专题07 一次函数的应用（铅锤法求面积）（解析版）

专题07 一次函数的应用（铅锤法求面积） 【方法说明】 常规图形中： 平面直角坐标系中： 例1．（2023 春·全国·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知直线 与x 轴相交于点与y 轴交于点B． (1)、B 两点坐标分别为________，________； (2)点 在x 轴上，若点P 是直线 上的一个动点，当 时，求点P 的坐 标． 【答】(1) ， ；(2) 或 【分析】（1）根据直线 ，令 求出 的值，令 求出 的值，即可得点 、 的坐标； （2）分类讨论：点 在 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件， 列出方程，利用方程求得点 的坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线 ， 当 时， ． ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ， ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ； ①当点P 在x 轴下方时， ， ∴ ， ∵点P 在x 轴下方， ∴ ， 当 时，代入 得， ， 解得 ． ∴ ； ②当点P 在x 轴上方时， ， ∴ ， ∵点P 在x 轴上方， ∴ ． 当 时，代入 得， ， 解得 ． ∴ ， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为 或 ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识， 题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学 思想的应用是解决问题的关键． 例2．（2022 秋·四川成都·八年级统考期中）如图1，已知直线 与y 轴、x 轴分别 交于 两点，以B 为直角顶点在第一象限内作等腰 ， 所在直线为 ． (1)求 两点的坐标； (2)求点坐标及b 的值； (3)如图2，直线 交y 轴于点D，在直线 上取一点E，使 与x 轴相交于 点F． ①求证： ； ②在直线 上是否存在一点P，使 的面积等于 的面积？若存在，直接写出 点P 的坐标；若不存在，说明理由． 【答】(1) ， (2)点 ； (3)①见解析；②点P 的坐标为 或 【分析】（1） 中求出 时y 的值和 时x 的值即可得； （2）作 轴，证明 得 ， ，据此可得 ，再 根据待定系数法求解可得； （3）①过点作 轴于点G，作 轴于点M， 轴于点，证明 、 ，即可求解； ②当点P 在点的下方时，由 的面积 ，即可求解；当点 在点 的上方时，则点是点 的中点，即可求解． 【详解】（1）解： 中，当 时， ， 则 ， 当 时， ，解得 ， 则 ； （2）如图①，过点作 轴于点D， 则 ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 则点 ， ∵直线 所在直线解析式为 ， 将点 代入，得： ，解得 ． （3）①过点作 轴于点G，作 轴于点M， 轴于点， 则 ， ∵ ， ∴ 是 的中垂线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②如图③，作 轴于点， 由 知 ，即 ， 则 ， ∴ ， 由①知 ， 根据 、 得直线 解析式为 ， 当 时， ，解得 ， ∴ ， 设 ， 当P 在点的下方时 则 故 当 在点的上方时 则点是点 的中点， 由中点坐标公式得：点P 的坐标为 ∴点P 的坐标为 或 ． 【点睛】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、全等 三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及割补法求三角形的面积等知识点． 例3（2022 春·河南南阳·八年级统考期中）如图，一次函数 与两坐标轴分别相交 于点．B，一次函数 的图象过点B，并与 轴交于点，=10． (1)求一次函数 的关系式； (2)点P 是一次函数 图象上的动点，设点P 横坐标为，△PB 的面积是S，求S 关于 的函数关系式． 【答】(1) (2)当 时， ；当 时， 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）画出示意图分三种情况当 时，当 时以及当 时分别求解即可． （1） ∵直线 经过点、B (-2 ∴ ，0)、B(0，4) =10 ∵ (8 ∴ ，0) ∵一次函数 经过点B、， ∴ 解得 ∴ ． （2） ①当 时， ②当 时， ③当 时， ∴当 时， ；当 时， ． 【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，直线的交点坐标等知识点，熟练掌 握待定系数法，画出示意图是解题的关键． 例4．（2022 春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）如图，在平面直角坐标系xy 中，、B 两 点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且=B=3． (1)求点、B 的坐标； (2)如图1，若点(−2，2)，求三角形B 的面积； (3)若点P 是第一、三象限角平分线上一点，且三角形BP 的面积为 ，求点P 坐标． 