2022年高考数学试卷（新高考Ⅱ卷）（解析卷）

1/22 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 （新高考全国Ⅱ卷）数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合 后可求 . 【详解】 ，故 ， 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 1/22 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求 . 【详解】 ， 故选：D. 3. 图1 是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称 为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举， 2/22 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知 成公差为 0.1 的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设 ，则 ， 依题意，有 ，且 ， 所以 ，故 ， 故选：D 4. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 2/22 【详解】解： , ,即 ,解得 ,故选：C 5. 有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方 式共有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 3/22 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列 方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2 种插空方式； 注意到丙丁两人的顺序可交换，有2 种排列方式，故安排这5 名同学共有： 种不同的排列方 式， 故选：B 6. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】由已知得： , 即： ， 即： , 所以 , 故选：C 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 3/22 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半 径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 4/22 ，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，即 或 ，解得 符合题 意，所以球的表面积为 ． 故选：A． 8. 已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的 的值，即可解出． 【详解】因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以 函数 的一个周期为 ． 因为 ， ， ， ， ，所以 一个周期内的 ．由于22 除以6 余4，所以 4/22 ． 故选：A． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知函数 的图像关于点 中心对称，则（ ） 5/22 A. 在区间 单调递减 B. 在区间 有两个极值点 C. 直线 是曲线 的对称轴 D. 直线 是曲线 的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得： ，所以 ， ， 即 ， 又 ，所以 时， ，故 ． 对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单 调递减； 对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1 个极值点， 由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴； 5/22 对D，由 得： ， 解得 或 , 从而得： 或 , 6/22 所以函数 在点 处的切线斜率为 ， 切线方程为： 即 ． 故选：AD． 10. 已知O 为坐标原点，过抛物线 焦点F 的直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一 象限，点 ，若 ，则（ ） A. 直线 的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线 的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B 选项；由抛物线的定义求出 即可判断C 选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D 选 项. 【详解】 对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ， 6/22 代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A 正确； 对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ， 7/22 设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ， 则 ， 则 ，B 错误； 对于C，由抛物线定义知： ，C 正确； 对于D， ，则 为钝角， 又 ，则 为 钝角， 又 ，则 ，D 正确. 故选：ACD. 11. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ） 8/22 A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接由体积公式计算 ，连接 交 于点 ，连接 ，由 计 算出 ，依次判断选项即可.【详解】 设 ，因为 平面 ， ，则 ， ，连接 交 于点 ，连接 ，易得 ， 又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面 ， 则 平面 ， 又 ，过 作 于 ，易得四边形 为矩形，则 8/22 ， 则 ， ， ，则 ， ， ， 则 ，则 ， ， ，故A、B 错误；C、D 正确. 故选：CD. 9/22 12. 若x，y 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为 （ R），由 可变形为， ，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A 错误，B 正确； 由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等 号，所以C 正确； 因为 变形可得 ，设 ，所以 ，因此 ，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D 错误． 故选：BC． 9/22 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知随机变量X 服从正态分布 ，且 ，则 ____________． 【答案】 ## ． 【解析】 10/22 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为 ，所以 ，因此 ． 故答案为： ． 14. 曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 ①. . ② 【解析】【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可 求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时 同理可得； 【详解】解： 因为 ， 当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ， 又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ； 当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ， 10/22 又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ； 故答案为： ； 15. 设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则a 的取值范围是________． 11/22 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于 等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，所以 所在直线即为直线，所以直线为 ，即 ； 圆 ，圆心 ，半径 ， 依题意圆心到直线的距离 ， 即 ，解得 ，即 ； 故答案为： 16. 