题型7 函数的基本性质（复习讲义）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型七函数的基本性质（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 一次函数 一、正比例函数的概念 一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做正比例系数． 二、一次函数 1 一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b(k，b 为常数，且k≠0)的函数叫做x 的一次函数 特别地，当一次函数y=kx+b 中的b=0 时，y=kx（k 是常数，k≠0）．这时， y 叫做x 的 正比例函数． 2 一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b 为常数，k≠0． 一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x 的次数是1；（3）常数b 可以为任 意实数 3 注意 （1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 （2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式 三、一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k 的符 号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y 随x 的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y 随x 的增大而减小 2 一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(- ，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b >0，向上平移b 个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象 时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y 随x 的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y 随x 的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3k，b 的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b 与x 轴交于（– ，0）． ①当– >0 时，即k，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴． ②当– =0，即b=0 时，直线经过原点． ③当– <0，即k，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴． 4 两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y 轴上一点； ④当k1·k2=–1 时，两直线垂直． 四、待定系数法 1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解 析式的方法叫做待定系数法． 2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤 （1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）． （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程． （3）解方程，求出待定系数k． （4）将求得的待定系数k 的值代入解析式． 3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 （1）设出含有待定系数k、b 的函数解析式y=kx+b． （2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b 的二元 一次方程组． （3）解二元一次方程组，求出k，b． （4）将求得的k，b 的值代入解析式． 1．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向 右平移3 个单位长度得到一次函数 的图象，则该一次函数的解析式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据一次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：正比例函数 的图象向右平移3 个单位长度得： ， 故选：B． 【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键． 2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数 的图象经过一、三、四象限． 【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ， ∴一次函数 的图象经过点 和 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴一次函数 的图象经过一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线． 3 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣ x+1 与x 轴，y 轴分别交于点和点B， 直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点．若∠B=∠B，则k 的值为（ ） ． B． ． D．2 【答】B 【分析】过作D⊥于D，利用直线l1：y x+1，即可得到（2 ，0），B（0， 1），B 3．依据D B ∥，可得D ，D B ，进而得到（ ），代入直线l2：y＝kx，可得k 的值． 【解析】如图，过作D⊥于D．直线l1：y x+1 中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则 x＝2 ， 即（2 ，0），B（0，1），∴Rt B △ 中，B 3． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm B ∵∠＝∠B，∴B＝B＝1，＝2． D B ∵∥，∴D ，D B ，即（ ），把（ ）代入直线l2：y ＝kx，可得： k，即k ．故选B． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相 对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 4．（2023·山东临沂·统考中考真题）对于某个一次函数 ，根据两位同学的 对话得出的结论，错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b 的符号，再确定一次函数 系 数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第二象限， ∴ ，故选项正确，不符合题意； ∴ ，故选项B 正确，不符合题意； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵一次函数 的图象经过点 ， ∴ ，则 ， ∴ ，故选项错误，符合题意； ∵ ， ∴ ，故选项D 正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b 的正负． 5 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在x 轴、y 轴上，四边形B 是边长为4 的正方形， 点D 为B 的中点，点P 为B 上的一个动点，连接DP，P，当点P 满足DP+P 的值最小时， 直线P 的解析式为_____． 【答】y＝﹣2x+8 【分析】根据正方形的性质得到点，关于直线B 对称，连接D 交B 于P，连接P，PD，则 此时，PD+P 的值最小，求得直线D 的解析式为y＝﹣ x+4，由于直线B 的解析式为y＝ x，解方程组得到P（ ， ），由待定系数法即可得到结论． 【解析】解：∵四边形B 是正方形，∴点，关于直线B 对称， 连接D 交B 于P，连接P，PD，则此时，PD+P 的值最小， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵＝＝B＝4，∴（0，4），（4，0）， D ∵ 为B 的中点，∴D＝ B＝2，∴D（4，2）， 设直线D 的解析式为：y＝kx+b，∴ ，∴ ，∴直线D 的解析式为：y＝ ﹣ x+4， ∵直线B 的解析式为y＝x，∴ ，解得：x＝y＝ ，∴P（ ， ）， 设直线P 的解析式为：y＝mx+，∴ ，解得： ， ∴直线P 的解析式为y＝﹣2x+8，故答为：y＝﹣2x+8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解 析式，正确的找出点P 的位置是解题的关键． 6．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 ， ，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，则点 的对应点 的坐标是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【分析】先根据一次函数解析式求得点 的坐标，进而根据旋转的性质可得 ， ， ，进而得出 ，结合坐标系， 即可求解． 