【答】(1)（3，0），B（0，3）； (2)三角形B 的面积为 ； (3)点P 坐标为（8，8）或（-5，-5）． 【分析】（1）由=B=3 即可得出答； （2）找出三角形的底和高，根据三角形面积公式即可得解； （3）根据点在象限平分线上的特点和三角形面积即可求出点P 坐标． 【详解】（1）解：由=B=3，可知：（3，0），B（0，3）； （2）解：设交y 轴于点D，如图． 设直线的解析式为y=kx+b，代入点、坐标，得： ， 解得： ， 则直线解析式为y=- x+ ． 令x=0，则y= ，BD=B-D=3- = ， ∴S△B=S△BD+S△BD= BD•2+ BD•3= × = ； （3）解：由（2）可知：S△B= < ， ∴点P 不在三角形B 内部． ∵点P 在第一、三象限角平分线上， ∴设点P（，）．如图 ①当P 在第一象限时， S△BP=S△P+S△PB-S△B = •yp+ B•xp- •B = •3+ •3- ×3×3= ． =8 ∴ ， 故P（8，8）； ②当P 在第三象限时， S△BP'=S△P'+S△P'B+S△B = •(−3)+ •(−3)+ ×3×3= ． =-5 ∴ ， 故P'（-5，-5）， 综上，点P 坐标为（8，8）或（-5，-5）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正比例函数的性质，点的坐标以及三角形面积等知 识，熟练掌握这些是解题的关键． 例5．（2021 春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知：如图，直线： 分别交 ， 轴于 、 两点．以线段 为直角边在第一象限内作等腰直角 ， ；直 线 经过点 与点 ，且与直线在 轴下方相交于点 ． （1）请求出直线 的函数关系式； （2）求出 的面积； （3）在直线 上不同于点 ，是否存在一点 ，使得 与 面积相等，如若存在， 请求出点 的坐标；如若不存在，请说明理由； （4）在坐标轴上是否存在点 ，使 的面积与四边形 的面积相等？若存在，直 接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；（2） ；（3）存在，点 坐标为 ；（4）存在， 坐标为 或 或 ． 【分析】（1）先求得、B 两点坐标，然后过点作M⊥x 轴于点M，利用S 可证明△B≌△M， 确定点的坐标，再用待定系数法求函数解析式； （2）联立方程组求得点E 的坐标，利用三角形面积公式即可求得面积； （3）结合两个三角形的面积相等的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求得结果； （4）易求得四边形BD 的面积，分点F 在x 轴或y 轴上两种情况，在x 轴上又分三种情况， 设点F 的坐标，结合三角形和四边形面积相等列方程求解． 【详解】（1）∵直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点， 令 ，则 ， ∴ ． 令 ，则 ， ∴ ． 过点 作 轴于点M， 则∠B=∠M=90°， ∴∠M+∠M=90°， ∵∠B=90°， ∴∠B+∠M=90°， ∴∠B=∠M ∵△B 是等腰直角三角形，且∠B=90° ∴B= 在△B 与△M 中 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴M=+M=3+4=7， ∴ ， 又∵ ， 设直线 的解析式为 ，则有 解得： ∴直线的 解析式为： ． （2）联立方程组 ， 解得： ， ∴ ． ∴ ． （3）存在． ∵ 与 面积相等，且底D 相等， ∴底边D 上的高相等， ∴P 点的纵坐标为 ， ∴在 中，令 ，则 ， ∴ ， ∴点 坐标为 ． （4）存在． 在Rt△B 中，由勾股定理得： ， ， =14． ①当点F 在y 轴上时，设F 点坐标为(0，y) ，如图， ∵ 的面积与四边形 的面积相等， ∴ ， 解得：y=8 或y=0， ∴ 坐标为 或 ； ②当点F 在x 轴上时，设F 点坐标为(m，0) ， 若F 点在点左侧，则m<0，如图， 则 ， ∴ ， 解得：m=0(不合题意，舍去) 若点F 在线段M 上（包括两个端点），即0≤m≤7，如图， 则 ， ∴ ， 解得：m=0 ∴点 坐标为 ； 若点F 位于点M 的右侧，则m>7，如图， 则 ， ∴ ， 解得：m=6（不合题意）， 此时点F 不存在； 或 ， ∴ ， 解得：m=56 ∴点 坐标为 ； 综上所述，满足条件的点 坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判 定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是 关键． 课后训练 1．（2023 春·四川成都·八年级校考期中）已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别 交于 、 两点，点 为 轴负半轴上一点，且 ． (1)求直线 的函数表达式； (2)点 是直线 上的一动点，在 轴上是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，找出点 的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点 是直线 上的一动点，连接 ，使得 将四边形 的 面积分成 的两部分，请求出满足条件的点 的坐标． 