题型8 函数的实际应用 类型4 抛物线型问题16题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型四 抛物线型问题（专题训练） 1．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方 的处射门， 球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为244m，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向 正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方225m 处？ 【答】(1) ，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1 米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入点坐标求出 的值即可得到函数表达式，再把 代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可 得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点 代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线解析式为 ， 把点 代入，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为 ， 当 时， ， ∴球不能射进球门； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）设小明带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ， 把点 代入得 ， 解得 （舍去）， ， ∴当时他应该带球向正后方移动1 米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等 知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以为坐标 原点，以 所在直线为x 轴，以过点垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根 据设计要求： ，该抛物线的顶点P 到 的距离为 ． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、B 处分别安装照 明灯．已知点、B 到 的距离均为 ，求点、B 的坐标． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为 ，再代入（0，0），求 出的值即可； （2）根据题意知，，B 两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解决问题． (1) 依题意，顶点 ， 设抛物线的函数表达式为 ， 将 代入，得 ．解之，得 ． ∴抛物线的函数表达式为 ． (2) 令 ，得 ． 解之，得 ． ∴ ． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值 的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 3．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验， 收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 （单位： ）以、飞行高度 （单位： ）随 飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 3 0 40 … 飞行高度 0 22 40 5 4 64 … 探究发现： 与， 与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关 于的函数解析式和 关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域 ．若飞机落到 内（不包括端 点 ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答】探索发现： ；问题解决：（1） ；（2）大于 且小于 【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可； 问题解决：（1）令二次函数 代入函数解析式即可求解； （2）设发射平台相对于安全线的高度为 ，则飞机相对于安全线的飞行高度 ．结合 ，即可求解 【详解】探究发现：x 与t 是一次函数关系，y 与t 是二次函数关系， 设 ， ， 由题意得： ， ， 解得： ， ∴ ． 问题解决（1） 解：依题总，得 ． 解得， （舍）， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时， ． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 ． （2）解：设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ． ， ， ， 在 中， 当 时， ； 当 时， ． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 且小于 ． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键 是把实际问题分析转变成数学模型． 4 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部 分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点 时，桥下水 位刚好在 处．有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会 触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； （3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 ，该抛物线在 轴下方部分 与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 个 单位长度，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小，结合函数图象， 求 的取值范围． 【答】（1）y= x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3） 5≤m≤8 【分析】 （1）设二次函数的解析式为：y=(x-8)x，根据待定系数法，即可求解； （2）把：x =1，代入y= x2+2x，得到对应的y 值，进而即可得到结论； （3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m 的范围． 【详解】 （1）根据题意得：(8，0)，B(4，4)， 设二次函数的解析式为：y=(x-8)x， 把(4，4)代入上式，得：4=×(4-8)×4，解得： ， ∴二次函数的解析式为：y= (x-8)x= x2+2x（0≤x≤8）； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）由题意得：x=04+12÷2=1，代入y= x2+2x，得y= ×12+2×1= ＞168， 答：他的头顶不会触碰到桥拱； （3）由题意得：当0≤x≤8 时，新函数表达式为：y= x2-2x， 当x＜0 或x＞8 时，新函数表达式为：y=- x2+2x， ∴新函数表达式为： ， ∵将新函数图象向右平移 个单位长度， ∴ （m，0）， （m+8，0）， （m+4，-4），如图所示， 根据图像可知：当m+4≥9 且m≤8 时，即：5≤m≤8 时，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小． 【点睛】 本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质， 二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键． 5．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数 学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点 处将沙包（看成 点）抛出，并运动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分． (1)写出 的最高点坐标，并求，的值； (2)若嘉嘉在x 轴上方 的高度上，且到点水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求 符合条件的的整数值． 【答】(1) 的最高点坐标为 ， ， ；(2)符合条件的的整数值为4 和5 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点 在抛物线上，利用待定系数法即 可求得的值；令 ，即可求得的值； （2）求得点的坐标范围为 ，求得的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴ 的最高点坐标为 ， ∵点 在抛物线 上， ∴ ，解得： ， ∴抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ； （2）解：∵到点水平距离不超过 的范围内可以接到沙包， ∴点的坐标范围为 ， 当经过 时， ， 解得 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当经过 时， ， 解得 ； ∴ ∴符合条件的的整数值为4 和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点 的坐标特征是解题的关键． 