【详解】解：∵直线 分别与 轴， 轴交于点 ， ， ∴当 时， ，即 ，则 ， 当 时， ，即 ，则 ， ∵将 绕着点 顺时针旋转 得到 ， 又∵ ∴ ， ， ， ∴ ， 延长 交 轴于点 ，则 ， ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的 性质是解题的关键． 7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，以点P 为中心，把点按逆时针方向旋转 得到点B，在 ， ， ， 四个点中，直线 经过的点是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据含 角的直角三角形的性质可得 ，利用待定系数法可得直线 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 的解析式，依次将 四个点的一个坐标代入 中可解答． 【详解】解：∵点 ，点 ， ∴ 轴， ， 由旋转得： ， 如图，过点B 作 轴于， ∴ ， ∴ ， ∴ ）， 设直线 的解析式为： ， 则 ， ∴ ， ∴直线 的解析式为： ， 当 时， ， ∴点 不在直线 上， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时， ， ∴ 在直线 上， 当 时 ， ∴ 不在直线 上， 当 时， ， ∴ 不在直线 上． 故选：B． 【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B 的坐标 是解本题的关键． 8 如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 且与 轴交于点 ，把点 向左平移2 个单位，再向上平移4 个单位，得到点 过点 且与 平行的直线交 轴于点 （1）求直线 的解析式；（2）直线 与 交于点 ，将直线 沿 方向平移， 平移到经过点 的位置结束，求直线 在平移过程中与 轴交点的横坐标的取值范围 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1） （2） 【分析】（1）由题意先求出点的坐标，再根据平移求得点的坐标，由直线D 与y=2x 平行， 可设直线D 的解析式为y=2x+b，代入点坐标利用待定系数法即可得； （2）先求得点B 坐标，根据直线平移后经过点B，可得平移后的解析式为y=2x+3，分别 求得直线D、直线BF 与x 轴的交点坐标即可得到平移过程中与x 轴交点横坐标的取值范围 【解析】（1） 点 在直线 上， ， ， 又 点 向左平移2 个单位，又向上平移4 个单位得到点 ， ， 直线 与 平行， 设直线 的解析式为 ， 又 直线 过点 ，∴2=6+b，解得b=-4， 直线 的解析式为 ； （2）将 代入 中，得 ，即 ， 故平移之后的直线 的解析式为 ，令 ，得 ，即 ， 将 代入 中，得 ，即 ， 平移过程中与 轴交点的取值范围是： 【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移k 值不变是解题 的关键 9．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点 在直线 上，过点的直线交y 轴于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求m 的值和直线 的函数表达式． (2)若点 在线段 上，点 在直线 上，求 的最大值． 【答】(1) ， ；(2) 【分析】（1）把点的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线 的函数解析式为 ，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得 ， ，则有 ，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ． 设直线 的函数表达式为 ，把点 ， 代入得 ，解得 ， ∴直线 的函数表达式为 ． （2）解：∵点 在线段 上，点 在直线 上， ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ∵ ， ∴ 的值随 的增大而减小， ∴当 时， 的最大值为 ． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的 关键． 考点02 反比例函数 一、反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数 （k 是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比 例函数的解析式也可以写成 的形式．自变量x 的取值范围是x≠0 的一切实数， 函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数 （k 是常数，k¿ 0）中x，y 的取值范围 自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0 的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三 象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当k<0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增 大． 表达式 （k 是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y 随x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x 和y=-x， 对称中心为原点． 3．注意 （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑 的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数 中x≠0 且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象 限内的增减情况．当k>0 时，在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小，但不 能笼统地说当k>0 时，y 随x 的增大而减小．同样，当k<0 时，也不能笼统地说y 随x 的增大而增大． 三、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有 一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）把已知一对x，y 的值代入解析式，得到一个关于待定系数k 的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式． 四、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积如图①，S△B=2S△=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于、B 两点，且一次函数与x 轴交于 点，则S△B=S△+S△B= + = ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，为B 延长线与x 轴的交点，则S△B=S△–S△B= – = ． 10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 ，则， 的大小关系为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先根据点 求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为 ， 将点 代入得： ， 则反比例函数的解析式为 ， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大， 又 点 在函数 的图象上，且 ， ，即 ， 故选：． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 函数的图象与性质是解题关键． 11（2023·湖北随州·统考中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流(单 位：)与电阻R(单位： )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为 时，电流 为( ) ． B． ． D． 【答】B 【分析】设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解 析式为 ，再把 代入，即可求出电流． 【详解】解：设该反比函数解析式为 ， 由题意可知，当 时， ， ， 解得： ， 设该反比函数解析式为 ， 当 时， ， 即电流为 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键． 12．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分 别为 与 关于直线 对称，反比例函数 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 的图象与 交于点 ．若 ，则 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点B 作 轴，根据题意得出 ，再由特殊角的三角函数及等 腰三角形的判定和性质