待定系数法 【规律总结】 待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的 形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组， 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解 决问题的方法叫做待定系数法。 【典例分析】 例1、一次函数y=kx+b(k ,b 为常数，且k ≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得 的方程kx+b=0的解为（ ） x=−1 B x=2 x=0 D x=3 【答】 【解析】 【分析】 此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函 数解析式． 首先利用待定系数法把(2,3)，(0,1)代入y=kx+b，可得关于k、b 的方程组，再解方程组 可得k、b 的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b=0的解即可． 【解答】 解：∵一次函数y=kx+b经过点(2 【分析】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、 待定系数法求一次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、相互垂直的两条直线的特点等知 识点，得到m 与的函数关系式是解题的关键． 先求得抛物线的顶点坐标和点的坐标，设点的坐标为(1,n)，0≤n≤4，依据待定系数法求 得的解析式(用含的式子表示)，然后根据相互垂直的两直线的一次项系数积为−1可得到直 线M

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可． 【详解】（1）解：将点 代入 ， ， ， 将 代入 ， ， ， 将 和 代入 ， ，解得： ， ； （2）解：根据图象可得，当 时， 的取值范围为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 的大小关系，并写出判断 过程； (3)请直接写出关于 的不等式 的解集． 【答】(1) (2)当 或 时， ；当 时， (3) 或 【分析】（1）将点 代入反比例函数 ，求得 ，将点 代入 ，得出 ，进而待定 系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大，进而分类 讨论即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将点 ， 当 时，根据图象可得 ， 综上所述，当 或 时， ；当 时， ， （3）根据图象可知， ， ，当 时， 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函 数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题 解题模板： 【例2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数

的坐标；若不存在，请 说明理由． 【答】(1) (2) (3)点 的坐标为 或 【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可； （2）设直线 的解析式为 ，待定系数法求得直线 的解析式为： ； ，则 ，根据两点间的距离公式可得 ， ，结合题意可得 ，建立方程求解可得 ，即可求解； （3）设直线 的解析式为 ，待定系数法求得直线 的解析式为： ； 设直线 的解析式为： ，将点 代入 求得直线 的解析式为： 当 时，整理得： ， 解得 （舍去）， ； 当 时， ， 故 ； 当 时，整理得： ， 解得： （舍去）， ； 当 时， ， 故 ； 综上，点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求一次函数解析式，两点间的距离公式， 熟练掌握两点间的距离公式，列方程求解是解题的关键． 【变式训练1】已知抛物线的 顶点为 ，与 轴交于 ． (1)求抛物线 的解析式； 时， ，∴ ， 抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 的解析式为： ， 联立方程组： ，解得： ， ， ∴ ， ， ∵ 轴， 轴， ， ． ∴ ， ， ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐 标，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，本题难度较大，属于压轴题． 【变式训练2】如图1，已知抛物线 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点D．

时，两直线垂直． 四、待定系数法 1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解 析式的方法叫做待定系数法． 2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤 （1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）． （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程． （3）解方程，求出待定系数k． （4）将求得的待定系数k 的值代入解析式． 的值代入解析式． 3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 （1）设出含有待定系数k、b 的函数解析式y=kx+b． （2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b 的二元 一次方程组． （3）解二元一次方程组，求出k，b． （4）将求得的k，b 的值代入解析式． 1．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向 右平移3 个单位长度得到一次函数 【分析】根据正方形的性质得到点，关于直线B 对称，连接D 交B 于P，连接P，PD，则 此时，PD+P 的值最小，求得直线D 的解析式为y＝﹣ x+4，由于直线B 的解析式为y＝ x，解方程组得到P（ ， ），由待定系数法即可得到结论． 【解析】解：∵四边形B 是正方形，∴点，关于直线B 对称， 连接D 交B 于P，连接P，PD，则此时，PD+P 的值最小， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育

时，x 的取值范围． (3)如图，点P 是线段 上方抛物线上一动点，当P 点的坐标为_______时， 的面积 最大． 【答】(1) ； ；对称轴直线 (2) 或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象即可得出结论； （3）过点 作 轴交 于点 ，设 ，则 ，则 ，再由此求解即可． 【详解】（1）将点 ， 代入 ， ， 解得 ， ； 令 是抛物线上一动点，且在第三象限，当 点运动到何处时，四边形 的面积 最大？求出四边形 的最大面积． 【答】(1) (2) (3) ，最大，最大值为 【分析】（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线 ，将点 代入解析式， 待定系数法即可求解； （2）连接 ，交对称轴于点 ，根据两点之间，线段最短可得点 即为所求，求得直线 的解析式，令 ，即可求解； （3）连接 ，如图1，设 点坐标为 ，根据 ，根据二次函数的性质即可求解． 的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)存在， ；(3)存在， ， 的面积最大值是 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）根据题意可知，边 的长是定值，要想 的周长最小，即是 最小所 以此题的关键是确定点Q 的位置，找到点关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直 线 的解析式，直线 与对称轴的交点即是所求的点Q； （3）首先求得 的坐标，然后设P 的横坐标是x，利用表示出

