高考数学答题技巧题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧（标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围）（解析版）Word（51页）

题型24 5 类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上的椭圆标准方程为： x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0) 焦点在 y 轴上的椭圆标准方程为： y2 a2 + x2 b2=1 (a>b>0) 双曲线的标准方程 焦点在x 轴上的标准方程为： x2 a2−y2 b2 =1 (a>0,b>0) 焦点在y 轴上的标准方程为： y2 a2 −x2 b2=1 (a>0,b>0) 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关 计算，难度中等偏下，需重点练习. 抛物线的标准方程 焦点 位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴 图形 标准 方程 例1．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ． (1)求C 的方程； (2)记C 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上. （1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ， 则由 可得 ， ， 双曲线方程为 . x x y y px y 2 2  px y 2 2   py x 2 2  py x 2 2   1．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F 的直线交C 于 M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时， ． (1)求C 的方程； (2)设直线 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最 大值时，求直线AB 的方程． 【答案】(1) ； (2) . 【分析】（1）由抛物线的定义可得 ，即可得解； （2）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，再由差角的正切 公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理可解. 【详解】（1）抛物线的准线为 ，当 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p， 此时 ，所以 ， 所以抛物线C 的方程为 ； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设 ，直线 ， 由 可得 ， ， 由斜率公式可得 ， ， 直线 ，代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，同理可得 ， 所以 又因为直线MN、AB 的倾斜角分别为 ，所以 ， 若要使 最大，则 ，设 ，则 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 最大时， ，设直线 ， 代入抛物线方程可得 ， ，所以 ， 所以直线 . [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN 的斜率存在. 设 ,直线 由 得： ， ,同理， . 直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， . 代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使 最大，则 ， 设 ，则 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 最大时， ，设直线 ， 代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线 . [方法三]：三点共线 设 ， 设 ,若 P、M、N 三点共线，由 所以 ，化简得 ， 反之，若 ,可得MN 过定点 因此，由M、N、F 三点共线，得 ， 由M、D、A 三点共线，得 ， 由N、D、B 三点共线，得 ， 则 ，AB 过定点（4,0） （下同方法一）若要使 最大，则 ， 设 ，则 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 最大时， ，所以直线 . 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关 系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性 通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简 化运算的好方法． 2．（2024·山西晋城·统考一模）已知椭圆 的焦点是椭圆 的顶点，椭圆 的焦点 也是 的顶点． (1)求 的方程； (2)若 ， ， 三点均在 上，且 ，直线 ， ， 的斜率均存在，证明：直线 过定点（用 ， 表示）． 【答案】(1) (2)过定点 ,证明见解析. 【分析】（1）先求出两椭圆焦点坐标，从而确定方程； （2）设直线 ，将直线与椭圆联立， 转化为 ，坐标化将韦达定理代入化简求 解 【详解】（1）因为 ，所以 的焦点为 ， ， 因为 ，所以 的焦点为 ， ， 所以可设 的方程为 ，则 ， ，故 的方程为 ． （2）证明：设 ， ， 直线 ． ， ． 因为 ，所以 ，即 ， 即 ①， 将 代入 的方程，得 ， 则 ， ， ， ， ， 将以上4 个式子代入①，得 ， 即 ②， 因为点 在 上，所以 ， ， 代入②得 ， 即 ， 因为 ，所以 不在直线 上，则 ，则 ， 所以直线 过定点 . 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为 并利用点在椭圆上进一步化简是本题关键. 3．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 的一条渐近线与直线： 垂直. (1)求 的标准方程； (2)点 为 上一动点，直线 ， 分别交 于不同的两点 ， （均异于点 ），且 ， ，问： 是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， ，理由见解析. 【分析】（1）利用焦距求c，利用渐近线与直线 垂直求出a、b 关系，再利用 求解； （2）设直线 的方程与双曲线联立，得到韦达定理，利用点M 在曲线上满足 消元，分别得到 ， ，将韦达定理代入求定值. 【详解】（1）因为 ，所以 ， 因为双曲线 的渐近线与直线： 垂直， 所以 ，② 又 ，③ 解得 ， ， 所以双曲线 的方程为 . （2）设 ，则 ， ， 设 ， ， 所以 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 同理可得 ，所以 ， 直线 的方程为 ， 联立双曲线的方程可得 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 因为 ，即 ，所以 同理 ， ， 所以 是定值，定值为 . 