专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】（原卷版）

专题228 二次函数中的存在性问题【八大题型】 【人版】 【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】.................................................................................................. 1 【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】.................................................................................................. 3 【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】..........................................................................................5 【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】.................................................................................................. 7 【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】.............................................................................................................9 【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】............................................................................................................11 【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】.......................................................................................................13 【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】....................................................................................................15 【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0），B（m，0）两点， 与y 轴交于点（0，5）． （1）求b，，m 的值； （2）如图1，点D 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D 在第一象限内，过 点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E，作y 轴的平行线交x 轴于点G，过点E 作EF⊥x 轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D 的坐标； （3）如图2，点M 是抛物线的顶点，将△MB 沿B 翻折得到△B，B 与y 轴交于点Q，在 对称轴上找一点P，使得△PQB 是以QB 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的 点P 的坐标． 【变式1-1 】（2022• 桐梓县模拟）在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y ¿− ❑ √3 6 x 2+ 2❑ √3 3 x+2❑ √3与x 轴交于，B 两点（点B 在点的右侧），与y 轴交于点，它 1 的对称轴与x 轴交于点D，直线L 经过，D 两点，连接． （1）求，B 两点的坐标及直线L 的函数表达式； （2）探索直线L 上是否存在点E，使△E 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标；若 不存在，说明理由． 【变式1-2】（2022 秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5 的图象与x 轴交于， B 两点，与y 轴交于点，M 为抛物线的顶点． （1）求M 点的坐标； （2）求△MB 的面积； （3）坐标轴上是否存在点，使得以B，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求 出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于、B 两点， 与y 轴交于点，且（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的表达式； （2）直线l 过点与抛物线交于点P，当∠PB＝45°时，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BQ 是直角三角形？若存在，请直接 写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 【例2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝x2+bx+2（≠0）交x 轴于点（﹣1， 0），点B（4，0），交y 轴于点．连接B，过点作D∥B 交抛物线于点D（异于点）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P 是直线B 上方抛物线上一动点，过点P 作PE∥y 轴，交D 于点E，过点E 作 EG⊥B 于点G，连接PG．求△PEG 面积的最大值及此时点P 的坐标； （3）如图2，将抛物线y＝x2+bx+2（≠0）水平向右平移3 2个单位，得到新抛物线y1，在 y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，请写出所有符合条 件的点M 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【变式2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的 抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线1：y＝x2+2x 3 ﹣与抛物线 2：y＝x2+2x+组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线1和抛物线2与x 轴有着相同的交 点（﹣3，0）、B（点B 在点右侧），与y 轴的交点分别为G、（0，﹣1）． （1）求抛物线2的解析式和点G 的坐标． （2）点M 是x 轴下方抛物线1上的点，过点M 作M⊥x 轴于点，交抛物线2于点D，求 1 线段M 与线段DM 的长度的比值． （3）如图②，点E 是点关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x 轴上是否存在点 F，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请 说明理由． 