江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

1 （北京）股份有限公司 江苏省扬州中学2022-2023 学年第一学期12 月考 高二数学 2022.12 试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合要求．） 1．已知点 ， ，则直线AB 的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 2．已知函数 ，则该函数在区间 上的平均变化率为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在等比数列 中，已知 ，则 （ ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．抛物线 的准线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆E： 与x 轴相切，且截y 轴所得的弦长为 ，则圆E 的面积为 （ ） A． B． C． D． 6 ．已知 ，双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点P 是双曲线右支上一点，则 的最小值为（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 2 （北京）股份有限公司 7．已知数列 满足 ， 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．已知 ， ， 为椭圆C： 上不同的三点，直线l： ， 直线PA 交l 于点M，直线PB 交l 于点N，若 ，则 （ ） A．0 B． C． D． 2 （北京）股份有限公司 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．） 9．下列说法中，正确的有（ ） A．直线 在y 轴上的截距是2 B．直线 经过第一、二、三象限 C．过点 ，且倾斜角为90°的直线方程为 D．过点 且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为 10．过点 且与圆 相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知 ， 是双曲线E： 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M、点P，且 ，下列判断正确的是（ ） A． B．E 的离心率等于 C．双曲线渐近线的方程为 D． 的内切圆半径是 12 ．已知数列 满足 ，设数列 的前n 项和为 ，其中 ，则下列四个结论中，正确的是（ ） A． 的值为2 B．数列 的通项公式为 C．数列 为递减数列 D． 3 （北京）股份有限公司 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．） 13．曲线 在点 处的切线的斜率为 ． 14．已知数列 首项为2，且 ，则 15．已知直线 ： 与直线 ： （m， ）相交于点M，点N 是圆 C： 上的动点，则 的取值范围为 ． 3 （北京）股份有限公司 16．已知椭圆C： 的右焦点 和上顶点B，若斜率为 的直线l 交椭圆 C 于P，Q 两点，且满足 ，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题（本大题共6 小题，计70 分．） 17．已知二次函数 ，其图象过点 ，且 ． （1）求a、b 的值； （2）设函数 ，求曲线 在 处的切线方程． 18．已知抛物线C： 上的点 到抛物线C 的焦点的距离为2． （1）求抛物线C 的方程； （2）直线l： 与抛物线交于P，Q 两个不同的点，若 ，求实数m 的值． 19．已知数列 前n 项和 ． （1）求数列 的通项公式； （2） ，求数列 的前n 项和 ． 20．已知圆C： ． （1）若直线l 过点 且被圆C 截得的弦长为 ，求直线l 的方程； （2）若直线l 过点 且与圆C 相交于M，N 两点，求△CMN 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程． 21．已知各项均为正数的数列 的前n 项和为 ，且 ， ．各项均为正数的等比 数列 满足 ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前n 项和 ． 4 （北京）股份有限公司 22．已知椭圆C： 的离心率为 ，直线 过椭圆C 的两个顶点，且原点O 到直线 的距离为 ． （1）求椭圆C 的标准方程； 4 （北京）股份有限公司 （2）设点 ，过点 的直线l 不经过点A，且与椭圆C 交于M，N 两点，证明：直线AM 的斜率与 直线AN 的斜率之和是定值． 参考答案： 1．B 【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率k，即可知直线的倾斜角． 【详解】由题意可知A，B 两点间的斜率 ， 设直线AB 的倾斜角为α， 则 ，所以 故选：B 2．A 【分析】根据平均变化率的定义直接求解． 【详解】因为函数 ， 所以该函数在区间 上的平均变化率为 ， 故选：A 3．A 【分析】用基本量 ，q 表示出来可以求；或者考虑下标和公式． 【详解】在等比数列 中， ，解得 ， 则 ． 故选：A． 4．D 【分析】由抛物线定义，求出p，则可求准线方程． 【详解】抛物线的方程可变为 ，由 ，则其准线方程为 ． 5 （北京）股份有限公司 故选：D． 5．A 【分析】根据圆E 与x 轴相切，可得 ，再结合圆心到y 5 （北京）股份有限公司 轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解． 