专题58 二次函数中的面积问题（原卷版）(1)

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割 补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种 求面积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，求△B 的面积． A B C x y O 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比 如这样： D E F O y x C B A 构造矩形DEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△B 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： D E F O y x C B A 此处E+F 即为、B 两点之间的水平距离． 由题意得：E+BF=6． 例题精讲 下面求D： 根据、B 两点坐标求得直线B 解析式为： 由点坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4 代入直线B 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），D=5, ． 【方法总结】 作以下定义： 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点作x 轴的垂线与B 交点为D，线段D 即为B 边的“铅垂高”． 如图可得： 铅 垂 高 水平宽 D A B C x y O E 【解题步骤】 （1）求、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点作x 轴垂线与B 交于点D，可得点D 横坐标同点； （3）求直线B 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2 2 ﹣x+3 与x 轴交于（1，0），B（﹣3，0）两点，与y 轴 交于点．点P 为抛物线第二象限上一动点，连接PB、P、B，求△PB 面积的最大值，并 求出此时点P 的坐标． 变式训练 【变1-1】．如图，已知抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于、B 两点，过点的直线l 与抛物线交 于点，其中点的坐标是（1，0），点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求△E 的最大面积 及E 点的坐标． 【变1-2】．如图，直线y＝﹣ x+2 交y 轴于点，交x 轴于点，抛物线y＝﹣ +bx+经 过点，点，且交x 轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； 例题精讲 （2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形BM 面积的最大值及此时点M 的坐标． 【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点，过点的直线l 交抛物线于点（2，m），点P 是线段上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）当P 在何处时，△E 面积最大． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+2 交x 轴于点（﹣3，0）和点B（1，0），交y 轴于点． （1）求这个抛物线的函数表达式； （2）若点D 的坐标为（﹣1，0），点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 DP 面积的最大值． 【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x 2 ﹣与x 轴交于点B，与y 轴交于点， 二次函数y＝ +bx+的图象经过B，两点，且与x 轴的负半轴交于点，动点D 在直线 B 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）连接D，DB，设△BD 的面积为S，求S 的最大值． 1．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，若点P 是线段B 上方的抛物线上一动点，当△BP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ） ．（2，3） B．（ ， ） ．（1，3） D．（3，2） 2．如图1，抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，直线 过 B、两点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为抛物线上直线B 上方的一动点，求△PB 面积的最大值，并求出点P 坐标； （3）若点Q 为抛物线对称轴上一动点，求△Q 周长的最小值． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y 轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△Q 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PB 的面积最大？若存在， 求出△PB 面积的最大值．若没有，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx 5 ﹣与x 轴交于（﹣1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的二次函数解析式： （2）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点B、、P、Q 为顶点的四边形是平行四 边形时，求点P 的坐标； （3）如图2，点是直线B 下方抛物线上的动点，连接B，．当△B 的面积最大时，求点 的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于、B 两点，B 点的坐 标为（3，0），与y 轴交于点（0，﹣3），点P 是直线B 下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接P，P，并将△P 沿y 轴对折，得到四边形PP'．是否存在点P，使四边形PP'为 菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形BP 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形 BP 的最大面积． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+与坐标轴交点分别为（﹣1，0），B（3，0），（0，2），作 直线B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，设点P 的横坐标 为t（0＜t＜3），求△BP 的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若△DP 与△B 相似，求点P 的坐标． 