题型8 函数的实际应用（复习讲义）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型八函数的实际应用（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 一次函数 一、一次函数图象与图形面积 解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或 两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成 的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法． 二、一次函数的实际应用 1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实 际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数 关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解 是否符合实际意义；（6）答． 3．方最值问题： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 对于求方问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不 等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有 多少种方． 4．方法技巧 求最值的本质为求最优方，解法有两种：（1）可将所有求得的方的值计算出来，再进行 比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可 直接确定最优方及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值， 再进行比较． 显然，第（2）种方法更简单快捷． 1．（2023·吉林长春·统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步 行登山到山顶，乙先步行15 分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高 度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)当 时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为 ，联立 ，即可求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为 ，将 ， 代入得， ， 解得： ， ∴ ； （2）设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为 将点 代入得， 解得： ， ∴ ； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天 挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数． 【答】(1)30；(2) ；(3)10 天 【分析】（1）由图可知，前30 天甲乙两组合作，30 天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为 ，用待定系数法求解，再结合图象即 可得到自变量x 的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天 数为，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30 天甲乙两组合作，30 天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60 天，乙组挖掘了30 天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30 天， 故答为：30； （2）解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为 ， 将 和 两个点代入，可得 ， 解得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ （3）解：甲组每天挖 （千米） 甲乙合作每天挖 （千米） ∴乙组每天挖 （千米），乙组挖掘的总长度为 （千米） 设乙组己停工的天数为， 则 ， 解得 ， 答：乙组己停工的天数为10 天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得 到有用信息是解题的关键． 3．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅 提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方，如图所示，员工可以任选一种 方与公司签订合同．看图解答下列问题： (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方付给的报酬一样多； (2)求方二y 关于x 的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方． 【答】(1)30 件；(2) ；(3)若每月生产产品件数不足30 件，则选择方二；若每 月生产产品件数就是30 件，两种方报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过 30 件，则选择方一 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答； （2）由图象可得点 ，设方二的函数表达式为 ，利用待定系数法 即可得到方二y 关于x 的函数表达式； （3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为 ，即员工生产30 件产品时，两种方付 给的报酬一样多； （2）由图象可得点 ，设方二的函数表达式为 ， 把 代入上式，得 解得 ∴方二的函数表达式为 ． （3）若每月生产产品件数不足30 件，则选择方二； 若每月生产产品件数就是30 件，两种方报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30 件，则选择方一． 【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确 信息和掌握待定系数法是解题的关键． 4 如图1，平面直角坐标系 中，等腰 的底边 在 轴上， ，顶点 在 的正半轴上， ，一动点 从 出发，以每秒1 个单位的速度沿 向左运动， 到达 的中点停止．另一动点 从点 出发，以相同的速度沿 向左运动，到达点 停止．已知点 、 同时出发，以 为边作正方形 ，使正方形 和 在 的同侧．设运动的时间为秒（ ）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）当点 落在 边上时，求的值；（2）设正方形 与 重叠面积为 ， 请问是存在值，使得 ？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，取 的中点 ，连结 ，当点 、 开始运动时，点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 运动，到达点 停止运动．请问在点 的整 个运动过程中，点 可能在正方形 内（含边界）吗？如果可能，求出点 在正 方形 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由． 【答】（1）t=1；（2）存在， ，理由见解析；（3）可能， 或 或 理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求出直线的解析式，根据题意用t 表示出点的坐标，代入求解 即可； （2）根据已知，当点F 运动到点停止运动前，重叠最大面积是边长为1 的正方形的面积， 即不存在t，使重叠面积为 ，故t 4, ﹥用待定系数法求出直线B 的解析式，求出点落 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在B 边上时的t 值，求出此时重叠面积为 ﹤ ，进一步求出重叠面积关于t 的表达式， 代入解t 的方程即可解得t 值； （3）由已知求得点D（2，1），= ，D=== ,结合图形分情况讨论即可得出符合条 件的时长． 【解析】（1）由题意，(0，2)，B(-4，0)，(4，0)，设直线的函数解析式为y=kx+b， 将点、坐标代入，得： ，解得： ，∴直线的函数解析式为 ， 当点 落在 边上时，点E(3-t，0)，点（3-t，1），将点代入 ，得： ，解得：t=1； （2）存在， ，使得 ． 根据已知，当点F 运动到点停止运动前，重叠最大面积是边长为1 的正方形的面积，即不 存在t，使重叠面积为 ，故t 4 ﹥，设直线B 的函数解析式为y=mx+， 将点、B 坐标代入，得： ，解得： ，∴直线的函数解析式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 当t 4 ﹥时，点E（3-t，0）点（3-t，t-3），G(0，t-3)， 当点落在B 边上时，将点代入 ，得： ，解得： ； 此时重叠的面积为 ， ∵ ﹤ ，∴ ﹤t 5 ﹤，如图1，设G 交B 于S，E 交B 于T, 将y=t-3 代入 得： ，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)， 将x=3-t 代入 得： ，∴点T ， G=5-t ∴ ，SG=10-2t，BE=7-t，ET= ， , 所以重叠面积S= =4- - = ， 由 = 得： ， ﹥5(舍去)，∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）可能， ≤t≤1 或t=4．