为： . 1．（2024 上·阶段练习）点 关于直线 的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线 且过点 的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线 中，斜率为 ， 垂直于直线 且过点 的直线方程为 ，即 ， 设两直线交点为 ， 由 ，解得： ， ∴ , ∴点 关于直线 的对称点的坐标为 ， 即 ， 故选：C. 2．（2024 上·阶段练习）已知点 关于直线 对称，则对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得. 【详解】设对称点坐标 ，由题意知直线 与 垂直， 结合 的斜率为1，得直线 的斜率为-1， 所以 ，化简得 ，① 再由 的中点在直线 上， ，化简得 ，② 联立①②，可得 ，所以对称点 的坐标为 . 故选：A. 3．（2023 上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知直线 恒过定点P， 则点P 关于直线 的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先化简直线方程，求出定点 的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解. 【详解】由直线 化为 ， 令 ，解得 ，于是此直线恒过点 ． 设点P 关于直线 的对称点为 ， 则 ，解得 ，∴ ． 故答案为： 技法02 直线对称问题解题技巧 例2．已知直线 ，直线 与关于直线 对称，则直线 的方程为 A． B． C． D． 直线对称问题可以转化为点关于直线的对称问题，从而用公式可快速求解，需强化练习 【法一】x 的y 系数绝对值为1:1 型，可反解，y=−x⇒x=−y ，代入 ，即 . 【法二】转化为例1，先求交点坐标，再线 任取异于交点的坐标，用公式求出对称点坐标， 再求出直线方程 【法三】在 上任取一点 ，设关于直线 的对称点为 ， 所以 ，解得 ，代入 ，得： ，所以直线 的方程为 . 1．（2022 上·江苏南京·高二统考期中）直线与直线 关于直线 对称，则直线的倾斜角是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出直线 和直线 的倾斜角，再求出直线 与直线 的夹角，再根 据对称性即可得出答案. 【详解】解：直线 的倾斜角为 ， 直线 的倾斜角为 ， 则直线 与直线 的夹角为 设直线与直线 的夹角为 ，则 ， 所以直线的倾斜角为 . 故选：B. 2．（2022 上·广东佛山·高二佛山一中校考期中）直线 关于直线 的对称直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出 为所求直线上一点，找出其关于 的对称点，代入直线 即可求出. 【详解】设 为所求直线上一点，它关于 的对称点为 ， 则 可得 ， 由题可得 在直线 上， 所以 ，整理可得所求的对称直线方程为 . 故答案为： . 3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线关于直线l 的对称 直线为 ，则直线 的方程为 ． 【答案】 . 【分析】由于两条直线平行，所以可设 ，利用对称的性质，可求得 ， 进而求得直线方程为 . 【详解】由题意知 ，设直线 ，在直线上取点 ， 设点 关于直线的对称点为 ， 则 ， 解得 ，即 ， 将 代入 的方程得 ， 所以直线 的方程为 . 故答案为： 技法03 圆对称问题解题技巧 圆对称问题可转化为点关于点对称，点关于直线的对称问题，利用中点坐标公式和对称公式求解即可. 例3．（2023 下·河南开封·高二统考期末）已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的标准方程为（ ） A． B． C． D． 圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，设圆心 关于直线 的对称点为 ，用例1 公 式求解，解得 ，所以圆 的标准方程为 . 1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称， 则圆 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得圆 的圆心坐标 和半径 ，再求得 关于 的对称点 ， 得到圆 的圆心坐标，进而求得圆 的方程. 【详解】由题意知,圆 的圆心与 关于直线 对称，且两圆半径相等， 因为圆 ，即 ， 所以圆心 ，半径为 ， 设圆 关于直线 对称点为 ， 则 ，解得 ，即 ， 所以圆 的方程为 ，即 . 故选：A. 2．（2023 上·四川成都·高二期末）圆 关于直线 对称后的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线 对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果. 【详解】因为圆 ，所以圆 的圆心为 ，半径为 ， 设点 关于直线 对称的点为 ， 所以 ，解得： ， 所以所求圆的圆心为 ，半径为 , 故所求圆的方程为： . 故选：A. 3．（2023 上·河北·高二校联考期中）已知圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案. 【详解】由题意得 ， ，则 的中点的坐标为 ， 直线 的斜率 . 由圆 与圆 关于对称，得的斜率 . 因为 的中点在上，所以 ，即 . 故选：C. 技法04 圆中的切线问题解题技巧 知识迁移 圆中切线问题 圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 1. 已知圆方程为: , 若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为: , 若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ; 3. 已知圆方程为圆: . (1)过圆上的 点的切线方程为 . (2)过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 . 例4-1．（2023·北京·统考模拟预测）经过点 且与圆 相切的直线方程为 ． 代入 求解即可，答案为： 例4-2．（2023 秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆 上点 的切线方程为 ． 代入 求解即可，答案为： 例4-3．（2023 秋·安徽宣城·高三统考期末）过点 作圆 的两条切线，切点分别为A、B， 则直线AB 方程是 . 过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 ，代入求解即 可 答案为: 1．（2021·河南郑州·统考三模）已知圆 过点 、 、 ，则圆 在点 处的切线方程 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆 的一般方程为 ，将点 、 、 的坐标代入圆 的方程，可求得 、 、 的值，可得出圆心 的坐标，求出 所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所 求切线的方程. 【详解】设圆 的一般方程为 ， 由题意可得 ，解得 ， 所以，圆 的方程为 ，圆心为 ， 直线 的斜率为 ， 因此，圆 在点 处的切线方程为 ，即 . 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与 圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该 有三个独立等式． 2．（2022·天津北辰·天津市第四十七中学校考模拟预测）过点 与圆 相切的直线是 ． 【答案】 【分析】由点 在圆上，可得切线的斜率为圆心 与点 连线斜率的负倒数，从而根据点斜 式即可求解. 【详解】解：由题意，因为 ，所以点 在圆 上， 所以过点 与圆 相切的直线的斜率 ， 所以切线方程为 ，即 ， 故答案为： . 3．