1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实 际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数 关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解 是否符合实际意义；（6）答． 3．方最值问题： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 函数图象如图所示． (1)当 时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为 ，联立 ，即可求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 与x 之间的函数关系式为 将点 代入得， 解得： ， ∴ ； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天 挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的

时，两直线垂直． 四、待定系数法 1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解 析式的方法叫做待定系数法． 2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤 （1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）． （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程． （3）解方程，求出待定系数k． （4）将求得的待定系数k 的值代入解析式． 的值代入解析式． 3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 （1）设出含有待定系数k、b 的函数解析式y=kx+b． （2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b 的二元 一次方程组． （3）解二元一次方程组，求出k，b． （4）将求得的k，b 的值代入解析式． 1．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向 右平移3 个单位长度得到一次函数 三、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有 一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而 确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）把已知一对x，y 的值代入解析式，得到一个关于待定系数k 的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k

，使得 四边形 是平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)① ；②点 到直线 的距离的最大值为 ，此时点 的坐标为 (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①在图1 中，过点 作 轴，交 于点 ，求得直线 的解析式为 ．点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，根据三角形的面积公 式得出 ； ②根据二次函数的性质得出当 时，取最大值，最大值为 点 的坐标为 ； 当 时，不存在，理由如下， 若四边形 是平行四边形，则 ， 点 的横坐标为，点 的横坐标为， 点 的横坐标 ， 又 ， 不存在， 综上所述， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等， 解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x 轴交于、B 两点 （点在B 点的左侧），直线 的中点重合， ， ，解得： ， ， ， ③ 为对角线时， 的中点与 的中点重合， ， ， 解得： ， ， ， 综上所述，点的坐标为： ， ， ． 【点睛】本题考查了求抛物线与x 轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的 最值问题，平行四边形的性质，要分情况讨论求解，以防遗漏． 【变式训练2】如图，抛物线 经过 ， 两点． (1)求此拋物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点

(3)如图2，点 为抛物线的顶点，当 时，在抛物线上是否存在点 使 是等腰 三角形？若能，请直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由． 【答】(1) (2) (3) ， ， 【分析】（1）把 ， 抛物线 ，待定系数法求解析式即可求 解； （2）先求得 ，根据 ，得出 ，求得直线 的 解析式为： ，设点 ，则 ，根据 ，建立方 程，解方程即可求解； （3）根据 ，画出图形，分两种情况讨论，①当 时，则 请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)抛物线的解析式为： (2)当 时， 的面积最大，最大面积为32 (3) (4)存在，P 点的坐标为 ， ， 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）利用抛物线的解析式求出点B 的坐标，得到直线 的解析式，过点P 作 轴， 交x 轴于点F，交 于点G，利用 求出解析式，利用函数性质解答即 可； （3）作关于直线 的对称点为 当 时，则 ， ∴ ， 解得 （舍去）或 ， ∴ ； 当 时，则 ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， 综上，P 点的坐标为 ， ， ． 【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问 题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键． 【变式训练3】综合与实践 如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．

的坐标；若不存在，说明理由． 【答】(1) ， (2)点 ； (3)①见解析；②点P 的坐标为 或 【分析】（1） 中求出 时y 的值和 时x 的值即可得； （2）作 轴，证明 得 ， ，据此可得 ，再 根据待定系数法求解可得； （3）①过点作 轴于点G，作 轴于点M， 轴于点，证明 、 ，即可求解； ②当点P 在点的下方时，由 的面积 ，即可求解；当点 在点 的上方时，则点是点 的中点，即可求解． ， 当P 在点的下方时 则 故 当 在点的上方时 则点是点 的中点， 由中点坐标公式得：点P 的坐标为 ∴点P 的坐标为 或 ． 【点睛】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、全等 三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及割补法求三角形的面积等知识点． 例3（2022 春·河南南阳·八年级统考期中）如图，一次函数 与两坐标轴分别相交 于点．B，一次函数 时， 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）画出示意图分三种情况当 时，当 时以及当 时分别求解即可． （1） ∵直线 经过点、B (-2 ∴ ，0)、B(0，4) =10 ∵ (8 ∴ ，0) ∵一次函数 经过点B、， ∴ 解得 ∴ ． （2） ①当 时， ②当 时， ③当 时， ∴当 时， ；当 时， ． 【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，直线的交点坐标等知识点，熟练掌