【详解】∵圆E： 与x 轴相切，截y 轴所得的弦长为 ， ∴圆心为 ，半径为 ，半弦长为 ，圆心到y 轴的距离为 ， ∴ ，解得 ， ∴ ，即圆E 的面积为： ． 故选：A． 6．C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理 ，利用三角形三边关系，可 得答案． 【详解】由双曲线 ，则 ， ，即 ，且 ， ，由题意， 作图如下： ，当且仅当A，P， 共线时，等号成立． 故选：C． 7．C 【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求 出 ，进而得到数列 的通项公式，即可得到答案． 【详解】 因为 ， 6 （北京）股份有限公司 所以 ， 6 （北京）股份有限公司 则 ， 有 ， 所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列， 则 ， 所以 则 ， 所以 ． 故选：C． 【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一 般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定 系数法较为常见． 一、倒数变换法，适用于 （A，B，C 为常数） 二、取对数运算 三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法 ①定义构造法。利用等比数列的定义 通过变换，构造等比数列的方法． ② （A，B 为常数）型递推式可构造为形如 的等比数列． ③ （A，B，C 为常数，下同）型递推式，可构造为形如 的等比 7 （北京）股份有限公司 数列． 四、函数构造法 对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥 函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法． 7 （北京）股份有限公司 8．B 【分析】根据三角形面积公式及 或 得 ，再应用 相交弦长公式列方程，即可求 ． 【详解】由 ，则 由图知：当P 位置变化时， 或 ，故 ， 所以 ，而直线AP、BP 斜率存在且不为0（ ）， 故 ， ， 所以 ，即 或 ， 当 ，化简得 ． 当 时， ，显然 ，无解． 所以 ． 故选：B． 8 （北京）股份有限公司 9．BC 【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。 【详解】 对于A：令 时， ，故在y 轴上的截距是2，A 错． 8 （北京）股份有限公司 对于B：直线的斜率为2，在x、y 轴上的截距分别为 、5，故直线经过第一、二、三象限，B 对． 对于C：过点 ，倾斜角为90°的直线方程为 ，故C 对． 对于D：当直线的截距不为0 时，设直线的方程为： ，把点 代入直线得 ，所以直线方 程为： ，当截距为0 时，设直线方程为： ，把点 代入直线得 ，直线方程为 ，故D 错． 故选：BC 10．AC 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解． 【详解】设切线为l，圆心到切线的距离为d，圆的半径为 若l 的斜率不存在，则直线方程为 ， 圆心到直线的距离 ，满足题意； 若l 的斜率存在，设直线方程为 ，即 ， 因为直线与圆相切，所以 ，解得 ， 所以切线方程为 ． 故选：AC． 11．ACD 【分析】根据已知条件可得出 轴，可判断A 项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐 次方程可求解离心率，故可判断B 项；结合 ，得到 ，即可求得渐近线方程，可判断C 项； 利用三角形等面积法得到内切圆半径r 的表达式与c 有关，可判断D 项正确． 【详解】如图所示， 9 （北京）股份有限公司 9 （北京）股份有限公司 因为M，O 分别是 ， 的中点，所以 中， ，所以 轴， A 选项中，因为直线 的倾斜角为 ，所以 ，故A 正确； B 选项中， 中， ， ， ， 所以 ，得： ，故B 不正确； C 选项中，由 ，即 ，即 ，即 ， 所以双曲线的渐近线方程为： ，故C 正确； D 选项中， 的周长为 ，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有 ，得： ，所以D 正确 故选：ACD． 12．ACD 【分析】 对于A．只需令 即可得出 的值；对于B．已知数列 的前n 项和，根据前n 项和与数列的关系 即可求出 的通项公式，继而得到 的通项公式；对于C．已知 的通项公式，利用递减数列定 义列式 判断即可；对于D．化简得出数列 ，裂项相消即可得出 ． 【详解】 对于A． ，即 ，故A 正确； 对于B． ①， ②， 10 （北京）股份有限公司 ①－②得 ， ， 当 时 ， 故数列 的通项公式为 ，B 错误． 10 （北京）股份有限公司 对于C．令 因为 ，所以 ，数列 为递减数列，故C 正确 对于D． 故D 正确． 故选：ACD 【点睛】思路点睛：给出 与 的递推关系，求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推 关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与n 之间的关系，再求 ． 13．2 【分析】由导数几何意义即可求． 【详解】 ， ， ∴所求切线斜率为2． 故答案为：2 14． 【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可． 【详解】由 可得 ， 所以数列 是以3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 ，即 ， 故答案为： 15． 