题型8 函数的实际应用 类型4 抛物线型问题16题（专题训练）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型四 抛物线型问题（专题训练） 1．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方 的处射门， 球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为244m，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向 正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方225m 处？ 2 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以为坐标 原点，以 所在直线为x 轴，以过点垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根 据设计要求： ，该抛物线的顶点P 到 的距离为 ． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、B 处分别安装照 明灯．已知点、B 到 的距离均为 ，求点、B 的坐标． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验， 收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 （单位： ）以、飞行高度 （单位： ）随 飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 3 0 40 … 飞行高度 0 22 40 5 4 64 … 探究发现： 与， 与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关 于的函数解析式和 关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该 航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域 ．若飞机落到 内（不包括端 点 ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部 分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 ． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点 时，桥下水 位刚好在 处．有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会 触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； （3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 ，该抛物线在 轴下方部分 与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 个 单位长度，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小，结合函数图象， 求 的取值范围． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数 学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点 处将沙包（看成 点）抛出，并运动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住， 然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分． (1)写出 的最高点坐标，并求，的值； (2)若嘉嘉在x 轴上方 的高度上，且到点水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求 符合条件的的整数值． 62022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训 练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平线的垂线为 轴， 建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小 山坡，某运动员从点 正上方 米处的 点滑出，滑出后沿一段抛物线 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 运动． （1）当运动员运动到离 处的水平距离为 米时，离水平线的高度为米，求抛物线 的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的 竖直距离为米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求 的取值范围． 7．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学 知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点，在x 轴上，球 与y 轴的水平距离 ， ， 击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足一次 函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足 二次函数关系 ． (1)求点P 的坐标和的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过．要使球的落地点到点的距离更近，请通 过计算判断应选择哪种击球方式． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 8 如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 在 轴上，且 dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为 轴，高度 dm．现计划将此余料进行 切割： (1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘 上且面积最大，求此正方形的面积； (2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘 上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若切割成圆，判断能否切得半径为dm 的圆，请说明理由． 9．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023 年的世界乒乓球标赛 中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分 不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线 的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球 运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球 台上时，到起始点的水平距离是__________ ； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保 乒乓球既能过，又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训 练．如图②．乒乓球台长 为274 ，球高 为1525 ．现在已经计算出乒乓球恰好 过的击球离度 的值约为127 ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时， 击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）． 10 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛 物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着 陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高． 2022 年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点K 到起跳台的水平 距离为 ，高度为 （为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)的值为__________； (2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时 ，求基准点K 的高度； ②若 时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________； (3)若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否 超过K 点，并说明理由． 11（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构， 它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面 覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面 可以看作矩形 和抛物线 构成，其中 ， ，取 中点，过点作 线段 的垂直平分线 交抛物线 于点E，若以点为原点， 所在直线为x 轴， 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)如图，抛物线 的顶点 ，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 ， ，若 ，求两个正方形装置的间距 的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为 ，求 的长． 12 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方？ 素材1 图1 中有一座拱桥，图2 是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 ，拱顶离水面 ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 达到最高． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 素材2 为迎佳节，拟在图1 桥洞前面的桥拱上悬挂 长的灯笼，如图3 为了安全，灯笼底部 距离水面不小于 ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ；为了美观， 要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2 中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取 值范围． 任务3 拟定设计方 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼 悬挂点的横坐标． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 13 如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16 米的 蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1 米的墙体 处，另一 端固定在离地面高2 米的墙体 处，现对其横截面建立如图2 所示的平面直角坐标系．已 知大棚上某处离地面的高度 （米）与其离墙体 的水平距离 （米）之间的关系满足 ，现测得 ， 两墙体之间的水平距离为6 米． 图2 （1）直接写出 ，的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可 以搭建支架的土地平均每平方米需要4 根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 14 如图1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽B 与桥长D 均为24m，在距离D 点6 米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为15m，以桥拱顶点为原点，桥面为x 轴建立平面 直角坐标系． （1）求桥拱项部离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3 根高度均为4m 的支柱G，，D，过相邻两根支柱顶端的钢缆 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 15．（2021·浙江金华市·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水， 喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点为原点建立直角坐标系， 点在y 轴上，x 轴上的点，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式 为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求雕塑高． （2）求落水点，D 之间的距离． （3）若需要在D 上的点E 处竖立雕塑EF， ， ．问：顶 部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明． 16．（2021·山东临沂市·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m 处沿同一方向 行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s） 与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）当甲车减速至9m/s 时，它行驶的路程是多少？ （2）若乙车以10m/s 的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1