专题07 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法（解析版）

专题07 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 例．如图，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ，点 在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接 ，若点 为直线 上方抛物线上的点，过点 作 轴交 于点 ，作 轴交 于点 ，若 的面积为2，求 点坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，当 时，在抛物线上是否存在点 使 是等腰 三角形？若能，请直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由． 【答】(1) (2) (3) ， ， 【分析】（1）把 ， 抛物线 ，待定系数法求解析式即可求 解； （2）先求得 ，根据 ，得出 ，求得直线 的 解析式为： ，设点 ，则 ，根据 ，建立方 程，解方程即可求解； （3）根据 ，画出图形，分两种情况讨论，①当 时，则 与 点重合，则 ，②当 时，如图所示，连接 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ， 的中点为 ，设 与 轴交于点 ，则 ， 求得直线 的解析式为 ，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：把 ， 抛物线 得： 解得： ∴该抛物线的解析式为 （2）把 代入 ，得： ， ∴ ∵ ， ∴ ∵ 轴，作 轴 ∴ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 设直线 的解析式为 ，设直线 的解析式为 ，把 ， 代入 得 解得 ∴直线 的解析式为： 设点 ，则 ∴ 解得： ， ∴ ∴ （3）解：∵ ∴ ①当 时，则 与 点重合，则 ②当 时，如图所示，连接 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ， 的中 点为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 设 与 轴交于点 ，则 ， 则 ∴ ∴ 设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 联立 解得： 或 ∴ ， ， 综上所述， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，三角形面积问题，等腰三角形的性质，余弦的定义， 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式训练1】综合与探究 如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ， 点 是第一象限内抛物线上的一个动点． (1)请直接写出点，B，的坐标； (2)是否存在这样的点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说 明理由； (3)若点 是直线 上一点，是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形是等腰三 角形？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在， 或 或 或 【分析】（1）令 ，求出 值，令 ，求出 的值，进而得到点，B，的坐标； （2）根据 ，得到 点的横纵坐标之间的数量关系，再跟点 在抛物线上，进 行求解即可； （3）分 ，三种情况进行讨论及求解即可； 【详解】（1）解：∵ ， 当 时， ，当 时， ，解得： ， ∴ ； （2）解：设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得： （负值已舍掉）； ∴ ； （3）存在，设直线 的解析式为： ， 则： ，解得： ， ∴ ； 设 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， 当 时： ，解得： ； ∴ 或 ； 当 时： ，解得： （舍去）或 ， ∴ ； 当 时： ，解得： ， ∴ ， 综上： 或 或 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解， 是解题的关键． 【变式训练2】如图，抛物线 与x 轴交于点 和点B，与y 轴交 于点 ，顶点为D，连接 ，P 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ，设点P 的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当t 为何值时， 的面积最大？并求出最大面积； (3)M 为直线 上一点，求 的最小值； (4)过P 点作 轴，交 于E 点．是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在， 请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)抛物线的解析式为： (2)当 时， 的面积最大，最大面积为32 (3) (4)存在，P 点的坐标为 ， ， 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）利用抛物线的解析式求出点B 的坐标，得到直线 的解析式，过点P 作 轴， 交x 轴于点F，交 于点G，利用 求出解析式，利用函数性质解答即 可； （3）作关于直线 的对称点为 ，得到四边形 为正方形，则 ，则 ，当、M、 三点共线时， 最小，即为线段 的长，勾 股定理求出 即可． （4）分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别求出点P 的坐标 【详解】（1）解：由题意得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）当 时，得 或 ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得 ∴直线 的解析式为 ． 如图，过点P 作 轴，交x 轴于点F，交 于点G． 设点 ， ． ∴ ． ∴ ， ∴当 时， 的面积最大，最大面积为32； （3）作关于直线 的对称点为 ，连接 ，如图， ∵ ， ， ∴四边形 为正方形，则 ， 则 ， 当、M、 三点共线时， 最小，即为线段 的长， ∴ 最小值为 ． （4）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ， ， 当 时， ，解得 或 ， ∴ ； 当 时，则 ， ∴ ， 解得 （舍去）或 ， ∴ ； 当 时，则 ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， 综上，P 点的坐标为 ， ， ． 【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问 题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键． 【变式训练3】综合与实践 如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． 是直线 下方抛物线上一点，设点 的横坐标为 ．过点 作 ，交 于点 ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当 的长度最大时，求线段 的最大值，并写出此时点 的坐标； (3)连接 ，试探究，在点 运动的过程中，是否存在点 ，使得 是等腰三角形， 若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)线段 的最大值为 ，此时 (3) 或 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）过点 作 轴的平行线，交 于点 ，先证明 ，从而得到 ，利用待定系数法可得直线 的函数表达式为 ，由 得到 ，从而得到 ，据此可解； （3）设 ，则 ， ， ，再分 ， ， 三种情况讨论得 到关于t 的方程，求出t 的值后代入 即可得解． 