高考数学答题技巧题型21 3类对称与4类切线解题技巧（点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线问题）（原卷版）Word（9页）

题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 ． 技法01 点对称问题解题技巧 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 Ax+By+C A2+B2 =17 5 ，所以x−2 A( Ax+By+C ) A2+B2 =−38 5 ， y−2B( Ax+By+C ) A2+B2 =29 5 ，答案为： . 1．（2024 上·阶段练习）点 关于直线 的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（2024 上·阶段练习）已知点 关于直线 对称，则对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（2023 上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知直线 恒过定点P， 则点P 关于直线 的对称点的坐标是 ． 技法02 直线对称问题解题技巧 例2．已知直线 ，直线 与关于直线 对称，则直线 的方程为 直线对称问题可以转化为点关于直线的对称问题，从而用公式可快速求解，需强化练习 A． B． C． D． 【法一】x 的y 系数绝对值为1:1 型，可反解，y=−x⇒x=−y ，代入 ，即 . 【法二】转化为例1，先求交点坐标，再线 任取异于交点的坐标，用公式求出对称点坐标， 再求出直线方程 【法三】在 上任取一点 ，设关于直线 的对称点为 ， 所以 ，解得 ，代入 ，得： ，所以直线 的方程为 . 1．（2022 上·江苏南京·高二统考期中）直线与直线 关于直线 对称，则直线的倾斜角是 （ ） A． B． C． D． 2．（2022 上·广东佛山·高二佛山一中校考期中）直线 关于直线 的对称直线的方程为 . 3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线关于直线l 的对称 直线为 ，则直线 的方程为 ． 技法03 圆对称问题解题技巧 例3．（2023 下·河南开封·高二统考期末）已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的标准方程为（ ） A． B． C． D． 圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，设圆心 关于直线 的对称点为 ，用例1 公 式求解，解得 ，所以圆 的标准方程为 . 1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称， 圆对称问题可转化为点关于点对称，点关于直线的对称问题，利用中点坐标公式和对称公式求解即可. 则圆 的方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2023 上·四川成都·高二期末）圆 关于直线 对称后的方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2023 上·河北·高二校联考期中）已知圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，则的方程为（ ） A． B． C． D． 技法04 圆中的切线问题解题技巧 知识迁移 圆中切线问题 1. 已知圆方程为: , 若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为: , 圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ; 3. 已知圆方程为圆: . (1)过圆上的 点的切线方程为 . (2)过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 . 例4-1．（2023·北京·统考模拟预测）经过点 且与圆 相切的直线方程为 ． 代入 求解即可，答案为： 例4-2．（2023 秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆 上点 的切线方程为 ． 代入 求解即可，答案为： 例4-3．（2023 秋·安徽宣城·高三统考期末）过点 作圆 的两条切线，切点分别为A、B， 则直线AB 方程是 . 过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 ，代入求解即 可 答案为: 1．（2021·河南郑州·统考三模）已知圆 过点 、 、 ，则圆 在点 处的切线方程 为（ ） A． B． C． D． 2．（2022·天津北辰·天津市第四十七中学校考模拟预测）过点 与圆 相切的直线是 ． 3．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A， B，则直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 知识迁移 设 P (x0, y0) 为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =¿1 上的点, 则过该点的切线方程为: x x0 a 2 + y y0 b 2 =1 椭圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 设 P (x0, y0) 为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 A B 的方程为: x x0 a 2 + y y0 b 2 =1 例5．（2022 上·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期末）设椭圆 ，点 在椭圆 上，求该椭圆在P 处的切线方程 . 代入切线方程为: x x0 a 2 + y y0 b 2 =1，求解即可，答案为： 1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是 ． 2．（2023 下·天津·模拟）圆 在点 处的切线方程为 ，类似地，可以求得椭圆 在点 处的切线方程为 . 3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 在点 处的切线方程为 类似地,可以 求得椭圆 在点(4,2)处的切线方程为 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 知识迁移 设 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =1 上的点, 则过该点的切线方程为: x x0 a 2 −y y0 b 2 =1 过 P (x0, y0) 为双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2 =¿ 的两支作两条切线, 则切点弦方程为x x0 a 2 −y y0 b 2 =1 例6．（2023·全国·高三专题练习）过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为 ，求 直线 的方程 ． 代入切点弦方程为x x0 a 2 −y y0 b 2 =1求解即可，答案为： 1．（2022·全国·高三专题练习）过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为A，B，求直 线AB 的方程． 双曲线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，点 在双曲线 上，则该双曲线在点 处的切线的斜率为 ． 3．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线 ： 上点 ．求双曲线 在点 处的切线的方 程． 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 知识迁移 设 P (x0, y0) 为抛物 线 y 2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0=p (x+x0) 设 P (x0, y0) 为抛物线 y 2=2 px 开口外一点, 则切点弦的方程为:y y0=p (x+x0) 例7．（2023·高三阶段练习）抛物线 在 处的切线方程为 ． 抛物线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 代入切线方程为y y0=p (x+x0)，求解即可，答案为： 1．（2023·高三阶段练习）抛物线 在点 处的切线方程为 ． 2．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线 的一条切线方程为 ，则 的准线方 程为 ． 3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过直线 上一点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ．则 的取值范围为 ．