专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理（原卷版）

专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理 类型一、定值问题 例．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点 ．点 是第二象限内抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作直线 轴于点 ，作直线 交 于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标； (3)如图2，连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 运 动的过程中，是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请 说明理由． 【变式训练1】已知抛物线的 顶点为 ，与 轴交于 ． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图1，过顶点 作 轴于 点，交直线 于 ，点 、 分别在抛物线 和 轴上，若 为 ，且以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如图2，将抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 ，直线 与 轴交于点 ， 与抛物线 交于 、 两个不同点，分别过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，当 的值在取值范围内发生变化时，式子 的值是否发生变化？若不变，请求 其值．（解此题时不用相似知识） 【变式训练2】如图1，已知抛物线 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点D． （1）求直线BD 的解析式； （2）P 为抛物线上一点，当点Р 到直线BD 的距离为 时，求点P 的坐标； （3）如图2，直线 交抛物线与M，两点，为抛物线上一点，当 时，请探 究点到M 的距离是否为定值． 【变式训练3】如图1，抛物线 ，交x 轴于、B 两点，交y 轴于点，F 为抛物 线顶点，直线 垂直于x 轴于点E，当 时， ． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是线段 上的动点（除B、E 外），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D． ①当点P 的横坐标为2 时，求四边形 的面积； ②如图2，直线 分别与抛物线对称轴交于M、两点．试问， 是否为定值？ 如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由． 类型二、定点问题 例．如图，抛物线 与x 轴的交点为，B 两点，与y 轴的交于点， ． (1)求抛物线的解析式； (2)P 为抛物线在第四象限上的一点，直线 与抛物线的对称轴相交于点M，若 是 以 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标； (3)P 是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，Q、是抛物线对称轴上两点， ． 求证： 存在确定的点，使直线 与抛物线只有唯一交点P． 【变式训练1】如图，抛物线 与 轴分别相交于 ， 两点（点 在点 的 左侧）， 是 的中点，平行四边形 的顶点 ， 均在抛物线上． (1)直接写出点 的坐标； (2)如图（1），若点 的横坐标是 ，点 在第二象限，平行四边形 的面积是13， ①求直线 的解析式； ②求点 的坐标； (3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点． 【变式训练2】已知二次函数 的图象经过点 ，直线B 与抛物线相交于、B 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线B 的解析式为 ，且 的面积为35，求k 的值； (3)如图2，若 ，则直线B 必经过一个定点，求点的坐标． 【变式训练3】已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ，且 的面积为6， (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)如图1，若 ， 为抛物线上两点，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， 设 点横坐标为 ，求 的值； (3)如图2，过定点 的直线交抛物线于 ， 两点，过 点的直线 与抛物 线交于点 ，求证：直线 必过定点． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线 与x 轴交于点、B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点，且 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若点P 为第一象限的抛物线上一点，直线 交x 轴于点D，且 平分 ， 求点P 的坐标； (3)如图②，点Q 为第四象限的抛物线上一点，直线BQ 交y 轴于点M，过点B 作直线 ，交y 轴于点，当Q 点运动时，线段M 的长度是否会变化？若不变，请求出其长 度；若变化，请求出其长度的变化范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x 轴相交于点、B，与y 轴相交于点，其中B 点的坐标为 ，点M 为抛物线上的一个动点． (1)二次函数图像的对称轴为直线 ． ①求二次函数的表达式； ②若点M 与点关于对称轴对称，则点M 的坐标是________； ③在②的条件下，连接 ，在 上任意取一点P，过点P 作x 轴的平行线，与抛物线 对称轴左侧的图像交于点Q，求线段 的最大值； (2)过点M 作 的平行线，交抛物线于点，设点M、的横坐标为m、，在点M 运动的过程 中，试问 的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出 的值． 3．如图，直线： 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 在 轴上， ，经 过点 ， 的抛物线： 交直线 于另一点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)点 为直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．当 时，求点 的坐标； (3)抛物线与 轴的另一个交点为 ，过点 的任意直线 （不与 轴平行） 与抛物线交于点 、 ，直线 、 分别交 轴于点 、 ，是否存在的值使得 与 的积为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）与 轴交于点 ． (1)如图1，已知 ，且点 的坐标为 ①求抛物线的解析式； ②P 为第四象限抛物线上一点， 交 轴于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标． (2)如图 ， 为 轴正半轴上一点，过点 作 交抛物线于 ， 两点（ 在 的左边），直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，求 的值． 5．如图1，已知一次函数 的图象与y 轴，x 轴相交于点，B，抛物线 与y 轴交于点，顶点M 在直线 上，设点M 横坐标为m． (1)如图2，当 时，求此时抛物线 的函数表达式； (2)求当m 为何值时，点的纵坐标最大； (3)如图3，当 时，此时的抛物线 与直线 相交于D，E 两点， 连接 ， 并延长，分别与x 轴交于P，Q 两点．试探究 是否为定值？若是， 请求出该定值；若不是，请说明理由．