压轴题02 反比例函数的综合问题（3题型+解题模板+技巧精讲）（解析版）

压轴题解题模板02 反比例函数的综合问题 目 录 题型一 反比例函数与一次函数交点问题 题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题 题型三 反比例函数与几何图形结合 题型解读： 反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填 空题的形式出现，解答题考查居多此类题型多是反比例 函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解 不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三 角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化 归等数学思想 此类题型常涉及以下问题：①求反比例 函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数 图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函 数与几何图形综合下图为反比例函数综合问题中各题型 的考查热度 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题 型的考查热度 题型1 题型2 题型3 Series1 0.5 0.5 0.5 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 题型一 反比例函数与一次函数交点问题 解题模板： 技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集： 【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点 和 是一次函数 的图象与反 比例函数 的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当 为何值时， ？ 【答】(1) ； (2) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可． 【详解】（1）解：将点 代入 ， ， ， 将 代入 ， ， ， 将 和 代入 ， ，解得： ， ； （2）解：根据图象可得，当 时， 的取值范围为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 求 的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构 成的集合． 【变式1-1】（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数 与反比例函数 相交 于点和点 ． (1)求m 的值和反比例函数解析式； (2)当 时，求x 的取值范围． 【答】(1) ， (2) 或 【分析】（1）根据一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、B 两点可得 的 值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）将点 代入 得： 解得： 将 代入 得： ∴ （2）由 得： ，解得 所以 的坐标分别为 由图形可得：当 或 时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的 性质． 【变式1-2】（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线 为常数与双曲线 （ 为常 数）相交于 ， 两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线 上任取两点 和 ，若 ，试确定 和 的大小关系，并写出判断 过程； (3)请直接写出关于 的不等式 的解集． 【答】(1) (2)当 或 时， ；当 时， (3) 或 【分析】（1）将点 代入反比例函数 ，求得 ，将点 代入 ，得出 ，进而待定 系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大，进而分类 讨论即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将点 代入反比例函数 ， ∴ ， ∴ 将点 代入 ∴ ， 将 ， 代入 ，得 解得： ， ∴ （2）∵ ， ， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大， ∴当 或 时， ， 当 时，根据图象可得 ， 综上所述，当 或 时， ；当 时， ， （3）根据图象可知， ， ，当 时， 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函 数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题 解题模板： 【例2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比 例函数 交于 ， 两点，与y 轴交于点，连接 ， ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求 的面积； (3)请根据图象直接写出不等式 的解集． 【答】(1) ， ； (2)9； (3) 或 ． 【分析】（1）把点B 代入反比例函数 ，即可得到反比例函数的解析式；把点代入反比例函数， 即可求得点的坐标；把点、B 的坐标代入一次函数一次函数 即可求得、b 的值，从而得到 一次函数的解析式； （2） 的面积是 和 的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x 的范围，直接得出结论． 【详解】（1）∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， 解得： ∴反比例函数的表达式为 ． ∵ 在反比例函数 的图象上， ∴ ， 解得 ， （舍去）． ∴点的坐标为 ． ∵点，B 在一次函数 的图象上， 把点 ， 分别代入，得 ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为 ； （2）∵点为直线 与y 轴的交点， ∴把 代入函数 ，得 ∴点的坐标为 ∴ ， ∴ ． （3）由图象可得，不等式 的解集是 或 ． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函 数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键． 【变式2-1】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一次函数 与函数为 的 图象交于 两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足 时x 的取值范围； (3)点P 在线段 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M，交函数 的图象于点Q，若 面积为3，求 点P 的坐标． 