【变式2-2】（2022 秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，B 分别是y 轴 正半轴，x 轴正半轴上两动点，＝2k，B＝2k+3，以，B 为邻边构造矩形B，抛物线y ¿−3 4 x 2+¿3x+k 交y 轴于点D，P 为顶点，PM⊥x 轴于点M． （1）求D，PM 的长（结果均用含k 的代数式表示）． （2）当PM＝BM 时，求该抛物线的表达式． （3）在点在整个运动过程中，若存在△DP 是等腰三角形，请求出所有满足条件的k 的 值． 【变式2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝x2 5 ﹣x+4 经过△B 的三个顶点， 已知B∥x 轴，点在x 轴的负半轴上，点在y 轴上，且＝B． （1）求抛物线的对称轴； （2）求点坐标并求抛物线的解析式； （3）若点P 在x 轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PB 是等腰三角形？若 存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 1 【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【例3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于点和B（5，0），与y 轴交于点（0，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x 轴交于点M，与B 交于点F，点D 是对称轴上一点，当点D 关于直线B 的对称点E 在抛物线上时，求点E 的坐标； （3）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在直线B 上方的抛物线上，是否存在以，P，Q 为 顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明 理由． 【变式3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线1：y¿ 1 4 x2+bx+的图象与x 轴交于点（﹣ 2，0），与y 轴交于点（0，﹣3），顶点为D． （1）求抛物线1的表达式和点D 的坐标； （2）将抛物线1沿x 轴平移m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作2，2的顶点为 D′，与抛物线1交于点E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在， 请求出满足条件的抛物线2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由． 1 【变式3-2】（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于点（3，0）、B（﹣ 1，0），与y 轴交于点，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接 P，PF，F． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F 的坐标为（0，﹣4），求出此时△FP 面积的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△FP 是以P 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所 有点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+的图象经过点（0，3），B （1，0），过点作∥x 轴交抛物线于点，∠B 的平分线交线段于点E，点P 是抛物线上的 一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P 在直线E 下方的抛物线上，连结PE、P，当△PE 面积最大时，求出P 点 坐标； （3）将抛物线L 向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△E 内（包括△E 的边界），求的取值范围； （4）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△PF 成为 1 以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】 【例4】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝x2+bx+3 的图象与x 轴相交于点和点B（1， 0），与y 轴交于点，连接，有一动点D 在线段上运动，过点D 作x 轴的垂线，交抛物 线于点E，交x 轴于点F，B＝4，设点D 的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）连接E、E，当△E 的面积最大时，点D 的坐标是 ； （3）当m＝﹣2 时，在平面内是否存在点Q，使以B，，E，Q 为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点（﹣2，0），B（﹣ 3，3）及原点，顶点为． （1）求该抛物线的函数表达式及顶点的坐标； （2）设该抛物线上一动点P 的横坐标为t． ①在图1 中，当﹣3＜t＜0 时，求△PB 的面积S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值； ②在图2 中，若点P 在该抛物线上，点E 在该抛物线的对称轴上，且以，，P，E 为顶 1 点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标； 【变式4-2】（2022•福山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+过点（﹣1，0），点B（3， 0），与y 轴负半轴交于点，且＝3，抛物线的顶点为D，对称轴交x 轴于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线B 的函数表达式； （3）若点P 是抛物线上一点，过点P 作PQ⊥x 轴交直线B 于点Q，试探究是否存在以 点E，D，P，Q 为顶点的平行四边形．若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝x2+bx+（≠0）与x 轴交于点（﹣3，0）， B（1，0）两点，与y 轴交于点（0，3），点P 是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P 在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点P 作PD⊥B，垂 足为D，PD 交于点E．作PF⊥，垂足为F，求△PEF 的面积的最大值； （3）如图2，点Q 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使 得以点，P，，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的 坐标；若不存在，说明理由． 1 【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】 【例5】（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践 如图，二次函数y＝﹣x2+的图象交x 轴于点、点B，其中点B 的坐标为（2，0），点的 坐标为（0，2），过点、的直线交二次函数的图象于点D． （1）求二次函数和直线的函数表达式； （2）连接DB，则△DB 的面积为 6 ； （3）在y 轴上确定点Q，使得∠QB＝135°，点Q 的坐标为 ； （4）点M 是抛物线上一点，点为平面上一点，是否存在这样的点，使得以点、点D、 点M、点为顶点的四边形是以D 为边的矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存 在，请说明理由． 