专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法（解析版）

专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法 类型一、平行四边形存在性问题 例．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与轴交于 点，点 是 抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接 ， ， ，设 的面积为． ①求关于的函数表达式； ②求 点到直线 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，与 轴的交点为 ，在直线上是否存在点 ，使得 四边形 是平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)① ；②点 到直线 的距离的最大值为 ，此时点 的坐标为 (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①在图1 中，过点 作 轴，交 于点 ，求得直线 的解析式为 ．点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，根据三角形的面积公 式得出 ； ②根据二次函数的性质得出当 时，取最大值，最大值为 ．勾股定理求得 ， 等面积法求得点 到直线 的距离，进而得出 的坐标； （3）如图2，连接 ，交抛物线对称轴于点 ，因为抛物线 与 轴交于 ， 两点，所以抛物线的对称轴为直线 ，由平行四边形的性质及平移规 律可求出点 的坐标；当 时，不存在． 【详解】（1）(1)将 ， 代入 ， 得 解得： ， ∴抛物线的表达式为 ． （2）①在图1 中，过点 作 轴，交 于点 ． 设直线 的解析式为 ， 将 、 代入 ， ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ． ∵点 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ， ∴ ， ∴ ② ∵ ， ∴当 时，取最大值，最大值为 ． ∵ 、 ， ∴线段 ， ∴点 到直线 的距离的最大值为 ， 当 时， ，则此时点 的坐标为 （3）如图 ，连接 ，交抛物线对称轴于点 ， 抛物线 与 轴交于 ， 两点， 抛物线的对称轴为直线 ， ， ， ， ， 在 中，当 时， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ； 当 时，不存在，理由如下， 若四边形 是平行四边形，则 ， 点 的横坐标为，点 的横坐标为， 点 的横坐标 ， 又 ， 不存在， 综上所述， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等， 解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x 轴交于、B 两点 （点在B 点的左侧），直线 与抛物线交于、两点． (1)求点的坐标； (2)点P 为直线 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴平行线交 于E 点，当 最长时求 此时点P 的坐标； (3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点，使以 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在请求出点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在，点的坐标为： ， ， ，见解析 【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ， 解得： ， ， ， 直线 经过点 ， ，解得： ， 直线 的解析式为 ， 联立方程组，得 ， 解得： ， ； （2）如图1，设点 ，则点 ， ， ， 当 时， 取得最大值 ，此时， ； （3） ， 抛物线顶点为 ， 如图2，点 为顶点的四边形是平行四边形时，设 ，分三种情况： ① 为对角线时， 的中点与 的中点重合， ， ，解得： ， ， ， ② 为对角线时， 的中点与 的中点重合， ， ，解得： ， ， ， ③ 为对角线时， 的中点与 的中点重合， ， ， 解得： ， ， ， 综上所述，点的坐标为： ， ， ． 【点睛】本题考查了求抛物线与x 轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的 最值问题，平行四边形的性质，要分情况讨论求解，以防遗漏． 【变式训练2】如图，抛物线 经过 ， 两点． (1)求此拋物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 ，使得 值最小，求最小值； (3)点 为 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 四点构成的 四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3) ， ， 【分析】（1）把 ， 两点代入求出 、 的值即可； （2）因为点 关于对称轴对称的点 的坐标为 ，连接 交对称轴直线于点 ，求出 点坐标即可； （3）分点 在 轴下方或上方两种情况进行讨论． 【详解】（1）解： 抛物线 经过 ， 两点， ， 解得： ， ， 此拋物线的解析式为 ； （2）如图，连接 ，交对称轴于点 ， 拋物线的解析式为 ， 其对称轴为直线 ， 当 时， ， ， 又 ， 设 的解析式为 ， ， 解得： ， ， 的解析式为 ， 当 时， ， ， ； （3）存在，如图所示： ①当点 在 轴下方时， 抛物线的对称轴为 ， ， ， ②当点 在 轴上方时，如图，过点 作 轴于点 ， 在 和 中， ， ， ，即 点的纵坐标为 ，解得： 或 ， ， ， 综上所述符合条件的 的坐标有 ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解 析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要 注意进行分类讨论． 【变式训练3】综合与实践 如图，抛物线 与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点，点 B 的坐标是 ，点的坐标是 ，抛物线的对称轴交x 轴于点D．连接 ． (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，求 出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B，，E，F 为顶点的四边形是平行四 边形，直接写出点E 的坐标． 