【答】(1) (2) 的坐标为 或 (3) 或 【分析】（1）先求得 的坐标，根据已知条件得出 ，待定系数法求直线解析式， 即可求解； （2）分两种情况讨论，①当 为边时，②当 为对角线时，分别画出图形，根据平行 四边形的性质，即可求解； （3）根据题意可得 或 ，进而得出 点的坐标，求得直线 的 解析式，联立 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点， 当 时， ；当 时， ∴ , ， ∴ ∵ ， ∴ 即 设直线 的解析式为 ， ∴ 解得： ∴直线解析式为 ； （2）解：当 为边时，∵ ∴ 轴， ∴ 点的横坐标为 , 将 代入 ，得 ∴ ； 当 为对角线时， 的中点为 ，则 ∴ 综上所述， 的坐标为 或 ； （3）解：如图所示，设 交 轴于点 ， ∵ 将四边形 的面积分成 的两部分， 则 或 ∵ ∴ 则 或 当 时，设直线 的解析式为 ∴ ，解得： ∴直线 的解析式为 联立 ，解得： ∴ 当 时，设直线 的解析式为 ∴ ，解得： ，∴直线 的解析式为 联立 ，解得： ，∴ 综上所述 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，待定系数法求直线解 析式，求两直线交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（2023 秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线经过原点 和 点 ，经过点的另一条直线交 轴于点 ，交 轴于点， 点坐标为 (1)求直线的表达式； (2)求直线 的表达式； (3)求 的面积； (4)点 是第三象限在直线上一点，满足 ，求 点坐标． 【答】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求解即可； （3）过点作 于点 ，通过点、B 的坐标可求 ，即可求解； （4）设 ，根据 ，求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为： ，其中 点 在直线 上 ． 直线的解析式为 ． （2）解：设直线 的解析式为： ． 点 在直线上，代入可得： ， 解得： 直线 的表达式为 ． （3）解：点 在 轴上，设 点坐标 ， ∴ ，解得： ， ∴ 点坐标为 ， 过点作 于点 ，如图， ； （4）解：如图， 设 ， ∵ ， ∴ ， 由（3）得： ，∴ ， ∵点 是第三象限在直线上一点， ∴ ， ∴ 点坐标为 ； 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及到待定系数法求解析式、求面积等，灵活运用 所学知识是关键． 3．（2023 春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点 的直线 与坐标轴相交于 、 两点，已知点 是第二象限的点，设 的面积为． (1)写出与 之间的函数关系，并写出 的取值范围； (2)当 的面积为时，求出点 的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 ，使得 与 、 、 中任意两点形成的三 角形面积也为，若存在，请直接写出点 的坐标． 【答】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点坐标，由 可求函数关系式， （2）将 代入函数解析式可求得点 ； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点 在第二象限，则 因为 当 时，x ，则 （ ) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M 满足条件， ．当M 点在y 轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴当点M 在原点上方时，点M 坐标为 ， ∴当点M 在原点下方时，点M 坐标为 ， ．当M 点在y 轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴当点M 在原点上方时，点M 坐标为 ， ∴当点M 在原点下方时，点M 坐标为 ； ．当M 点在y 轴时，若 ，即 ， ， ∴ ， ∴当点M 在点B 上方时，点M 坐标为 ， ∴当点M 在点B 下方时，点M 点M 与点重合，不合题意舍去；； V．当M 点在x 轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴当点M 在原点右侧时，点M 坐标为 ， ∴当点M 在原点左侧时，点M 坐标为 ，与点重合，不合题意舍去； V．当M 点在x 轴时，若 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵点坐标为 ， ∴当点M 在点左侧时，点M 坐标为 ， ∴当点M 在点右侧时，点M 与点重合，不合题意舍去； 综上所述：点M 坐标为 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解 题的关键是分类讨论的数学思想． 