专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理（解析版）

专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理 类型一、定值问题 例．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点 ．点 是第二象限内抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作直线 轴于点 ，作直线 交 于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标； (3)如图2，连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 运 动的过程中，是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请 说明理由． 【答】(1) (2) (3)点 的坐标为 或 【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可； （2）设直线 的解析式为 ，待定系数法求得直线 的解析式为： ； ，则 ，根据两点间的距离公式可得 ， ，结合题意可得 ，建立方程求解可得 ，即可求解； （3）设直线 的解析式为 ，待定系数法求得直线 的解析式为： ； 设直线 的解析式为： ，将点 代入 求得直线 的解析式为： ，得到 ，根据两点间的距离 公式可得 ， ，结合题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， 将 ， ， 代入 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为： ． （2）解：设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入 得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ； 设 ，则 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ 是以 为底边的等腰三角形， ∴ ， ∴ ， 即 ， 整理得： ， 解得： （舍去）， ， 当 时， 故 ． （3）解：设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入 得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ； ∵直线 平行于直线 ， 故设直线 的解析式为： ， 将 代入 得： ， ∴直线 的解析式为： ， 将 代入 ，得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ； 当 时，整理得： ， 解得 （舍去）， ； 当 时， ， 故 ； 当 时，整理得： ， 解得： （舍去）， ； 当 时， ， 故 ； 综上，点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求一次函数解析式，两点间的距离公式， 熟练掌握两点间的距离公式，列方程求解是解题的关键． 【变式训练1】已知抛物线的 顶点为 ，与 轴交于 ． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图1，过顶点 作 轴于 点，交直线 于 ，点 、 分别在抛物线 和 轴上，若 为 ，且以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如图2，将抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 ，直线 与 轴交于点 ， 与抛物线 交于 、 两个不同点，分别过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，当 的值在取值范围内发生变化时，式子 的值是否发生变化？若不变，请求 其值．（解此题时不用相似知识） 【答】(1) (2) ，或 (3) 【分析】（1）设抛物线 的解析式为： ，把点 的坐标代入求解即 可； （2）分两种情况讨论：①当 为边时，②当 为对角线时，再结合平行四边形的性质 建立方程求解即可； （3）如图，先求解 ，由抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 的解析式为： ，联立方程组： ，可得 ， ，可得 ， ，从而可得答． 【详解】（1）解：设抛物线 的解析式为： ， 把点 的坐标代入得， ， 故抛物线 的解析式为： ； （2）当 为边时，如图，∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ， ∵点 ， ∴点 ， ∴ ， ，令 ， ∴ ， 解得： ，或 ， 点 ， 设直线 为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 的解析式为： ， 当 时， ， 点 ， ， 由平行四边形性质可得： ， ∴ ， 解得： ，或 ； 当 为对角线时，记 的中点为 ，如图， ∵ ， ， ∴ ， 设 ，而 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴方程无解，则原方程组无解．综上： ，或 ； （3）如图，∵ ，∴当 时， ，∴ ， 抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 的解析式为： ， 联立方程组： ，解得： ， ， ∴ ， ， ∵ 轴， 轴， ， ． ∴ ， ， ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐 标，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，本题难度较大，属于压轴题． 【变式训练2】如图1，已知抛物线 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点D． （1）求直线BD 的解析式； （2）P 为抛物线上一点，当点Р 到直线BD 的距离为 时，求点P 的坐标； （3）如图2，直线 交抛物线与M，两点，为抛物线上一点，当 时，请探 究点到M 的距离是否为定值． 【答】（1） ；（2） 或 ；（3）到M 的距 离为定值 【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解 坐标，再利用待定系数法求解 的解析式 即可； （2）如图，连接 延长 至 使 可得 证明 可得 到 的距离为： 过 作 的平行线，交抛物线于 求解 为： 联立 解方程组可得答； （3）如图，过 作 于 证明 可得 联立： 可得 设 则 可得 又 可得 解方程并检验可得结论． 【详解】解：（1）令 则 令 设 为 解得： 直线 为： （2）如图，连接 延长 至 使 由 同理： 到 的距离为： 过 作 的平行线，交抛物线于 由中点坐标公式可得： 设 为 为： 解得： 或 （3）如图，过 作 于 联立： 解得： 设 则 检验： 不合题意舍去，取 为定值． 所以点到M 的距离为定值． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交 点坐标问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关 键． 【变式训练3】如图1，抛物线 ，交x 轴于、B 两点，交y 轴于点，F 为抛物 线顶点，直线 垂直于x 轴于点E，当 时， ． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是线段 上的动点（除B、E 外），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D． ①当点P 的横坐标为2 时，求四边形 的面积； ②如图2，直线 分别与抛物线对称轴交于M、两点．试问， 是否为定值？ 如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由． 【答】(1) ； (2)①4；②是，定值为8，理由见解析． 【分析】（1）由当 时， ，可知 ， 是 的两根，代 入方程可得 ，，从而得解； （2）①把 代入抛物线解析式可得 点坐标，再将 代入抛物线解析式可得 点坐 标，从而得知线段 轴，利用配方法可知点 坐标，从而利用 求面积； ②设 ， ，用待定系数法求出直线 与直线 的解析式，再令 得 ， ，从而得出 ， 的长，从而得到 是定值8． 【详解】（1） 当 时， ， ， 是 的两根， ， ， ，解得： ， 抛物线的表达式为： ； （2）①把 代入 得： ， ． 又当 ， ， ， 线段 轴． ， ， ； ②设 ， ， 直线 ， ， 因此可得： 或 ， 解得： 或 ， 直线 ， ． 令 得 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识， 掌握待定系数法和面积求法是解题的关键． 类型二、定点问题 例．如图，抛物线 与x 轴的交点为，B 两点，与y 轴的交于点， ． (1)求抛物线的解析式； (2)P 为抛物线在第四象限上的一点，直线 与抛物线的对称轴相交于点M，若 是 以 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标； (3)P 是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，Q、是抛物线对称轴上两点， ． 求证： 存在确定的点，使直线 与抛物线只有唯一交点P． 【答】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得点的坐标为 ，即 ，进而得到 ，最后把． 两点的坐标代入抛物线 求出的值即可； （2）如图：设抛物线的对称轴 交x 轴于点Q，过点作 于点，连接 交 于点M． 则 ，再求出M 点的坐标；直线P 的解析式为 ．再与 联立即可解答； （3）设 ，再求得直线 解析式为 ，则 ， 如图：过点P 作 于点M，则 ．设 ，然后再运用勾股定理 即可解答． 【详解】（1）解：当 时， ， ， ． ， ， ． ，解得， ． ∴ ． （2）解：如图：设抛物线的对称轴 交x 轴于点Q，过点作 于点，连接 交 于点M． 则 ． ∵直线 是 ， ， ， ， ． ， ．解得： ． ． 设直线 的解析式为 ， ， 在直线上， 直线P 的解析式为 ． 联立 ，得， ，解得： ， ． 当 时， ． ． （3）解：设 ，设直线 解析式为： ， 联立 ， ． 唯一交点， ． ， ， ， ， 直线PQ 解析式为： ． ． 过点P 作 于点M，则 ． 设 ， ， ， ， ， ． 令 ，则 ． ， ， ． 存在点 ，当 时，PQ 与抛物线有唯一交点P． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、等腰三角形的性质、交点标特征等知识点， 正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键． 【变式训练1】如图，抛物线 与 轴分别相交于 ， 两点（点 在点 的 左侧）， 是 的中点，平行四边形 的顶点 ， 均在抛物线上． (1)直接写出点 的坐标； (2)如图（1），若点 的横坐标是 ，点 在第二象限，平行四边形 的面积是13， ①求直线 的解析式； ②求点 的坐标； (3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点． 【答】(1) (2)① ；② (3)见解析 【分析】（1）令 ，求出点 ， 两点坐标，根据 是 的中点，即可求解； （2）①先求出点 ，即可求得直线 的解析式， ②过点 作 轴交直线 于点 ，连接 ，设点 ，则点 ，可得 ，再由平行四边形 的面积是13，可得 ，再根据 ，列出关于 的方程，求出点 的坐标，即可求 解； （3）设直线 的解析式为 ，联立 ，可得 ，从而得到 ，再由平行四边形的性质，可得 ， ，再由点 在抛物线上，可得 ，从而得到直线 的解析式为 ，即可求解． 【详解】（1）解：当 时，则 ， 解得： ， ， ， ， 是 的中点， ； （2）解：① 点 在抛物线 上， ， 点 ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得： ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， ②如图（1），过点 作 轴交直线 于点 ，连接 ， 设点 ，则点 ， ， 平行四边形 的面积是13， ， ， ， 解得： 或 （舍去）， 点 ， 点 先向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位到达点 ， 点 先向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位到达点 ； （3）解：设直线 的解析式为 ， 联立得： ， 整理得： ， ， 四边形 为平行四边形， ， ， ， ， 点 在抛物线上， ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 直线 过定点 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图 象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式训练2】已知二次函数 的图象经过点 ，直线B 与抛物线相交于、B 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线B 的解析式为 ，且 的面积为35，求k 的值； (3)如图2，若 ，则直线B 必经过一个定点，求点的坐标． 【答】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）把 代入函数解析式即可得到答； （2）先求出 ，可得 ，结合 ，可得方程 ，结合 ，即可求解； （3）设 ， ，过点P 作直线 轴，分别过、B 两点作 P 的垂线，垂足分别为、M，由 可得 ，联立方程组 ，可得 ， ，进而即可求解 【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）如图1，已知直线B 的解析式为 ， 令 ，则 ， ∴直线B 过定点 ， ∵ ， ∴ 轴， ， ∴ ， ∴ ， 令 ，整理得 ， ∴ ， ， ∴ ， 整理得 ， 解得 或 ； （3）设 ， ， 如图2，过点P 作直线 轴，分别过、B 两点作P 的垂线，垂足分别为、M，设直线 B 的解析式为 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ①， 联立方程组 ， ∴ ， ∴ ， ②， 将②代入①，得化简，得 ， ∴直线B 的解析式为 ，即 ， ∴直线B 经过定点 ． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二 次方程问题是关键 【变式训练3】已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ，且 的面积为6， (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)如图1，若 ， 为抛物线上两点，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， 设 点横坐标为 ，求 的值； (3)如图2，过定点 的直线交抛物线于 ， 两点，过 点的直线 与抛物 线交于点 ，求证：直线 必过定点． 【答】(1) ， (2) 或 或 或 (3)直线 必过定点 ，证明见解析 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，利用对称性和三角形的面积公式求得点坐标， 再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）设 ， ，分 为对角线、 为对角线、 为对 角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式分别求解即可； （3）设 ， ，则直线 的解析式为 ，由直线 经过定点 则 ，再由直线 经过 点，与抛物线交于点 可得直线 的解析式为 ，进 而可求得 ，再利用待定系数法求得 直线 解析式为 ，进而可知当 时， ，即直线 必过定点 ． 【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ， ∴ ，则 ， ∵ 的面积为6， ∴ ，则 ， ∴ ， 将 和 代入 中，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：由题意，设 ， ，有三种情况： 当 为对角线时，则 ， ∴ ， 将F 坐标代入抛物线解析中，得 ， 解得 ； 当 为对角线时，则 ， ∴ ， 将F 坐标代入抛物线解析中，得 ， 解得 ； 当 为对角线时，则 ， ∴ ， 将F 坐标代入抛物线解析中，得 ， 解得 ， ； 综上，满足条件得m 值为 或 或 或 ； （3）解：设 ， ， 设直线 的解析式为 ， 由 得 ， ∴ ， ，则 ， ， ∴直线 的解析式为 ， ∵直线 经过定点 ， ∴ ，则 ， ∵直线 经过 点，与抛物线交于点 ， ∴ ，则 ， ∴直线 的解析式为 ， 由 得 ， ， ∴ ， 设直线 解析式为 ， 则 ， 解得 ， ∴直线 解析式为 ， 即 ， 当 时， ， ∴直线 必过定点 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，平行 四边形的性质、中点坐标公式、抛物线与一次函数的交点问题，直线恒过定点问题、解一 元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用待定系数法、数形结合和分类 讨论思想求解是解答的关键． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线 与x 轴交于点、B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点，且 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若点P 为第一象限的抛物线上一点，直线 交x 轴于点D，且 平分 ， 求点P 的坐标； (3)如图②，点Q 为第四象限的抛物线上一点，直线BQ 交y 轴于点M，过点B 作直线 ，交y 轴于点，当Q 点运动时，线段M 的长度是否会变化？若不变，请求出其长 度；若变化，请求出其长度的变化范围． 【答】(1) (2) (3)线段 的长度不会改变，线段 的长度为12 【分析】（1）将 代入 中，得 ，令 ，即 ， 求出点 的坐标，进而求出 的值； （2）设 交x 轴于点D，过点D 作 于点E，利用角平分线的性质可得 ， 证明 是等腰直角三角形，可得 ，然后求出点D 的坐标，利用待 定系数法求出直线 解析式，然后把直线 解析式和抛物线解析式联立方程组即可求出 点P 的坐标； （3）设 ，分别求出直线 、直线 的解析式，根据 可得 的解析式，可得出 、 的坐标，即可得线段 的长度． 【详解】（1）解：由图象，可知 ， 将 代入 中，得 ， 点 ， ， 令 ，即 ， 解得 ， ， 点在点B 的左侧， 点 ， ， ， 又 ， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）解：设 交x 轴于点D，过点D 作 于点E， ， 平分 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 又 ， ， 解得 ， ， 设直线 解析式为 ， 则 ， 解得 ， ∴ ， 联立方程组 ， 解得 （舍去）， ， ∴点P 的坐标为 ； （3）解：设 ， ， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 同理得：直线 的解析式为 ， ∵ ， 设 的解析式为 ， ， ，解得 ， 的解析式为 ， 当 是， ， ， 线段 的长度为 ， 线段 的长度不会改变，线段 的长度为12． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、角平 分线的性质、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数 和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x 轴相交于点、B，与y 轴相交于点，其中B 点的坐标为 ，点M 为抛物线上的一个动点． (1)二次函数图像的对称轴为直线 ． ①求二次函数的表达式； ②若点M 与点关于对称轴对称，则点M 的坐标是________； ③在②的条件下，连接 ，在 上任意取一点P，过点P 作x 轴的平行线，与抛物线 对称轴左侧的图像交于点Q，求线段 的最大值； (2)过点M 作 的平行线，交抛物线于点，设点M、的横坐标为m、，在点M 运动的过程 中，试问 的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出 的值． 【答】(1)① ；② ；③ (2)m+的值为定值3 【分析】（1）①根据点B 的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式； ②根据二次函数的对称性求解即可； ③设 ，求出直线 的解析式，从而求出 ，即 可求出 的长与t 的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可； （2）将 代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点的坐标，然后利 用待定系数法求出直线 的解析式，根据