已知直线l 与椭圆 在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，且 ，则l 的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】令的 中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解； 11/22 【详解】解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ， 设 ， ，则 ， ， 所以 ，即 所以 ，即 ，设直线 ， ， ， 12/22 令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 ，即 ，解得 或 （舍去），所以直线 ，即 ； 故答案为： 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知 为等差数列， 是公比为2 的等比数列，且 ． （1）证明： ； （2）求集合 中元素个数． 【答案】（1）证明见解析； （2） ． 12/22 【解析】 【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得 ，即可解出． 【小问1 详解】 13/22 设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得 证． 【 小问2 详解】由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ． 18. 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次 为 ，已知 ． （1）求 的面积； （2）若 ，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系 求得 ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得 ，即可求解. 【小问1 详解】 13/22 由题意得 ，则 ， 即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ， 则 ， ，则 ； 【小问2 详解】 14/22 由正弦定理得： ，则 ，则 ， . 19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布 直方图： （1）估计该地区这种疾病 患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率； （3）已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中 患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】（1） 岁； 14/22 （2） ； （3） ． 【解析】 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； 15/22 （2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，根据对立事件的概率公式 即可解 出；（3）根据条件概率公式即可求出． 【小问1 详解】 平均年龄 （岁）． 【小问2 详解】 设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以 ． 【小问3 详解】 设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为 ． 20. 如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的中点． 15/22 （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 16/22 【解析】 【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到 ，再根据 直角三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到 ，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的 基本关系计算可得. 【小问1 详解】 证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， 所以 所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 16/22 【小问2 详解】 解：过点 作 ，如图建立平面直角坐标系， 因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 ，则 ， ， 所以 ，所以 ， ， ， ，所以 ， 则 ， ， ， 17/22 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ， 所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 21. 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． （1）求C 的方程； 17/22 （2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点 在C 上，且 ．过P 且斜率为 的直线与过Q 且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取 两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在 上；② ；③ ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 18/22 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标求得 的值，利用渐近线方程求得 的关系，进而利用 的平方关系求 得 的值，得到双曲线的方程； （2）先分析得到直线 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析 得到 ；由直线 和 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到 直线PQ 的斜率 ，由② 等价转化为 ，由① 在直线 上等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. 【小问1 详解】 右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ． C ∴ 的方程为： ； 【小问2 详解】 由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴 上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符； 18/22 总之，直线 的斜率存在且不为零. 设直线 的斜率为 ,直线 方程为 , 则条件① 在 上，等价于 ；两渐近线的方程合并为 , 联立消去y 并化简整理得： 设 ,线段中点为 ,则 , 设 , 19/22 则条件③ 等价于 , 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即 , 即 ； 由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 , ∴由 , ∴ , 所以直线 的斜率 , 直线 ,即 , 代入双曲线的方程 ,即 中， 得： , 解得 的横坐标： , 同理： ， ∴ ∴ , 19/22 ∴条件② 等价于 ，综上所述： 条件① 在 上，等价于 ； 条件② 等价于 ； 条件③ 等价于 ； 选①②推③: 20/22 由①②解得： ,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得： ， ， ∴ ，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得： ， ，∴ ， ∴ ，∴①成立. 22. 已知函数 ． （1）当 时，讨论 的单调性； （2）当 时， ，求a 的取值范围； （3）设 ，证明： ． 【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 . （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性. （2）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放缩 20/22 法讨论 符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒成立，结合裂项相 消法可证题设中的不等式. 【小问1 详解】 当 时， ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 故 的减区间为 ，增区间为 . 21/22 【小问2 详解】 设 ，则 ， 又 ，设 ， 则 ， 若 ，则 ， 因为 为连续不间断函数， 故存在 ，使得 ，总有 ， 故 在 为增函数，故 ， 故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾. 若 ，则 ， 下证：对任意 ，总有 成立， 证明：设 ，故 ， 故 在 上为减函数，故 即 成立. 由上述不等式有 ， 故 总成立，即 在 上为减函数， 所以 . 当 时，有 ， 所以 在 上为减函数，所以 .综上， . 【小问3 详解】 21/22 取 ，则 ，总有 成立， 令 ，则 ， 故 即 对任意的 恒成立. 所以对任意的 ，有 ， 22/22 整理得到： ， 故 ， 故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处 导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.