【点睛】点斜式设直线方程为 形式，与双曲线联立消x，得到y 的二次方程，计算方便，再利 用向量关系得到 ，同理求 ，利用韦达定理求定值. 4．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 和点 .点 在 上，且 . (1)求 的方程； (2)若过点 作两条直线与 ，与 相交于 ， 两点， 与 相交于 ， 两点，线段 和 中点 的连线的斜率为 ，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，证明： ， 且 为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由己知，根据 点坐标，借助 可表示出 点坐标，然后带入抛物线方程，即可完 成方程的求解； （2）由已知，分别设出 四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线 ， ， ， 的斜率,即 可证得 ，设 和 的中点分别为 ， ，分别联立 与抛物线方程，求得 ， 的坐标，利用斜率公式表示 ，化简计算即可得出结果. 【详解】（1）设点 ，则 ，因为 ， ， 所以 ， ，所以点 ， 代入方程 中，得 ，所以 的方程为 . （2）设点 ， ， ， ， 则直线 的斜率 ， 同理得直线 的斜率 ， 直线 的斜率 ， 直线 的斜率 ， 所以 ， ， 从而得 . 由 消去 得 ， 所以 ， 由 ，得 或 . 设 和 的中点分别为 ， ， 则 ， ， 同理 ， ， 所以 ，即 ， 所以得 . 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 知识迁移 求轨迹方程的5 种常用方法 1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接 法。 2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹 方程的方法叫做定义法。 3 相关点法: 用动点 M 的坐标 x，y 表示相关点 P 的坐标 (x0、y0) ，然后代入点 P的坐标 (x0、y0) 所 满足的曲线方程，整理化简便得到动点 Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表 示已知，带入已知求未知) 4 参数法: 当动点坐标 x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 x 、y 与某一变数 t 的关系，再消 去参变数 t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 5 交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨 迹方程的方法叫做交轨法。 例2-1．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离， 记动点 的轨迹为 ． (1)求 的方程； (2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ． 轨迹方程的相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算， 需强化训练复习. 设 ,则 ，两边同平方化简得 ，故 . 例2-2．（重庆·高考真题）如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足： （Ⅰ）求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）设d 为点P 到直线l： 的距离，若 ,求 的值. 由双曲线的定义知点 轨迹是以 为焦点，实轴长 的双曲线，因此半焦距 ，实半轴长 ， 从而虚半轴长 ，双曲线方程为 ． 例2-3．（上海·高考真题）点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是 A． B． C． D． 设圆上任一点为 ， 中点为 ，根据中点坐标公式得， ，因为 在圆 上，所以 ，即 ，化为 ，故选A. 1．（全国·统考高考真题）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 ，则点C 的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可. 【详解】设 ，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则： ，设 ，可得： ， 从而： ， 结合题意可得： ， 整理可得： ， 即点C 的轨迹是以AB 中点为圆心， 为半径的圆. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 2．（江苏·高考真题）已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据MN 的坐标求出|MN|然后设点P 的坐标表示出关系 0 即可得到答案． 【详解】设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0）， 则 由 ， 则 ， 化简整理得y2＝﹣8x． 故选A． 【点睛】直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几 何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方 程.直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常 将步骤简记为“建系，设点，列式，化简”. 3．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 到 的距离比到 的距离大2，点 的轨迹为曲线 . (1)求 的方程； (2)过点 且斜率不为0 的直线与 交于 两点， 与点 关于原点对称，求直线 与 斜率 的比值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的定义和性质求解即可； （2）当斜率存在时，设 ， ，的方程为 ，将直线方程与曲线方程联立， 利用韦达定理求解即可，注意讨论斜率不存在时的情况. 【详解】（1）由已知可得 ，所以曲线 是以点 ， 为焦点的双曲线 的左支， 设 的方程为 （ ， ， ）， 根据题意得 ，得 ，所以 方程为 . （2）由题意可得 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ， ①当的斜率不存在时，易知 的坐标分别为 ， 或 ， ， 当 ， 时， ， ，所以 . 当 ， 时， ， ，所以 . 所以当l 的斜率不存在时， ； ②当的斜率存在时，设 ， ，的方程为 ， 将直线代入 的方程得 ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 综上，直线 与 斜率的比值为 . 