∵点D 为的中点，且=2,=4， ∴点D（2，1），= ，D=== , 易知M 点在水平方向以每秒是4 个单位的速度运动； 当0 t ﹤﹤ 时，M 在线段D 上，未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当 ﹤t 1 ﹤时， + ÷（1+4）= 秒， ∴ 时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）= 秒后，M 点不在正方行内部，则 ； 当t=1 时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达处； 当1≤t≤2 时，当t=1+1÷（4-1）= 秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）= 秒，点 都 在正方形 内（含边界）， 当t=2 时，点M 运动返回到点处停止运动， 当 t=3 时，点E 运动返回到点处, 当 t=4 时，点F 运动返回到点处, 当 时，点 都在正方形 内（含边界）， 综上，当 或 或 时，点 可能在正方形 内（含边界）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性 质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真 审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、 探究、发现和计算． 5 为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地， 快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离 （单位：千米）与快递车所 用时间 （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用 小时 装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时． （1）求 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答） 【答】（1） ；（2）货车返回时与快递车途中相遇的时间 ， ；（3） 100km 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）由图象可知点M 和点E 的坐标，运用待定系数法求ME 的解析式即可； （2）运用待定系数法求出B，D，FG 的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得 到结果； （3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1 小时，根据路程=速度×时间可得结论 【解析】解：（1）由图象可知：M ，E 设 的解析式 把M ，E 代入得： ，解得 ， 的解析式为 ； （2）由图象知B（4，0），(6,200) 设 的解析式 , 把B（4，0），(6,200)代入得， ，解得， ， ∴ 的解析式为： 由图象知F（5，200），G（9，0） 设 的解析式 ，把F（5，200），G（9，0）代入上式得， ， 解得， ，故 的解析式为： 联立方程组得， ，解得 ；由图象得，（6，200），D（8，0） 设D 的解析式为y=rx+s，把（6，200），D（8，0）代入上式得， ，解得， 故D 的解析式为y=-100x+800,联立方程组得 ，解得 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 答：货车返回时与快递车途中相遇的时间 ， （3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1 小时，其速度为：200÷2=100(km/) 所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：100×1=100（km） 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问 题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键 考点02 反比例函数 一、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积如图①，S△B=2S△=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于、B 两点，且一次函数与x 轴交于 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点，则S△B=S△+S△B= + = ； （3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，为B 延长线与x 轴的交点，则S△B=S△–S△B= – = ． 二、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，构造方程组，然 后求出交点坐标．针对 时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比 例函数图象的部分所对应的x 的范围例如，如下图，当 时，x 的取值范围为 或 ；同理，当 时，x 的取值范围为 或 ． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定 ①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可无交点，可有一个交点， 可有两个交点； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解 的情况． 三、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方，特别 注意自变量的取值范围． 6．（2023·山东·统考中考真题）如图，正比例函数 和反比例函数 的图 像交于点 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线 向上平移3 个单位后，与 轴交于点 ，与 的图像交于点 ，连 接 ，求 的面积． 【答】(1) ；(2)3 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B 点坐标，然后待定系数法求直线 的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算． 【详解】（1）解：把 代入 中， ， 解得 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 把 代入 中， ， 解得 ， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：将直线 向上平移3 个单位后，其函数解析式为 ， 当 时， ， ∴点B 的坐标为 ， 设直线 的函数解析式为 ， 将 ， 代入可得 ， 解得 ， ∴直线 的函数解析式为 ， 联立方程组 ，解得 ， ∴点坐标为 ， 过点作 轴，交 于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中，当 时， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运 用数形结合思想解题是关键． 7．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知坐标轴上两点 ，连接 ，过点 B 作 ，交反比例函数 在第一象限的图象于点 ． (1)求反比例函数 和直线 的表达式； (2)将直线 向上平移 个单位，得到直线l，求直线l 与反比例函数图象的交点坐标． 【答】(1) ， ；(2) 或 【分析】（1）如图，过点作 轴于点D，证明 ，利用相似三角形的性 质得到 ，求出点的坐标，代入 可得反比例函数解析式，设 的表达式为 ，将点 代入即可得到直线 的表达式； （2）先求得直线l 的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】（1）如图，过点作 轴于点D， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 ， 将点代入 中， 可得 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 的表达式为 ， 将点 代入可得 ， 解得： ， ∴ 的表达式为 ； （2）直线l 的解析式为 ， 当两函数相交时，可得 ， 解得 , , 代入反比例函数解析式， 得 ， ∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为 或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数 与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识． 8 南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有 土石方总量600 千立方米，总需要时间y 天，且完成首期工程限定时间不超过600 天． 设每天打通土石方x 千立方米．（1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多02 千立方米，工期比原 计划提前了100 天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 【答】（1） 600 y x  （0<x≤600）；（2）实际挖掘了500 天才能完成首期工程 【分析】（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y 关于x 的函数关系式； （2）根据工期比原计划提前了100 天列方程求解即可． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【解析】解：（1）∵共有土