淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型四 抛物线型问题（专题训练） 1．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方 的处射门， 球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为244m，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 方225m 处？ 2 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以为坐标 原点，以 所在直线为x 轴，以过点垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根 据设计要求： ，该抛物线的顶点P 到 的距离为 ． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、B 处分别安装照 明灯．已知点、B 到 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部 分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 ． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点 时，桥下水 位刚好在 处．有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会

淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型四 抛物线型问题（专题训练） 1．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方 的处射门， 球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为244m，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入点坐标求出 的值即可得到函数表达式，再把 代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可 得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点 代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线解析式为 ， 把点 代入，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为 ， 当 时， ， 址：sp432575988tbm （2）设小明带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ， 把点 代入得 ， 解得 （舍去）， ， ∴当时他应该带球向正后方移动1 米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等 知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以为坐标 原点，以 所在直线为x

题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 Ax+By+C A2+B2 =17 5 ∴双曲线C 在点P 处的切线的方程为 ． 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 抛物线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 知识迁移 设 P (x0, y0) 为抛物 线 y 2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0=p (x+x0) 设 P (x0, y0) 为抛物线 y 2=2 px 开口外一点, 则切点弦的方程为:y

题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 Ax+By+C A2+B2 =17 5 程． 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 知识迁移 设 P (x0, y0) 为抛物 线 y 2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0=p (x+x0) 设 P (x0, y0) 为抛物线 y 2=2 px 开口外一点, 则切点弦的方程为:y y0=p (x+x0) 例7．（2023·高三阶段练习）抛物线 在 处的切线方程为 ． 抛物线中的切线问题常常涉及

专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理 类型一、定值问题 例．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点 ．点 是第二象限内抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作直线 轴于点 ，作直线 交 于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标； (3)如图2，连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 的坐标；若不存在，请 说明理由． 【变式训练1】已知抛物线的 顶点为 ，与 轴交于 ． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图1，过顶点 作 轴于 点，交直线 于 ，点 、 分别在抛物线 和 轴上，若 为 ，且以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如图2，将抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 ，直线 与 轴交于点 ， 与抛物线 交于 、 两个不同点，分别过 、 两点作 【变式训练2】如图1，已知抛物线 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点D． （1）求直线BD 的解析式； （2）P 为抛物线上一点，当点Р 到直线BD 的距离为 时，求点P 的坐标； （3）如图2，直线 交抛物线与M，两点，为抛物线上一点，当 时，请探 究点到M 的距离是否为定值． 【变式训练3】如图1，抛物线 ，交x 轴于、B 两点，交y 轴于点，F 为抛物 线顶点，直线 垂直于x

【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2 2 ﹣x+3 与x 轴交于（1，0），B（﹣3，0）两点，与y 轴 交于点．点P 为抛物线第二象限上一动点，连接PB、P、B，求△PB 面积的最大值，并 求出此时点P 的坐标． 变式训练 【变1-1】．如图，已知抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于、B 两点，过点的直线l 与抛物线交 于点，其中点的坐标是（1，0），点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求△E 的最大面积 及E 点的坐标． 【变1-2】．如图，直线y＝﹣ x+2 交y 轴于点，交x 轴于点，抛物线y＝﹣ +bx+经 过点，点，且交x 轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； 例题精讲 （2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形BM 面积的最大值及此时点M 的坐标． 【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 直线l 交抛物线于点（2，m），点P 是线段上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）当P 在何处时，△E 面积最大． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+2 交x 轴于点（﹣3，0）和点B（1，0），交y 轴于点． （1）求这个抛物线的函数表达式； （2）若点D 的坐标为（﹣1，0），点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形

【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+交x 轴于，B 两点，其中点的坐标为（1，0），与y 轴 交于点（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点D 为y 轴上一点，如果直线BD 与直线B 的夹角为15°，求线段D 的长度； （3）如图2，连接，点P 在抛物线上，且满足∠PB＝2∠，求点P 的坐标． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+ x+交x x+交x 轴于点、点B，交y 轴 于点．直线y＝﹣ x+2 经过于点、点B， 例题精讲 （1）求抛物线的解析式； （2）点D 为第一象限抛物线上一动点，过点D 作y 轴的平行线交线段B 于点E，交x 轴 于点Q，当DE＝5EQ 时，求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，点M 为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM 交线段于点， 点F 在线段B 上，连接F、DF、D、DB，当F＝ ，∠DB＝2∠MDF 【例2】．如图，直线y＝ x+与x 轴交于点B（4，0），与y 轴交于点，抛物线y＝ x2+bx+经过点B，，与x 轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是直线B 下方的抛物线上一动点，求四边形PB 的面积最大时点P 的坐标； （3）若点M 是抛物线上一点，请直接写出使∠MB＝ ∠B 的点M 的坐标． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+4 交x 轴于（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y

1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线解析式及 ， 两点坐标； (2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 轴于另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求 的最小值； (3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说 明理由． 3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线 与x 轴交于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，与y 轴交于点，连接，B 点P 是x 轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q 在抛物线上，若以点，，P，Q 为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标； (3)如图②，当点 从点出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点，B 不重合），自点P 分 别作 ，交于点E，作

1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ． (1)求该抛物线的表达式； (2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此 时点 的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物 线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰 2．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点， 与 轴交于点 ．直线 过抛物线的顶点 ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ． ①当 取得最大值时，求 的值和 的最大值； ②当 是等腰三角形时，求点 的坐标． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3 小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵 小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图 1，杯体B 是抛物线的一部分，抛物线的顶点在y 轴上，杯口直径 ，且点，B 关于 y 轴对称，杯脚高 ，杯高 ，杯底M 在x 轴上． （1）求杯体B 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）． （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方，如图2，杯体 所在抛物线形状不变， 杯口直径 ，杯脚高不变，杯深 与杯高 之比为06，求 的长． 1

【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0），B（m，0）两点， 与y 轴交于点（0，5）． （1）求b，，m 的值； （2）如图1，点D 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D 在第一象限内，过 点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E，作y 轴的平行线交x 轴于点G，过点E 作EF⊥x 轴，垂足为点F，当四边形DEFG 轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D 的坐标； （3）如图2，点M 是抛物线的顶点，将△MB 沿B 翻折得到△B，B 与y 轴交于点Q，在 对称轴上找一点P，使得△PQB 是以QB 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的 点P 的坐标． 【变式1-1 】（2022• 桐梓县模拟）在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y ¿− ❑ √3 6 x 2+ 2❑ √3 3 x+2❑ √3与x 两点，与y 轴交于点，M 为抛物线的顶点． （1）求M 点的坐标； （2）求△MB 的面积； （3）坐标轴上是否存在点，使得以B，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求 出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于、B 两点， 与y 轴交于点，且（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的表达式； （2）直线l