62022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训 练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平线的垂线为 轴， 建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小 山坡，某运动员从点 正上方 米处的 点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动． （1）当运动员运动到离 处的水平距离为 米时，离水平线的高度为米，求抛物线 的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的 竖直距离为米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求 的取值范围． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1） ；（2）12 米；（3） ． 【分析】 （1）根据题意可知：点（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线 即可求解； （2）高度差为1 米可得 可得方程，由此即可求解； （3）由抛物线 可知坡顶坐标为 ，此时即当 时，运动员 运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即 ，由此即可求出 b 的取值范围． 【详解】 解：（1）根据题意可知：点（0，4），点B（4，8）代入抛物线 得， ， 解得： ， ∴抛物线 的函数解析式 ； （2）∵运动员与小山坡的竖直距离为米， ∴ ， 解得： （不合题意，舍去）， ， 故当运动员运动水平线的水平距离为12 米时，运动员与小山坡的竖直距离为米； （3）∵点（0，4）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴抛物线 ， ∵抛物线 ， ∴坡顶坐标为 ， ∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时， ∴ ， 解得： ． 【点睛】 本题属二次函数应用中的难题解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分 清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立 相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4) 还原：将用数学方法得 到的结论还原为实际问题． 7．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学 知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点，在x 轴上，球 与y 轴的水平距离 ， ， 击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足一次 函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足 二次函数关系 ． (1)求点P 的坐标和的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过．要使球的落地点到点的距离更近，请通 过计算判断应选择哪种击球方式． 【答】(1) ， ；(2)选择吊球，使球的落地点到点的距离更近 【分析】（1）在一次函数上 ，令 ，可求得 ，再代入 即可求得 的值； （2）由题意可知 ，令 ，分别求得 ， ，即 可求得落地点到 点的距离，即可判断谁更近． 【详解】（1）解：在一次函数 ， 令 时， ， ∴ ， 将 代入 中，可得： ， 解得： ； （2）∵ ， ， ∴ ， 选择扣球，则令 ，即： ，解得： ， 即：落地点距离点 距离为 ， ∴落地点到点的距离为 ， 选择吊球，则令 ，即： ，解得： （负值舍去）， 即：落地点距离点 距离为 ， ∴落地点到点的距离为 ， ∵ ， ∴选择吊球，使球的落地点到点的距离更近． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的 关键． 8 如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 在 轴上，且 dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为 轴，高度 dm．现计划将此余料进行 切割： (1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘 上且面积最大，求此正方形的面积； (2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘 上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若切割成圆，判断能否切得半径为dm 的圆，请说明理由． 【答】(1) ； (2)20dm； (3)能切得半径为3dm 的圆． 【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点 的坐标，代入即可得到关于m 的方程进行求解； （2）如详解2 中图所示，设矩形落在B 上的边DE=2，利用函数解析式求解F 点坐标，进 而表示出矩形的周长求最大值即可； （3）为了保证尽可能截取圆，应保证圆心坐标为（0，3），表示出圆心到二次函数上个点 之间的距离与半径3 进行比较即可． (1) 由题目可知（-4，0），B（4，0），（0，8） 设二次函数解析式为y=x²+bx+， ∵对称轴为y 轴， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm b=0 ∴ ，将、代入得，= ，=8 则二次函数解析式为 ， 如下图所示,正方形MPQ 即为符合题意得正方形，设其边长为2m， 则P 点坐标可以表示为（m，2m） 代入二次函数解析式得， ，解得 （舍去）， 2m= ∴ ， 则正方形的面积为 ； (2) 如下如所示矩形DEFG，设DE=2，则E（，0） 将x=代入二次函数解析式，得 ， 则EF= ， 矩形DEFG 的周长为：2（DE+EF）=2（2+ ）= ， 当=2 时，矩形的周长最大，最大周长为20dm； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3) 如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心坐标为（0，3）， 则圆心到二次函数上个点之间的距离为 ， ∴能切得半径为3dm 的圆． 【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线 段长度之间的转换是解题的关键． 9．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023 年的世界乒乓球标赛 中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分 不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线 的一部分． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ (1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球 运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球 台上时，到起始点的水平距离是__________ ； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保 乒乓球既能过，又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训 练．如图②．乒乓球台长 为274 ，球高 为1525 ．现在已经计算出乒乓球恰好 过的击球离度 的值约为127 ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时， 击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答】(1)见解析；(2)① ； ；② ；(3)乒乓球恰好落在对面球 台边缘点B 处时，击球高度 的值为 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据 题意当 时， ，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ， 顶点坐标为 ， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ， 当 时， ， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ； 故答为： ； ． ②设抛物线解析式为 ，将 代入得， ， 解得： ， ∴抛物线解析式为 ； （3）∵当 时，抛物线的解析式为 ， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度 的值为，则平移距离为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∴平移后的抛物线的解析式为 ， 依题意，当 时， ， 即 ， 解得： ． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度 的值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握 二次函数图象的性质是解题的关键． 10 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛 物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着 陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高． 2022 年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点K 到起跳台的水平 距离为 ，高度为 （为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为 ． (1)的值为__________； (2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时 ，求基准点K 的高度；