【答】(1) (2)存在， 或 或 (3) 或 或 或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）分两种情况：以为顶点，即 ；以D 为顶点，即 ，利用勾股定理及 等腰三角形的定义建立方程即可完成； （3）分三种情况：当 是对角线时；当 是对角线时；当 是对角线时；分别设点E 与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵点B 的坐标是 ，点的坐标是 ， ∴ ， 解得： ， ∴所求抛物线解析式为 ； （2）解：存在 由抛物线解析式知，其对称轴为直线 ， ， 设 ，则 ， ， ， ①以为顶点，即 时； 则 ， 解得： 或 （舍去）， ∴点P 的坐标 ， ②以D 为顶点，即 时， 则 ， 解得： ， ∴点P 的坐标为 或 ， 综上，点P 的坐标为 或 或 ； （3）解：设点E 的坐标为 ，点F 的坐标为 ， ①当 是对角线时； 由中点坐标公式得： ， 解得： 或 （舍去）， ∴点E 的坐标 ； ②当 是对角线时； 由中点坐标公式得： ， 解得： ， ∴点E 的坐标为 或 ； ③当 是对角线时； 由中点坐标公式得： ， 解得： 或 （舍去）， ∴点E 的坐标 ； 综上，点E 的坐标为 或 或 或 ． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的 性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，本题有一定的综合性，注意分类讨论． 类型二、菱形存在性问题 例．如图，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，顶 点为 ． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形 的面积为 ，求点 的坐标； (3)在（2）的条件下，若点 是对称轴上一点，点 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的 抛物线上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，且 ， 如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在，点G 的坐标为 或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）方法一：连接 ，过点 作 轴交 于点 ．先求得直线 的表达式为： ．再设 ， ，则 ，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线 的对称轴与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，设 ，利 用面积构造一元二次方程求解即可得解； （3）如下图，连接 ， ，由菱形及等边三角形的性质证明 得 ．从而求得直线 的表达式为： ．联立方程组求解， 又连接 ， ， ，证 ．得 ，又证 ．得 ．进而求得直线 的表达式为： ．联立方程组求解即 可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ， ∴ ，解得 ． ∴抛物线的表达式为： ． （2）解：方法一：如下图，连接 ，过点 作 轴交 于点 ． ∵ ， ∴ ． 令 中 ，则 ， 解得 或 ， ∴ ， 设直线 为 ， ∵ 过点 ，， ， ∴ ， 解得 ， ∴直线 的表达式为： ． 设 ， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 整理得 ，解得 ． ∴ ． 方法二： 如下图， 抛物线的对称轴与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ， 设 ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 整理得 ，解得 ． ∴ ． （3）解：存在，点 的坐标为 或 ． 如下图，连接 ， ， ∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形． ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ，点 与点 关 于对称轴 对称， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴ ， ∴ 即 ， ， ∴ ． ∴ ． ∴直线 的表达式为： ． 与抛物线表达式联立得 ． ∴点 坐标为 ． 如下图，连接 ， ， ， 同理可证： 是等边三角形， 是等边三角形， ．∴ ， ∵ ， ，∴ ． ∴ ．∴ ． ∴直线 的表达式为： ． 与抛物线表达式联立得 ． ∴点 坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质， 待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组， 熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求 一次函数与二次函数的解析式是解题的关键． 【变式训练1】如图1，抛物线 交x 轴于点 和点 ，交y 轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D 是直线 上方拋物线上一动点，连接 ， 和 ， 交 于点M，设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点D 的坐标； (3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作 轴交直线 于Q 点，请问在y 轴 上是否存在点E，使以P，Q，E，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E 的坐 标；若不存在，请说明理由 【答】(1) (2) 或 ． (3)符合条件的点 有三个，坐标为： ， ， 【分析】（1）把点 和 代入解析式求解即可； （2）由 得 从而 ，即 ，据此列 方程求解即可； （3）分类当 为对角线和菱形边时，利用直线 与x 轴成 角关系建立关于P 的横坐 标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）把点 和 代入得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为 ； （2）设 ，对于抛物线 ，令 ，则 ， ． ， ． ，即 ． ， ． ，解得 ， ． 点 的坐标是 或 ． （3）设直线 解析式是 ， 把 ， 代入，得 ， ∴ ， ∴ ． ①当 为菱形的对角线时，如图2， 垂直平分 ， ∵ ， ， ∴ ， ， 此时四边形 是正方形． ． 设 ，则 ， ， ，解得 （不合题意舍去）或 ， 此时 ， ． ②当 为菱形的边时，如图3， 设 ，则 ， ∴ ， ， 作 于点， ， ∴ ． ∴ 解得： ， ， （不合题意舍去）． 或 ． ， ， 综上所述，符合条件的点 有三个，坐标为： ， ， ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合， 数形结合是解题的关键． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 左侧），与 轴交于 点． (1)求 的面积； (2)点 为直线 上方抛物线上的任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移 个单位长度得到新的抛物线，点 为原抛物 线与平移后的抛物线的交点，点 为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点 为坐标平面 内的一点，直接写出所有使得以点 为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把 求其中一个点 的坐标的求解过程写出来． 