【答】(1) ， (2) (3)点P 的坐标为 或 【分析】（1）将 代入 可求反比例函数解析式，进而求出点B 坐标，再将 和点B 坐标代入 即可求出一次函数解析式； （2）直线 在反比例函数图象上方部分对应的x 的值即为所求； （3）设点P 的横坐标为 ，代入一次函数解析式求出纵坐标，将 代入反比例函数求出点Q 的纵坐标， 进而用含p 的代数式表示出 ，再根据 面积为3 列方程求解即可． 【详解】（1）解：将 代入 ，可得 ， 解得 ， 反比例函数解析式为 ； 在 图象上， ， ， 将 ， 代入 ，得： ， 解得 ， 一次函数解析式为 ； （2）解： ，理由如下： 由（1）可知 ， 当 时， ， 此时直线 在反比例函数图象上方，此部分对应的x 的取值范围为 ， 即满足 时，x 的取值范围为 ； （3）解：设点P 的横坐标为 ， 将 代入 ，可得 ， ． 将 代入 ，可得 ， ． ， ， 整理得 ， 解得 ， ， 当 时， ， 当 时， ， 点P 的坐标为 或 ． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系 中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【变式2-2】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象 交于点 ，与x 轴交于点B， 与y 轴交于点 ． (1)求m 的值和一次函数的表达式； (2)已知P 为反比例函数 图象上的一点， ，求点P 的坐标． 【答】(1) (2) 或 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，进而求出点的坐标，再把点和点的坐标代 入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出 ， ，过点作 轴于点，过点P 作 轴于点D，如图所示，根据 可得 ，求出 ，则点P 的纵坐标为2 或 ，由此即可得到答． 【详解】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上， ， ， ， 又 点 ， 都在一次函数 的图象上， ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ． （2）解：对于 ，当 时， ， ∴ ， ， ∵ ， 过点作 轴于点，过点P 作 轴于点D，如图所示． ， ． ， 解得 ． 点P 的纵坐标为2 或 ． 将 代入 得 ， 将 代入 得 ， ∴点 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【变式2-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于、B 两点，的横坐标为 ，B 的纵坐标为 ． (1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式 的解集． (3)将直线 向上平移个单位，交双曲线于、D 两点，交坐标轴于点E、F，连接 、 ，若 的 面积为20，求直线 的表达式． 【答】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先求解，B 的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式 的解集即可； （3）方法一、连接BE，作 轴，先求解 ，可得直线B 的表达式为 ，由 ， 可得 ，求解 ，可得 ，由 ，可得 即可； 方法二、连接BF，作 轴，先求解 ，结合 ，可得 ，可得 ，由 ，再设直线D 的表达式为 ，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解： 直线 与双曲线交于、B 两点， ∴、B 关于原点对称， ， ， 在双曲线 上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； （2）∵ ， ∴不等式 的解集为： 或 ； （3）方法一：连接 ，作 轴于G， 在直线 上， ， 直线 的表达式为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线D 的表达式为 ． 方法二： 连接BF，作 轴于 ， 在直线 上， ， 直线 的表达式为 ， ， ， ， ， ， ， ∴设直线 的表达式为 ， 在直线 上， ， ， ∴直线 的表达式为 ． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形 面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 【变式2-4】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，B 两点，与x 轴交于点，将直线 沿y 轴向上平移3 个单位长度后与反 比例函数图象交于点D，E． (1)求k，m 的值及点坐标； (2)连接 ， ，求 的面积． 【答】(1) ； ； (2) 【分析】（1）把点 代入 和 求出k、m 的值即可；把 代入 的解析式， 求出点的坐标即可； （2）延长 交x 轴于点F，先求出 平移后的关系式，再求出点D 的坐标，然后求出 解析式，得出 点F 的坐标，根据 求出结果即可． 【详解】（1）解：把点 代入 和 得： ， ， 解得： ， ， ∴ 的解析式为 ，反比例函数解析式为 ， 把 代入 得： ， 解得： ， ∴点的坐标为 ； （2）解：延长 交x 轴于点F，如图所示： 将直线 沿y 轴向上平移3 个单位长度后解析式为： ， 联立 ， 解得： ， ， ∴点 ， 设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 把 代入 得 ， 解得： ， ∴点F 的坐标为 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解 题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标． 题型三 反比例函数与几何图形结合 解题模板： 【例3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 ， 轴分 别相交于点，B，与反比例函数 的图象相交于点，已知 ，点的横坐标为2． (1)求 ， 的值； (2)平行于 轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，为顶点的四边形为平行 四边形，求点D 的坐标． 