11 （北京）股份有限公司 【分析】根据题设易知 过定点 ， 过定点 且 ，则M 在以AB 为直径的圆上，写出圆的 方程，并求出与圆C 的圆心距，根据动点分别在两圆上知 的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小 值为两圆心距与两个半径的差可得答案． 【详解】由题设， ： （m ， ）恒过定点 ， ： 11 （北京）股份有限公司 （m， ）恒过定点 ， 因为 ，所以 ，即垂足为M， 所以M 在以AB 为直径的圆上，圆心为 ，半径为 ， 故M 轨迹方程为D： ， 而C： 的圆心为 ，半径为2， 所以两圆圆心的距离为 ，而M、N 分别在两圆上， 故 的最大值为 ，最小值为 ， 所以 ． 故答案为： ． 16． 【分析】先由 得到F 为△APQ 的重心，再利用点差法求得a、b、c 之间的关系，进而求得 椭圆的离心率 【详解】设 ， ， ， ，线段PQ 的中点为 ， 由 ，知F 为△BPQ 的重心，故 ， 12 （北京）股份有限公司 即 ，解得 ， ， 又M 为线段PQ 的中点，则 ， ， 12 （北京）股份有限公司 又P、Q 为椭圆C 上两点，则 ， ， 两式相减得 ， 所以 ， 化简得 ，则 解得 或 （∵ 故舍去） 则 ，则离心率 ． 故答案为： 17．（1） （2） 【分析】 （1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b 的方程组，可求得实数a、b 的值； （2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程． （1）解： 因为 ，则 ， 所以， ，解得 ． （2）解：因为 的定义域为 ，且 ， 所以， ， ，故切点坐标为 ， 所以，函数 在 处的切线方程为 ． 18．（1） （2） 【分析】 13 （北京）股份有限公司 （1）运用抛物线定义即可； （2）联立方程解到韦达定理，再将OP⊥OQ 转化为向量垂直，根据数量积为0 列方程，化简，求值即可． 【详解】 （1）已知抛物线 过点 ，且 ， 13 （北京）股份有限公司 则 ， ∴ ， 故抛物线的方程为 ． （2）设 ， ． 联立 ， 消去y 整理得 ∴ ， 则 ， 则 ， ． 由OP⊥OQ 得 ， ∴ 或 ． 当 时，直线l 与抛物线的交点中有一点与原点O 重合，不符合题意， 综上，实数m 的值为 ． 19．（1） ， （2） 【分析】 14 （北京）股份有限公司 （1）根据已知条件并结合公式 即可计算出数列 的通项公式； （2）先根据第（1）题结果计算出数列 的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n 项和 ． 【详解】 （1）由题意，当 时， ， 14 （北京）股份有限公司 当 时， ， ∵当 时， 也满足上式， ∴ ， ． （2）由（1），可得 则 20．（1） 或 ；（2）最大值为8， 或 ． 【分析】 （1）求出圆C 的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C 到直线l 的距离，然后分直线l 的 斜率不存在和存在两情况讨论求解即可； 15 （北京）股份有限公司 （2）设直线l 的方程为 ，求出圆心C 到直线l 的距离 ，而△CMN 的面积 ，从而可求出△CMN 的面积的最大值，再由 的值可求出 ，进而可求出直线方程． 【详解】 15 （北京）股份有限公司 （1）圆C 的圆心坐标为 ，半径 ， 因为直线l 被圆C 截得的弦长为 ，所以由勾股定理得到圆心C 到直线l 的距离 ． ①当直线l 的斜率不存在时，l： ，显然不满足 ； ②当直线l 的斜率存在时，设l： ，即 ， 由圆心C 到直线l 的距离 ，得 ， 即 ，解得 或 ， 故直线l 的方程为 或 ． （2 ）因为直线l 过点 且与圆C 相交，所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为 ，即 ， 则圆心C 到直线l 的距离为 ， 又△CMN 的面积 ， 所以当 时，S 取最大值8． 由 ，得 ，解得 或 ， 所以直线l 的方程为 或 ． 21．（1） ， （2） 【分析】 （1）由 ，可得 ，两式相减化简可得 ，再求出 ，可 16 （北京）股份有限公司 得 是首项为1，公差为3 的等差数列，从而可求出 ，再由 ， 可求出数列 的公比q， 从而可求出 ； （2）由（1）可得 ，然后利用错位相减法可求得 ． 【详解】 （1）因为 ， 16 （北京）股份有限公司 当 时， ，解得 ； 当 时， ， 两式相减，得 ，即 ， 又各项均为正数，所以 ，即 ． 因为 满足上式， 所以 是首项为1，公差为3 的等差数列． 所以 ． 设等比数列 的公比为q，因为 ， ， 所以 ， 解得 （或 舍去）， 所以 ． （2） ， 所以 ， ， 两式相减得： 所以 ． 22．（1） （2）证明见解析 【分析】 17 （北京）股份有限公司 （1）根据已知条件求得a，b，从而求得椭圆C 的标准方程． （2）设出直线l 的方程并与椭圆C 的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线AM 的斜率与直线 AN 的斜率之和是定值． 【详解】 17 （北京）股份有限公司 （1）由题意得 ，所以 ， 不妨设直线 的方程为 ， ，即 ， 所以原点O 到直线 的距离为 ， 解得 ，所以 ，故椭圆C 的标准方程为 ． （2）由题意得直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为 ，即 ， 设 ， ， 联立 ， 整理得： ， 则 ， 解得 ， ， ， 设直线AM 的斜率与直线AN 的斜率分别为 ， ， 则 ， 18 （北京）股份有限公司 故直线AM 的斜率与直线AN 的斜率之和是定值 ．