【答】(1) ； (2) 的最大值为 ， ； (3) 或者 ； 【分析】（1）根据抛物线的解析式及抛物线与 轴的交点坐标即可解答； （2）根据题意得到直线 的解析式为 ，进而设 ， ，最后利用两点之间的距离公式及等腰直角三角形的性质得到 即可解答； （3）根据平移规律得到新抛物线的解析式及对称轴，再根据菱形的性质分情况讨论即可解 答． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴ ， ∴ ， ∵抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 左侧）， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ， ∴设直线 的解析式为 ， ∴解得： ， ∴直线 的解析式为 ； ∴设点 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最大值为 ， ∴当 的最大值时， ， ∴ ， （3）解：∵抛物线 ， ∴ ， ∵将抛物线 沿着水平方向向右平移 个单位长度得到新的抛物线， ∴新抛物线为： ， ∴原抛物线与新抛物线的交点， ∴ ， ∴解得： ， ∴当 时， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当 为菱形的边长时， 设 ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或者 ， ∵ 的中点坐标位 ， ， ∴ 的中点坐标 ， ， ∴ 或者 ， ∵当 为对角线时，无法形成菱形， ∴点 不存在， ∴ 或者 ， 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律， 掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键． 类型三、矩形存在性问题 例．已知抛物线 交x 轴于点 和点 ，交y 轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P 是抛物线上位于直线 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交 直线 于点D，交x 轴于点E，当 取最大值时，求点P 的坐标及 最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点，使得以、、M、为顶点且 为一条边 的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、的坐标，不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) ； (3) 、 【分析】（1）把点 和点 代入抛物线 ，解方程即可得 到、b 的值； （2）先用待定系数法求出直线 的解析式，再设 ，则 ， ，然后求出 ，由函数的性质求出 取 最大值时t 的值，即可求出点P 的坐标； （3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点，使得以、、M、为顶点且 为一条 边的四边形为矩形，过点作 于一点，可求得 的解析式，则可设出过点且与 平行的直线解析式，经计算验证可得过点的直线 与抛物线有交点M，联立方程可求 得M 的坐标，通过平移即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点 和点 代入抛物线 ， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：由（1）知，点的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 设 ，则 ， ， ∴ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为 ， 此时点P 的坐标为 ； （3）解：过点作 于一点，如图所示： ， ∵ ， ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴点为 的中点，即 ， 则 所在的直线方程为 ， ∵四边形 为矩形， ∴过与直线 相垂直的直线函数解析式中的k 值与 的解析式的k 值相同， ∴设 所在的直线解析式为 ， ∵点在直线 上， ∴可求得 ，即 所在的直线解析式为 ， 联立 的直线方程与抛物线的解析式， 得 ，解得 或 ， 其中 为点的坐标，即 ， ∵四边形 为矩形， 且 ， 根据点与点的关系，把点M 向下平移4 个单位长度，再向左平移4 个单位长度，可得到点 的坐标， 即 ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标， 坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ． (1)求点 、 、 的坐标； (2)将抛物线 向右平移1 个单位，得到新抛物线 ，点 在坐标平面内，在新抛物线 的 对称轴上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， ， (2)存在，点 的坐标为 或 【分析】（1）分别令 和 ，求解即可； （2）先求得平移后的抛物线 的解析式，再分情况讨论：当 为对角线时，当 为对 角线时，根据矩形的性质求解即可． 【详解】（1）解：令 ，则 ， 解得 ， ， ， 令 ，则 ， ． （2） ， ， 对称轴为 ． 当 为边时，分两种情况： 当 为对角线时，连接 ，过点 作 的垂线，交于点 ，交 轴于点 ， ， ， ， ， ． 设 所在直线解析式为 ， 将 ， 代入得， ， 解得 ， 所在直线解析式为 ， 当 时， ． ． 当 为边时，同理过点 作 的垂线，交于点 ，交 轴于点 ， 易得 所在直线解析式为 ，则 与对称轴l 的交点坐标为 ． 当 为对角线时， 也为对角线，易得 ，由图可知此时点 不可能在 上， 此种情况不存在． 综上，在新抛物线 的对称轴上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩 形，点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论 是解题的关键． 【变式训练2】如图，抛物线 经过点 ， ， ． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 为第一象限内抛物线上的一点，设 的面积为S，求S 的最大值及此时点 的 坐标； (3)已知 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点 的四边形是矩形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)S 最大值为 ， (3)存在，点 或 或 或 ． 【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线 ，点 代入 求解； （2）如图，过点P 作 ，垂足为点D，交 于点E，设 ，确定 的解析式 ，于是 ，从而 ，所 以 时，S 最大值为 ，进而求得 ； （3）设 ，如图， ， ， ，分类讨论：当 为对角线时， ，由勾股定理， ，解得 ， 设点 ，则 ，从而得点 或 ；另当 为 对角线时， ，同法求得 ，当 为对角线时， ，同法求 得点 ． 【详解】（1）