【答】(1) ， ； (2)点D 的坐标为 或 【分析】（1）求得 ，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得 ，据此即可求解； （2）设点 ，则点 ，利用平行四边形的性质得到 ，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵直线 经过点 ， ∴ ，解得， ， ∴直线的解析式为 ， ∵点的横坐标为2， ∴ ， ∴ ， ∵反比例函数 的图象经过点， ∴ ； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为 ， 令 ，则 ， ∴点 ， 设点 ，则点 ， ∵以B，D，E，为顶点的四边形为平行四边形， ∴ ， ∴ ，整理得 或 ， 由 得 ， 整理得 ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， ∴点 ； 由 得 ， 整理得 ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， ∴点 ； 综上，点D 的坐标为 或 ． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方 程的思想解决问题是解本题的关键． 【变式3-1】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数 （ 为常数， ）的图象与反 比例函数 为常数， 的图象在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)点 在 轴上， 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标． 【答】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 (2) 或 或 【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答； （2）首先利用勾股定理求出得 的长，再分两种情形讨论即可． 【详解】（1）解：把点 代入一次函数 得， 解得： ， 故一次函数的解析式为 ， 把点 代入 ，得 ， ， 把点 代入 ，得 ， 故反比例函数的解析式为 ； （2）解： ， ， ， 当 时， 或 ， 当 时，点 关于直线 对称， ， 综上所述：点 的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识， 运用分类思想是解题的关键． 【变式3-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴交于 点 ，与y 轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点 ． (1)求反比例函数的表达式： (2)当 时，直接写出x 的取值范围； (3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) 或 (3) 或 【分析】（1）将 ， 代入 ,求得一次函数表达式，进而可得点的坐标，再将点的坐 标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点作 交y 轴于点M，勾股定理得出点M 的坐标，在求出直线P 的表达式，与反比例函数 联立方程组即可． 【详解】（1）解：把 ， 代入 中得： ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 在 中，当 时， ， ∴ ， 把 代入 中得： ， ∴ ， ∴反比例函数的表达式 ； （2）解：联立 ，解得 或 ， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为 ， ∴由函数图象可知，当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当 时， 或 ； （3）解：如图所示，设直线 交y 轴于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∵ 是以点为直角顶点的直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 同理可得直线 的解析式为 ， 联立 ，解得 或 ， ∴点P 的坐标为 或 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解 析式是解题的关键． 【变式3-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y 轴交 于点，与反比例函数 的图象的一个交点为 ，过点B 作B 的垂线l． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在直线l 上，且 的面积为5，求点的坐标； (3)P 是直线l 上一点，连接P，以P 为位似中心画 ，使它与 位似，相似比为m．若点D，E 恰 好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值． 【答】(1)点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 ； (2)点的坐标为 或 (3)点P 的坐标为 ；m 的值为3 【分析】（1）利用直线 解析式可的点的坐标，将点 代入 可得的值，再将点 代 入反比例函数解析式可得k 的值，从而得解； （2）设直线l 于y 轴交于点M，由点B 的坐标和直线l 是 的垂线先求出点M 的坐标，再用待定系数法 求直线l 的解析式 ，点坐标为 ，根据 ( 分别代表点B 与 点的横坐标)可得点的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B 的对应点也在直线l 上，不妨设为点E，则点的对应 点是点D，直线l 与双曲线的解析式联立方程组得到 ，由 得到 ，继而得 到直线 与直线 的解析式中的一次项系数相等，设直线 的解析式是： ，将 代 入 求得 的解析式是： ，再将直线 与双曲线的解析式联立求得 ，再用 待定系数法求出 的解析式是 ，利用直线 的解析式与直线l 的解析式联立求得点P 的坐标为 ，再用两点间的距离公式得到 ， 从而求得 ． 【详解】（1）解：令 ，则 ∴点的坐标为 ， 将点 代入 得： 解得： ∴ 将点 代入 得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 ； （2）解：设直线l 于y 轴交于点M，直线 与x 轴得交点为， 令 解得： ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ∵ ， ∴ 又∵直线l 是 的垂线即 ， ， ∴ ， ∴ 设直线l 的解析式是： ， 将点 ，点 代入 得： 解得： ∴直线l 的解析式是： ， 设点的坐标是 ∵ ，( 分别代表点B 与点的横坐标) 解得： 或6， 当 时， ； 当 时， ， ∴点的坐标为 或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B 的对应点也在直线l 上，不妨设为点E，则点的对应点是点D， ∴点E 是直线l 与双曲线 的另一个交点， 将直线l 与双曲线的解析式联立得： 解得： 或 ∴ 画出图形如下： 又∵ ∴ ∴ ∴直线 与直线 的解析式中的一次项系数相等， 设直线 的解析式是： 将点 代入 得： 解得： ∴直线 的解析式是： ∵点D 也在双曲线 上， ∴点D 是直线 与双曲线 的另一个交点， 将直线 与双曲线的解析式联立得： 解得： 或 ∴ 设直线 的解析式是： 将点 ， 代入 得： 解得： ∴直线 的解析式是： ， 又将直线 的解析式与直线l 的解析式联立得