专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题（原卷版）(1)

【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+交x 轴于，B 两点，其中点的坐标为（1，0），与y 轴 交于点（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点D 为y 轴上一点，如果直线BD 与直线B 的夹角为15°，求线段D 的长度； （3）如图2，连接，点P 在抛物线上，且满足∠PB＝2∠，求点P 的坐标． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+ x+交x 轴于点、点B，交y 轴 于点．直线y＝﹣ x+2 经过于点、点B， 例题精讲 （1）求抛物线的解析式； （2）点D 为第一象限抛物线上一动点，过点D 作y 轴的平行线交线段B 于点E，交x 轴 于点Q，当DE＝5EQ 时，求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，点M 为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM 交线段于点， 点F 在线段B 上，连接F、DF、D、DB，当F＝ ，∠DB＝2∠MDF 时，求点M 的坐标． 【例2】．如图，直线y＝ x+与x 轴交于点B（4，0），与y 轴交于点，抛物线y＝ x2+bx+经过点B，，与x 轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是直线B 下方的抛物线上一动点，求四边形PB 的面积最大时点P 的坐标； （3）若点M 是抛物线上一点，请直接写出使∠MB＝ ∠B 的点M 的坐标． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+4 交x 轴于（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y 轴于点， 连接B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上一点，设P 点的横坐标为m． ①当点P 在第一象限时，过点P 作PD⊥x 轴，交B 于点D，过点D 作DE⊥y 轴，垂足 为E，连接PE，当△PDE 和△B 相似时，求点P 的坐标； ②请直接写出使∠PB＝ ∠B 的点P 的坐标． 【例3】．已知如图，抛物线y＝x2+bx 4 ﹣（≠0）交x 轴于、B 两点（点在B 点的左侧）， 交y 轴于点 ．已知＝＝2B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线y＝2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点E，求△E 的面积； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PB＝∠E，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练 【变3-1】．如图，已知：抛物线y＝（x+1）（x 3 ﹣）与x 轴相交于、B 两点，与y 轴的交 于点（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式的一般式． （2）若抛物线上有一点P，满足∠＝∠PB，求P 点坐标． （3）直线l：y＝kx﹣k+2 与抛物线交于E、F 两点，当点B 到直线l 的距离最大时，求 △BEF 的面积． 1．如图，已知直线B：y＝x 3 ﹣与x、y 轴分别交于、B 两点；抛物线y＝x2 2 ﹣x﹣m 与y 轴 交于点，与线段B 交于D、E 两点（D 在E 左侧） （1）若D、E 重合，求m 值； （2）连接D、E，若∠BD＝∠BE，求m 值； （3）连接D，若D＝E，求m 值． 2．如图①，抛物线y＝x2﹣（+1）x+与x 轴交于、B 两点（点位于点B 的左侧），与y 轴 交于点．已知△B 的面积为6． （1）求这条抛物线相应的函数表达式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠PB＝∠B，若存在，请求出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）如图②，M 是抛物线上一点，是射线上的一点，且M、两点均在第二象限内，、 是位于直线BM 同侧的不同两点．若点M 到x 轴的距离为d，△MB 的面积为2d，且∠M ＝∠B，求点的坐标． 3．如图1，抛物线1：y＝x2+的顶点为，直线l：y＝kx+b 与抛物线1交于，两点，与x 轴交 于点B（1，0），且＝2B，S△＝4． （1）求直线l 的解析式； （2）求抛物线1与x 轴的交点坐标； （3）如图2，将抛物线1 向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线，且抛物线的顶点为 P，交x 轴负半轴于点M，交射线B 于点，Q⊥x 轴于点Q，当P 平分∠MQ 时，求m 的 值． 4．如图，直线y＝ x+2 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛物线y＝﹣ x2+bx+经过、B 两 点，与x 轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点D 是直线B 上方抛物线上的一动点， ①求D 到B 的距离最大值及此时的D 点坐标； ②若∠DB＝∠B，求D 点的坐标． 5．如图，抛物线y＝x2+bx+（≠0）与x 轴交于（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y 轴交于点 （0，4），连接、B． （1）求抛物线的表达式； （2）D 为抛物线上第一象限内一点，求△DB 面积的最大值； （3）点P 是抛物线上的一动点，当∠PB＝∠B 时，求点P 的坐标． 6．已知：在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx 经过点（5，0）、B（﹣3，4），抛物 线的对称轴与x 轴相交于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）联结B、BD．求∠BD 的余切值； （3）如果点P 在线段B 的延长线上，且∠P＝∠B，求点P 的坐标． 7．抛物线y＝x2+bx+经过点（﹣3，0）和点B（2，0），与y 轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P 是该抛物线上的动点，且位于y 轴的左侧． ①如图1，过点P 作PD⊥x 轴于点D，作PE⊥y 轴于点E，当PD＝2PE 时，求PE 的长； ②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠P＝∠B？若存在，请求出所有点P 的坐标： 若不存在，请说明理由． 8．如图1，抛物线y＝x2+与x 轴交于点、B，与y 轴交于点，P 为x 轴下方抛物线上一点， 若＝2＝4． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，若∠BP＝∠，求点P 的坐标； （3）如图3，点P 的横坐标为1，过点P 作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点到 直线EF 距离的最大值． 9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+的图象经过点（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）M 是抛物线上第一象限上的一点，连接M，正好将△B 的面积分成相等的两部分， 求M 点的坐标． （3）抛物线上是否存在点P，使∠PB＝∠B，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 10．如图（1），抛物线y＝x2+（﹣5）x+3（为常数，≠0）与x 轴正半轴分别交于，B（在 B 的右边）．与y 轴的正半轴交于点．连接B，t∠B＝ ． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P 是第一象限抛物线上的点，连接PQ，Q，， 若∠QP＝∠B，求点P 的坐标； （3）如图（3），D 是线段上的点，连接BD，满足∠DB＝3∠B，求点D 的坐标． 11．如图，抛物线y＝（x 3 ﹣）（x 2 ﹣）交x 轴于、B 两点（点在点B 的左侧）， ＝ ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接B，点P 在抛物线上，且∠B＝ ∠PB．求点P 的坐标； （3）如图②，M 是抛物线上一点，为射线B 上的一点，且M、两点均在第一象限内， B、是位于直线M 同侧的不同两点，t∠M＝2，点M 到x 轴的距离为2L，△M 的面积为 5L，且∠B＝∠MB，请问M 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请 说明理由． 12 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 3 ﹣过点（﹣3，0），B（1，0），与y 轴交于点， 顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为直线D 上的一个动点，连接B； ①如图1，是否存在点P，使∠PB＝∠B？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若 不存在，请说明理由； ②如图2，点P 在x 轴上方，连接P 交抛物线于点，∠PB＝∠B，点M 在第三象限抛物线 上，连接M，当∠M＝45°时，请直接写出点M 的坐标． 13．如图1，抛物线：y＝x2+bx 经过点（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G 是其顶点，将抛 物线绕点旋转180°，得到新的抛物线′． （1）求抛物线的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线l：y＝kx﹣ 经过点，D 是抛物线上的一点，设D 点的横坐标为m （m＜﹣2），连接D 并延长，交抛物线′于点E，交直线l 于点M，若DE＝2EM，求m 的值； （3）如图3，在（2）的条件下，连接G、B，在直线DE 下方的抛物线上是否存在点 P，使得∠DEP＝∠GB？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知抛物线y＝x2+bx+5 与x 轴交于点（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点在x 轴 的负半轴上，且＝B，点D 的坐标为（0，3），直线l 经过点、D． （1）求抛物线的表达式； （2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结P，且线段P 是线段、B 的比例中项，求 t∠P 的值； （3）在（2）的条件下，联结M、BM，在直线PM 上是否存在点E，使得∠EM＝ ∠MB？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图1，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+（≠0）与x 轴交于、B 两点，与y 轴的负半轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线x＝ ，B、两点的坐标分别为B（2 ，0），（0，﹣3）．点P 为直线B 下方的抛物线上的一个动点（不与B、两点重 合）． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，连接PB、P 得到△PB，问是否存在着这样的点P，使得△PB 的面积最大？ 如果存在，求出面积的最大值和此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）如图2，连接P 交线段B 于点D，点E 为线段D 的中点，过点D 作DM⊥B 于点 M，D⊥于点，连接EM、E，则在点P 的运动过程中，∠ME 的大小是否为定值？如果是， 求出这个定值；如果不是，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与x 轴交于点，B（点在点B 的左 侧），交y 轴于点，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E． （1）连接BD，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B，D 重合），过点M 作 M⊥BD，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作⊥x 轴，垂足为，交BD 于点 F，点P 是线段上一动点，当M 取得最大值时，求F+FP+ P 的最小值； （2）在（1）中，当M 取得最大值，F+FP+ P 取得最小值时，把点P 向上平移 个 单位得到点Q，连接Q，把△Q 绕点顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到 △′Q′，其中边′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'G？ 若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图所示，二次函数y＝x2+bx+（＞0）的图象（记为抛物线L）与y 轴交于点，与x 轴 分别交于点、B，点、B 的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2． （1）若＝，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式； （2）若关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0 的判别式Δ＝4．求证：当b＜﹣ 时，二次函 数y1＝x2+（b+1）x+的图象与x 轴没有交点． （3）若B2＝ ，点P 的坐标为（﹣ ，﹣1），过点P 作直线l 垂直于y 轴， 且抛物线的L 的顶点在直线l 上，连接P、P、BP，P 的延长线与抛物线L 交于点D，若 ∠PB＝∠DB，求x0的最小值．