【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx 4 ﹣与x 轴交于，B 两点，与 y 轴交于点，且点的坐标为（﹣2，0），直线B 的解析式为y¿ 1 2x 4 ﹣． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作D∥B 交抛物线于点D（异于点），P 是直线B 下方抛物线上一点， 过点P 作PQ∥y 轴，交D 于点Q，过点Q 作QR⊥B 于点R，连接PR．求△PQR 面积的最 大值及此时点P 的坐标． （3）如图2，点关于x 轴的对称点为点′，将抛物线沿射线′的方向平移2❑ √5个单位长度 得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点， 平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，，K 为顶点的四边形是矩形？若存 在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 【变式5-2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝x2+bx+交y 轴于点（0，﹣4），并经过点 （6，0），过点作B⊥y 轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D 点的坐标 为（4，0），连接D，B，BD．点E 从点出发，以每秒❑ √2个单位长度的速度沿着射线D 运动，设点E 的运动时间为m 秒，过点E 作EF⊥B 于F，以EF 为对角线作正方形 EGF． （1）求抛物线的解析式； （2）当点G 随着E 点运动到达B 上时，求此时m 的值和点G 的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形， 如果存在，直接写出点G 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【变式5-3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝x2+2x+的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于 点，B（3，0），与y 轴交于点，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DM⊥x 轴，垂足为点M， DM 交直线B 于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若 存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点E 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、、E、 1 F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】 【例6】（2022•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形BD 的顶点，B 在x 轴上，抛 物线y＝﹣x2+bx+经过，（4，﹣5）两点，且与直线D 交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，P．试求 EQ+PQ+P 的最小值； （3）为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，，E，为顶点的四 边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x 6 ﹣与x 轴、y 轴分别相交于点、； 经过点、的抛物线：y=1 2 x 2+bx+c与x 轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称 轴与x 轴相交于点E． （1）求抛物线的对称轴． （2）将直线l 向右平移得到直线l1． ①如图①，直线l1与抛物线的对称轴DE 相交于点P，要使PB+P 的值最小，求直线l1 1 的解析式． ②如图 ②，直线l1与直线B 相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点、、F、M 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xy（如图）中，已知抛物线y＝ x2+bx+3 经过点（3，0）、B（4，1）两点，与y 轴的交点为点． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形B 的面积； （3）设抛物线y＝x2+bx+3 的对称轴是直线l，点D 与点B 关于直线l 对称，在线段B 上 是否存在一点E，使四边形DE 是菱形，如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在， 请说明理由． 【变式6-3】（2022•山西模拟）综合与探究 如图，二次函数y＝x2+bx+4 的图象与x 轴分别交于点（﹣2，0），B（4，0），点E 是x 轴正半轴上的一个动点，过点E 作直线PE⊥x 轴，交抛物线于点P，交直线B 于点F． （1）求二次函数的表达式． （2）当点E 在线段B 上运动时（不与点，B 重合），恰有线段PF¿ 1 2EF，求此时点P 1 的坐标． （3）试探究：若点Q 是y 轴上一点，在点E 运动过程中，是否存在点Q，使得以点， F，P，Q 为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明 理由． 【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】 【例7】（2022•铁锋区二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b 与x 轴交于点（4，0），与y 轴交于点B，过， B 两点的抛物线交x 轴于另一点，且＝20，点F 是直线B 下方抛物线上的动点，连接 F，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F 与抛物线的顶点重合时，△BF 的面积为 ； （3）求四边形FB 面积的最大值及此时点F 的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q 为平面内y 轴右侧的一点，是否存在点Q 及平面内另一点 M，使得以，F，Q，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若 不存在，说明理由． 【变式7-1】（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=a x 2+bx+c经 过（﹣2，0），B(1，−9 4 )两点，且与y 轴交于点，点B 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线L1的表达式； （2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E 在L2上（点D 在点E 的上方），若以点，， 1 D，E 为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式． 【变式7-2】（2022 秋•南宁期中）如图，抛物线与y 轴交于点（0，3），与x 轴于点（﹣ 1，0）、B（3，0），点P 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q 是抛物线上第一象限除点P 外一点，△BQ 与△BP 的面积相等，求点Q 的坐标； （3）若M、为抛物线上两个动点，分别过点M、作直线B 的垂线段，垂足分别为D、 E．是否存在点M、使四边形MED 为正方形？如果存在，求