4．（2022 秋·山东济南·八年级校联考期中）如图，在直角坐标系中，已知直线 与x 轴相交于点与y 轴交于点B． (1)点和B 点坐标分别为 ， ； (2)点在x 轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，求点的坐标； (3)点 在x 轴上，若点P 是直线 上的一个动点，当 时，求点P 的坐标． 【答】(1) (2)的坐标是 或 或 (3)点P 的坐标为 或 【分析】（1）根据直线 ，令 求出x 的值，令 求出y 的值，即可得点、 B 的坐标； （2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； （3）分类讨论：点P 在x 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件， 列出方程，利用方程求得点P 的坐标即可． 【详解】（1）对于直线 ， 当 时， ． ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ； （2）如图， ①当 时，点与点 关于y 轴对称，故 符合题意； ②当 时， ∵ ∴ ， ∵ ∴ 综上所述，符合条件的点的坐标是 或 或 ； （3）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ； ①当点P 在x 轴下方时， ∴ ∵点P 在x 轴下方， ∴ 当 时，代入 得， ， 解得 ∴ ； ②当点P 在x 轴上方时， ∴ ∵点P 在x 轴上方， ∴ 当 时，代入 得， ，解得 ∴ 综上所述，满足条件的点P 的坐标为 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，三角形的面积等 知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．另外，注意分 类讨论和“数形结合”数学思想的应用． 5（2023 春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xy 中，直 线y＝ x+4 与x 轴、y 轴分别交于点、点B，点D（0，﹣6）在y 轴的负半轴上，若将 △DB 沿直线D 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点处，直线D 交B 于点E． (1)求点、B、的坐标； (2)求△DE 的面积； (3)y 轴上是否存在一点P，使得 ＝ ，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【答】(1)点的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），点的坐标为（8，0） (2)9 (3)y 轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得 ＝ 【分析】(1) 直线y＝ x+4 中，分别令x=0、y=0，确定B、坐标，运用勾股定理计算B， 根据折叠性质，=B，确定的长即可确定点的坐标． （2）证明Rt△D≌Rt△ED，根据 计算即可． （3）设点P 的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．根据 ，计算m 的值即可． 【详解】（1）当x＝0 时，y＝ x+4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y＝0 时， x+4＝0， 解得：x＝3， ∴点的坐标为（3，0）． 在Rt△B 中，＝3，B＝4， ∴B＝ ＝5． 由折叠的性质，可知：∠BD＝∠D，∠D＝∠，＝B＝5， ∴＝+＝8， ∴点的坐标为（8，0）． （2）∵∠B＝∠，∠B＝∠E，∠B+∠B+∠B＝180°，∠+∠E+∠E＝180°， ∴∠E＝∠B＝90°=∠ED＝∠D． 又∵∠BD＝∠D， 在Rt△D 和Rt△ED 中， ∴Rt△D≌Rt△ED， ∴ ． （3）存在点P，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下： 设点P 的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|． ∵ ＝ ， ∴ ， | ∴m+6|＝3， 解得：m＝﹣3 或m＝﹣9， ∴y 轴上存在点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得 ＝ ． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与 几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的 关键． 6（2022 春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，一次函数y＝2x+4 的图象与x 轴、y 轴分别 交于点B、，以B 为边在第一象限内作等腰直角△B，且∠B＝90°，过作D⊥x 轴于点D，B 的垂直平分线l 交B 于点E，交x 轴于点G，连接E． (1)求点、B、的坐标； (2)判定四边形EGD 的形状，并说明理由； (3)点M 在直线l 上，使得S△BM＝ S△B，求点M 的坐标．