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中定值问题的思路一般有两种：一是从特殊情况入手，求出定值，再证 明这个值与变量无关，本题先研究直线的斜率不存在时 的值，再求直线的斜率存在时 的值；二是 直接推理､计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值. 4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知一动圆与圆 外切，与圆 内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线 . (1)求 的标准方程； (2)直线与 交于 ， 两点，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，从下面①②③中选取两个 作为条件，证明另外一个成立：注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分. ① ；② ；③ 是直线与直线 的交点. 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】(1)设圆心为 由外切及内切分别得出圆心距等于半径之和及半径之差，再由双曲线的定义即 可得到圆心的轨迹方程. (2)由三选二作为条件另一个作为结论，逐一选择，与第一问求得的结果联立，得出相应结论. 【详解】（1）设动圆的圆心为 ，半径为， 则 ， ，所以 ， 由双曲线定义可知， 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支， 所以 ， ，即 ， ，所以 ， 所以 的标准方程为 ， . （2）证明：若①② ③： 由题可设直线 ， ， ， ， ， 由直线与 交于 ， 两点，所以 ， 联立 得 ， 所以 ， ， 由 ，得 ，即 ， 由题知 ，所以 ，即 异于 的中点，所以 ，即 ， 得 ， 又 ，所以 ，故 ，化简得 ， 所以点 在直线 上，又 是上的点，所以③成立. 若①③ ②： 设 ， ， ， ，则 . 由 ， ， ， 四点共线，设 ， ，其中 且 ， ， 则 ， ， ， ， 又点 在 上，所以 ， 所以 ，整理得 ， 又 ，所以 ， 同理 ，所以 ， 又 ， ，所以 ，故 ， ， 所以 ，故 ，即 成立，所以②成立. 若②③ ①： 由题设 ， ， ， ，由 ，得 ， 又点 为线段 上一点，点 为线段 延长线上一点， 所以设 ， ，其中 且 ， 则 ， ， ， ， 又点 在 上，所以 ，所以 ， 整理得 ， 同理 ， 所以 ， 故 ，将 代入得 ， 所以 故 即① 成立. 5．（陕西·高考真题）如图，设P 是圆 上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为 上一点， 且 . (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点 且斜率为 的直线被C 所截线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用相关点法求解轨迹方程，设出 ，得到 ，代入 中，得到轨迹 方程； （2）求出过点 且斜率为 的直线方程，联立第一问所求的曲线方程，得到两根之和，两根之积，由 弦长公式求出答案. 【详解】（1）设 ，则 ， ， 因为 ，所以 ，即 ，故 ， 所以 ， 因为P 是圆 上的点，所以 ，即 ； （2）过点 且斜率为 的直线方程为 ， 与 联立得： ，易得 ， 设直线 与 的两交点坐标分别为 ， 则 ， ， 故 被C 所截线段的长度为 . 6．（全国·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 ,在y 轴上截得线段长 为2 . (1)求圆心P 的轨迹方程; (2)若P 点到直线y=x 的距离为 ,求圆P 的方程. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 或 【详解】试题分析：（1）设 ，圆 的半径为，则 ，可得圆心 的轨迹方程； （2）设 ，则 ，又根据点到直线距离公式得 ，解出 ，进而可得圆 的半径，求得圆 的方程． 试题解析：（1）设 ，圆 的半径为，由题设 ，从而 ，故 的轨迹方程为 ． （2）设 ，由已知得 ，又 点在双曲线 上，从而得 ．由 ，得 ，此时，圆 的半径 ， 由 ，得 ，此时，圆 的半径 ，故圆 的方程为 或 ． 考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程． 【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹 方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；②定义法，根 据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即 可；④逆代法，将 代入 ．本题（1）就是利用方法①求 的轨迹方程的． 技法03 圆锥曲线中的定点问题 例3．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上． (1)求 的方程； (2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为 定点． 圆锥曲线的定点问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结 合公式运算，需强化训练复习. 【详解】（1）由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆方程为 . （2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ， 联立方程 ，消去y 得： ， 则 ，解得 ， 可得 ， 因为 ，则直线 ， 令 ，解得 ，即 , 同理可得 ， 则 ， 所以线段 的中点是定点 . 1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 两点． (1)求E 的方程； (2)设过点 的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足 ．证明：直线HN 过定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【详解】（1）解：设椭圆E 的方程为 ，过 ， 则 ，解得 ， ， 所以椭圆E 的方程为： . （2） ，所以 ， ①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ， 可得 ， ，代入AB 方程 ，可得 ，由 得到 .求得HN 方程： ，过点 . ②若过点 的直线斜率存在，设 . 联立 得 ， 可得 ， ， 且 联立 可得 可求得此时 ， 将 ，代入整理得 ， 将 代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN 过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2．（20