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A， B，则直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可知圆 的圆心为 ，半径 ，由切线长公式求出 的 长，进而可得以 为圆心， 为半径为圆，则 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两 方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆 的圆心为 ，半径 ， 过点 作圆 的两条切线，设切点分别为 、 ， 而 ，则 ， 则以 为圆心， 为半径为圆为 ，即圆 ， 所以 为两圆的公共弦所在的直线，则有 ， 作差变形可得： ； 即直线 的方程为 . 故选：B. 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 知识迁移 椭圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 设 P (x0, y0) 为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =¿1 上的点, 则过该点的切线方程为: x x0 a 2 + y y0 b 2 =1 设 P (x0, y0) 为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 A B 的方程为: x x0 a 2 + y y0 b 2 =1 例5．（2022 上·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期末）设椭圆 ，点 在椭圆 上，求该椭圆在P 处的切线方程 . 代入切线方程为: x x0 a 2 + y y0 b 2 =1，求解即可，答案为： 1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是 ． 【答案】 【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程. 【详解】∵椭圆 ， ∴y>0 时， ，∴ ， ∴x＝1 时， ，即切线斜率 ， ∴椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是 ， 即 ． 故答案为： ． 2．（2023 下·天津·模拟）圆 在点 处的切线方程为 ，类似地，可以求得椭圆 在点 处的切线方程为 . 【答案】 【分析】类比得到 在点 处的切线方程为 ，代入数据计算得到答案. 【详解】 在点 处的切线方程为 ， 类比得到 在点 处的切线方程为 ， 故椭圆 在点 处的切线方程为 ，即 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 在点 处的切线方程为 类似地,可以 求得椭圆 在点(4,2)处的切线方程为 【答案】 【分析】把 写成 ，切线方程写成 ，根据圆方程与其切线方程的结构形式 可以得到椭圆相应的切线方程. 【详解】圆的方程可写成 ,圆在点 处的切线方程为 ,类似地,因椭圆方程为： ，故椭圆在点 处的切线方程为 即 ， 故答案为： . 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 知识迁移 设 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =1 上的点, 则过该点的切线方程为: x x0 a 2 −y y0 b 2 =1 过 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =¿ 的两支作两条切线, 则切点弦方程为x x0 a 2 −y y0 b 2 =1 双曲线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 例6．（2023·全国·高三专题练习）过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为 ，求 直线 的方程 ． 代入切点弦方程为x x0 a 2 −y y0 b 2 =1求解即可，答案为： 1．（2022·全国·高三专题练习）过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为A，B，求直 线AB 的方程． 【答案】 【分析】设 ，求得直线 的方程为 ，同理 的方程为 ，通过 在切线 上，可得到直线 的方程 【详解】解：设 ，易得两条切线的斜率存在，设 的斜率为 ， 则 ，联立方程 ，消去 可得： ， 整理可得： ， 因为 与双曲线相切， 所以 ， ， 即 ， ， 代入可得： ，即 ， 所以 ， 即 ， 同理，切线 的方程为 ， 在切线 上，所以有 ， 满足直线方程 ，而两点唯一确定一条直线， 直线AB 的方程为 2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，点 在双曲线 上，则该双曲线在点 处的切线的斜率为 ． 【答案】 / 【分析】依题意，注意到点 在椭圆 上，由此得到椭圆在点 处的切线方程；再结合上 述性质得到椭圆与双曲线在其公共点 处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点 处的切线的斜率．也可 以利用结论6 直接得到答案． 【详解】根据结论6，由题意得椭圆 在点 处的切线方程为 ， 即 ，该直线的斜率为 ，由结论5 得知，该双曲线在点 处的切线的斜率为 ． 故答案为： . 3．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线 ： 上点 ．求双曲线 在点 处的切线的方 程． 【答案】 . 【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进 一步求出切线的方程. 【详解】由 可得 ， 根据题目条件，可知求曲线 在点P 处的切线的方程， ∴曲线 在点P 处的切线斜率为 ∴曲线 在点P 处的切线方程为 化简得 ∴双曲线C 在点P 处的切线的方程为 ． 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 抛物线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 知识迁移 设 P (x0, y0) 为抛物 线 y 2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0=p (x+x0) 设 P (x0, y0) 为抛物线 y 2=2 px 开口外一点, 则切点弦的方程为:y y0=p (x+x0) 例7．（2023·高三阶段练习）抛物线 在 处的切线方程为 ． 代入切线方程为y y0=p (x+x0)，求解即可，答案为： 1．（2023·高三阶段练习）抛物线 在点 处的切线方程为 ． 【答案】 /y＝2x－2 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 ， ， ∴在（1,0）处切线为： ，即 . 故答案为： . 2．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线 的一条切线方程为 ，则 的准线方 程为 ． 【答案】 【分析】由 ，消去 得 ，由 求出 ，从而求得准线方程． 【详解】由 ，消去 得 ， 由题意 ，解得 ， 则抛物线方程为： ， 所以抛物线的准线方程为： ，即 ． 故答案为： ． 3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过直线 上一点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ．则 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为 在抛物线 上，所以 ，解得 ，所以 ． 设 ．由 ，求导得 ， 则直线 ，直线 ． 由 解得 所以 ， 又 在直线 上，得 ． 所以 ． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.