题型7 函数的基本性质（复习讲义）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型七函数的基本性质（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 一次函数 一、正比例函数的概念 一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做正比例系数． 二、一次函数 1 一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b(k，b 为常数，且k≠0)的函数叫做x 的一次函数 特别地，当一次函数y=kx+b 中的b=0 时，y=kx（k 是常数，k≠0）．这时， y 叫做x 的 正比例函数． 2 一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b 为常数，k≠0． 一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x 的次数是1；（3）常数b 可以为任 意实数 3 注意 （1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 （2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式 三、一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k 的符 号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y 随x 的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y 随x 的增大而减小 2 一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(- ，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b >0，向上平移b 个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象 时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y 随x 的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y 随x 的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3k，b 的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b 与x 轴交于（– ，0）． ①当– >0 时，即k，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴． ②当– =0，即b=0 时，直线经过原点． ③当– <0，即k，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴． 4 两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y 轴上一点； ④当k1·k2=–1 时，两直线垂直． 四、待定系数法 1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解 析式的方法叫做待定系数法． 2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤 （1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）． （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程． （3）解方程，求出待定系数k． （4）将求得的待定系数k 的值代入解析式． 3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 （1）设出含有待定系数k、b 的函数解析式y=kx+b． （2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b 的二元 一次方程组． （3）解二元一次方程组，求出k，b． （4）将求得的k，b 的值代入解析式． 1．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向 右平移3 个单位长度得到一次函数 的图象，则该一次函数的解析式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （ ） ． B． ． D． 2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是 （ ） ． B． ． D． 3 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣ x+1 与x 轴，y 轴分别交于点和点B， 直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点．若∠B=∠B，则k 的值为（ ） ． B． ． D．2 4．（2023·山东临沂·统考中考真题）对于某个一次函数 ，根据两位同学的 对话得出的结论，错误的是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 5 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在x 轴、y 轴上，四边形B 是边长为4 的正方形， 点D 为B 的中点，点P 为B 上的一个动点，连接DP，P，当点P 满足DP+P 的值最小时， 直线P 的解析式为_____． 6．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 ， ，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，则点 的对应点 的坐标是（ ） ． B． ． D． 7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，以点P 为中心，把点按逆时针方向旋转 得到点B，在 ， ， ， 四个点中，直线 经过的点是（ ） ． B． ． D． 8 如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 且与 轴交于点 ，把点 向左平移2 个单位，再向上平移4 个单位，得到点 过点 且与 平行的直线交 轴于点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求直线 的解析式；（2）直线 与 交于点 ，将直线 沿 方向平移， 平移到经过点 的位置结束，求直线 在平移过程中与 轴交点的横坐标的取值范围 9．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点 在直线 上，过点的直线交y 轴于点 ． (1)求m 的值和直线 的函数表达式． (2)若点 在线段 上，点 在直线 上，求 的最大值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 考点02 反比例函数 一、反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数 （k 是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比 例函数的解析式也可以写成 的形式．自变量x 的取值范围是x≠0 的一切实数， 函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数 （k 是常数，k¿ 0）中x，y 的取值范围 自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0 的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三 象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小． 当k<0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增 大． 表达式 （k 是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 增减性 在每个象限内，y 随x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x 和y=-x， 对称中心为原点． 3．注意 （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑 的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数 中x≠0 且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象 限内的增减情况．当k>0 时，在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小，但不 能笼统地说当k>0 时，y 随x 的增大而减小．同样，当k<0 时，也不能笼统地说y 随x 的增大而增大． 三、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有 一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而 确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）把已知一对x，y 的值代入解析式，得到一个关于待定系数k 的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式． 