7．如图，抛物线y＝x2 3 ﹣x 4 ﹣（＜0）与x 轴交于，B 两点，直线y＝ x+ 经过点，与抛 物线的另一个交点为点，点的横坐标为3，线段PQ 在线段B 上移动，PQ＝1，分别过 点P、Q 作x 轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形DEFG 为平行四边形时，求出此时点P、Q 的坐标； （3）在线段PQ 的移动过程中，以D、E、F、G 为顶点的四边形面积是否有最大值， 若有求出最大值，若没有请说明理由． 8．如图，已知二次函数y＝x2+bx+3 的图象交x 轴于点（1，0），B（3，0），交y 轴于点． E 是B 上一点，PE∥y 轴． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P 是直线B 下方抛物线上的一动点，求BP 面积的最大值； （3）直线x＝m 分别交直线B 和抛物线于点M，，当m 为何值时M＝BM， 9．已知直线y＝ x 3 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点，抛物线y＝﹣ x2+mx+经过点和点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在点D，使得△D 的面积最大？若存在，求出点D 的 坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 3 ﹣交x 轴于点（﹣1，0），B（3， 0），过点B 的直线y＝＝ x 2 ﹣交抛物线于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P 是直线B 下方抛物线上的一个动点（P 不与点B，重合），求△PB 面积的最 大值． 11．如图，在平面直角坐标系xy 中，已知直线y＝ x 2 ﹣与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 过、B 两点的抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于另一点（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PB＝S△B？若存在，请求出点P 的坐标，若不存 在，请说明理由； （3）点M 为直线B 下方抛物线上一点，点为y 轴上一点，当△MB 的面积最大时，求 M+ 的最小值． 12．直线y＝﹣ x+2 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+经过、B 两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P 是直线B 上方抛物线上一点； ①当△PB 的面积最大时，求点P 的坐标； ②在①的条件下，点P 关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线B 上是否存在点M， 使得直线QM 与直线B 的夹角是∠QB 的两倍？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存 在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 3 ﹣（≠0）交y 轴于点，交x 轴于点B （﹣3，0）和点（1，0）． （1）求此抛物线的表达式． （2）若点P 是直线B 下方的抛物线上一动点，当△BP 的面积最大时，求出此时点P 的 坐标和△BP 的最大面积． （3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线B 上确定一点，使△DP 为等腰三角形， 请直接写出此时点的坐标 ． 14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+与一直线相交于（1，0）、（﹣2，3）两点，与y 轴交 于点，其顶点为D． （1）求抛物线及直线的函数关系式； （2）在对称轴上是否存在一点M，使△M 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和 △M 周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若P 是抛物线上位于直线上方的一个动点，求△P 的面积的最大值及此时点P 的坐 标． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于（﹣1，0），B（4，0）， （0，﹣4）三点，点P 是直线B 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点P 运动到什么位置时，△PB 面积最大，求出此时P 点坐标和△PB 的最大面积． （3）是否存在点P，使△P 是以为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存 在，请说明理由． 16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线的对称轴交x 轴于点M，连接B、M．求△BM 的周长及t∠BM 的值； （3）如图2，过点的直线m∥B，点P 是直线B 上方抛物线上一动点，过点P 作 PD⊥m，垂足为点D，连接BD，D，P，PB．当四边形BDP 的面积最大时，求点P 的 坐标及四边形BDP 面积的最大值． 17．如图1，在平面直角坐标系xy 中，抛物线F1：y＝x2+bx+经过点（﹣3，0）和点B （1，0）． （1）求抛物线F1的解析式； （2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点成中心对称，请直接写出抛物线 F2的解析式； （3）如图3，将（2）中抛物线F2 向上平移2 个单位，得到抛物线F3，抛物线F1 与抛 物线F3相交于，D 两点（点在点D 的左侧）． ①求点和点D 的坐标； ②若点M，分别为抛物线F1和抛物线F3上，D 之间的动点（点M，与点，D 不重合）， 试求四边形MD 面积的最大值． 18 将抛物线y＝x2（≠0）向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位后，得到抛物线：y＝（x ﹣）2+k．抛物线与x 轴交于点、B，与y 轴交于点．已知（﹣3，0），点P 是抛物线上 的一个动点． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，点P 在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点P 作PD⊥B，垂 足为D，PD 交于点E．作PF⊥，垂足为F，求△PEF 的面积的最大值． （3）如图2，点Q 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使 得以点、P、、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的 坐标；若不存在，说明理由． 参考：若点P1 （x1 ，y1 ）、P2 （x2 ，y2 ），则线段P1P2 的中点P0 的坐标为 ．