四、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积如图①，S△B=2S△=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于、B 两点，且一次函数与x 轴交于 点，则S△B=S△+S△B= + = ； （3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，为B 延长线与x 轴的交点，则S△B=S△–S△B= – = ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 ，则， 的大小关系为（ ） ． B． ． D． 11（2023·湖北随州·统考中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流(单 位：)与电阻R(单位： )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为 时，电流 为( ) ． B． ． D． 12．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分 别为 与 关于直线 对称，反比例函数 的图象与 交于点 ．若 ，则 的值为（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 13 如图，点 ( ,1) P m ，点 (-2, ) Q n 都在反比例函数 4 y x  的图象上，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ， OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作 1 S ， POQ △ 的面积记作 2 S ，则（ ） ． 1 2 : 2:3 S S  B． 1 2 : 1:1 S S  ． 1 2 : 4:3 S S  D． 1 2 : 5:3 S S  14．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲 线 （其中 ）相交于 ， 两点，过点B 作 轴，交y 轴于 点P，则 的面积是___________． 15．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图， 与 位于平面直角坐标系中， ， ， ，若 ，反比例函数 恰好经 过点，则 ______． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函 数 的图象交于点 和点 ．已知点 的横坐标是2，点 的纵坐标是 ． (1)求 的值． (2)过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第二象限交于点 ；过点 作 轴的垂 线，过点 作 轴的垂线，在第四象限交于点 ．求证：直线 经过原点． 17．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 ， 轴分别相交于点，B，与反比例函数 的图象相交于点，已知 ， 点的横坐标为2． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求 ， 的值； (2)平行于 轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，为顶点 的四边形为平行四边形，求点D 的坐标． 考点03 二次函数 一、二次函数的概念：一般地，形如y=x2+bx+（，b，是常数，≠0）的函数，叫做二次 函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=x2+bx+（，b，为常数，≠0）． （2）顶点式：y=（x–）2+k（，，k 为常数，≠0），顶点坐标是（，k）． （3）交点式：y=（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x 轴的交点的横坐标， ≠0． 三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=x2+bx+（，b，是常数，≠0） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 对称轴 x=– 顶点 （– ， ） 的符号 >0 <0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=– 时，y 最小值= 当x=– 时，y 最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<– 时，y 随x 的增大而减 小；当x>– 时，y 随x 的增大而 增大 当x<– 时，y 随x 的增大而增 大；当x>– 时，y 随x 的增大 而减小 2 二次函数图象的特征与，b，的关系 字母的符号 图象的特征 >0 开口向上 <0 开口向下 b b=0 对称轴为y 轴 b>0（与b 同号） 对称轴在y 轴左侧 b<0（与b 异号） 对称轴在y 轴右侧 =0 经过原点 >0 与y 轴正半轴相交 <0 与y 轴负半轴相交 四、抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y=（x–） 2+k，顶点坐标为（，k）． 2．保持y=x2的形状不变，将其顶点平移到（，k）处，具体平移方法如下： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3．注意 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加 或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的 平移求出变化后的解析式． 五、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=x2+bx+（≠0），当y=0 时，就变成了一元二次方程x2+bx+=0 （≠0）2．x2+bx+=0（≠0）的解是抛物线y=x2+bx+（≠0）的图象与x 轴交点的横坐 标． （1）b2–4>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点； （2）b2–4=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点； （3）b2–4<0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点． 18．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l 为二次函数 的图 像的对称轴，则下列说法正确的是（ ） ．b 恒大于0 B．，b 同号 ．，b 异号 D．以上说法都不对 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 19．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x 轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ） ．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 ． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大 20 二次函数y=x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ） ．向左平移2 个单位，向下平移2 个单位 B．向左平移1 个单位，向上平移2 个单位 ．向右平移1 个单位，向下平移1 个单位 D．向右平移2 个单位，向上平移1 个单位 21．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线 与x 轴交于点 ，其中 ，下列四个结论：① ；② ；③ ； ④不等式 的解集为 ．其中正确结论的个数是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．1 B．2 ．3 D．4 22．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 相交于点 ， ．结合图象，判断下列结论：①当 时， ； ② 是方程 的一个解；③若 ， 是抛物线上的两点，则 ； ④对于抛物线， ，当 时， 的取值范围是 ．其中正确结 论的个数是（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线 （ 是常数， ）经过 三点，且 ．下列四个结论： ① ； ② ； ③当 时，若点 在该抛物线上，则 ； ④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ． 其中正确的是________（填写序号）． 24 已知抛物线 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式； 25．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点 和 ． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当 时，请根据图象直接写出x 的取值范围． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 26 已知抛物线 2 2 4 y x x c    与x 轴有两个不同的交点(1)求c 的取值范围；(2)若抛物 线 2 2 4 y x x c    经过点  2, A m 和点  3, B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由 1