【详解】（1）解：将 ， 分别代入 中， 得 解得 ∴抛物线的函数表达式为 ； （2）在 中，令 ，得 ， ∴ ． 又∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ． 如图，过点 作 轴的平行线，交 于点 ， ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ， ， ∴ ，∴ ，即 ，∴ ． 设直线 的函数表达式为 ， 将 ， 代入，得 ，解得 ∴直线 的函数表达式为 ． ∵ 是直线 下方抛物线上一点，点 的横坐标为 ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ， 此时点 的坐标为 ； （3）存在点 ，点 的坐标为 或 ． 补充求解过程如下： ∵点D 在线段 上，由（2）得直线 的解析式为 ，∴设 ∵ ， ， ∴ ， ， ， ①当 时， 解得： (点与点D 重合，舍去) 将点 代入 得： ②当 时， ，解得： ， 将点 代入 得： ③当 时， ， 解得： (点D 不在线段 上，舍去)， 将点 代入 得： 综上所述：存在点 ，点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数得解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数 的图象与性质，等腰三角形的存在性问题等知识，掌握相关基础知识利用数形结合思想求 解是解题的关键．第二问的解题技巧是过点P 作x 轴的平行线，从而将斜线的长度转化为 横线的倍数来求解；第三问的解题技巧是设出点D 的坐标，利用两点间的距离公式求出 三条边的长度，再利用分类讨论思想解题． 类型二、等腰直角三角形存在性问题 例．综合与探究：如图1，已知抛物线 与x 轴相交于，B 两点（点在点B 的 左侧），与y 轴相交于点，直线 与y 轴相交于点D，交线段 于点E 且 ． (1)求，B，三点的坐标； (2)求直线 的函数表达式； (3)如图2，已知点M 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为 ，点P 是该抛物线上位于第 四象限的动点，且在直线l 右侧，点Q 是直线 上的动点，试探究是否存在以点M 为直 角顶点的等腰直角三角形 ，若存在请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， ， (2) (3)存在以点M 为直角顶点的等腰直角三角形 ，点P 的坐标为 或 【分析】（1）将 代入 得到 ，解方程即可求出 ， ，将 代入 即可求出 ； （2）首先利用待定系数法求出直线 的函数表达式为 ，过点E 作 轴 于F，证明出 ，利用相似三角形的性质求出 ，然后得到 ，最后利用待定系数法求解即可； （3）首先求出点M 的坐标，根据题意分两种情况：点Q 在直线l 右侧和点Q 在直线l 左侧， 然后分别设出点P 的坐标，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由 ，得 ， 解，得 ， ， 点，B 的坐标分别为 ， ， 由 ，得 ， 点的坐标为 ； （2）如图，设直线 的函数表达式为 ， 将点 ， 代入，得 ， ， 直线 的函数表达式为 ， 过点E 作 轴于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将 代入直线 中， 得 ， ， 设直线 的函数表达式为 ， ， ， 直线 的函数表达式为 ； （3）∵ ， ∴抛物线对称轴为 ， ∵点M 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为 ， ∴ ， 分两种情况： ①当点Q 在直线l 右侧时， 如图所示，过点P 作 于G，过点Q 作 于， ∴设 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵直线 额函数表达式为 ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， 当 时， ， ∴ ； ②当点Q 在直线l 左侧时， 如图所示， 过点P 作 于G，过点Q 作 于，设点 ， ∴ ， ， 同理可得 ， ∴ ， ，∴ ， ∵直线 额函数表达式为 ， ∴ ，解得 或 （舍去）， 当 时， ，∴ ， ∴综上所述，存在以点M 为直角顶点的等腰直角三角形 ． 点P 的坐标为 ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角 形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质 构造全等三角形． 【变式训练1】综合与探究 如图，已知直线 与x 轴，y 轴交于B，两点，抛物线 经过点， B，点P 为线段 上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点，交直线 于点 M，设点P 的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当 ，t 的值为___________； (3)若点到直线 的距离为d，求d 的最大值； (4)在y 轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出 点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2)1；(3) (4)存在， ， ， 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可； （2）根据点 ，确定点 ， ，得出 ， ，根据题意代入求解即可； （3）点到直线 的距离为d，求d 的最大值即为求 面积的最大值，连接 ， 根据（2）中 代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可； （4）分两种情况分析：当 时，当 时，分别利用全等三角形的判 定和性质及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当 时， ， ∴点的坐标为 ； 当 时， ，解得； ， ∴点B 的坐标为 ． 将 ， 代入 ， 得： ， 解得： ， ∴这个抛物线的解析式为 ； （2）点 ，则点 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 解得： 或 （与点B 重合，舍去）， 故答为：1； （3）点到直线 的距离为d，求d 的最大值即为求 面积的最大值， 连接 ，如图所示： ∵点B 的坐标为 ． ∴ ， ， 由（2）得 ， ∴ ， ∴面积最大为：8， ∵ ， ∴ ，解得： ； （4）存在， ， ， ，理由如下： 当 时，如图所示： ， 过点作 轴，过点B 作 轴交 延长线于点， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，（负值舍去） ∴ ； 当 时，如图所示： ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ 或 ， ∵点Q 在x 轴下方， ∴ ， ； 综上可得： ， ， ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面 积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综 合运用这些知识点是解题关键． 【变式训练2】如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于 轴的直线与抛物线 相交于 ， 两点．设点 的横坐标为 ． (1)求 的长（用含 的代数式表示）； (2)如图（2）所示，点 在直线 上，点 的横坐标为 ．若 ， ，求顶点在 轴上且经过 ， 两点的抛物线的顶点坐标； (3)点 在直线 上， ，过 ， ， 三点的抛物线的顶点为 ，其对应函数的 二次项系数为 ． ①求 的值；②当 ， 为等腰直角三角形时，直接写出 的值． 【答】(1) (2) (3)① 或 ；② 或 【分析】（1）依据抛物线的对称性可求得点的横坐标为 ，然后依据 求解 即可； （2）先求得经过B、且顶点在x 轴上的抛物线的对称轴为 ，然后将 代入可求 得顶点的横坐标，然后依据x 轴上各点的纵坐标为0 求解即可； （3）①当点D 在点B 的右侧时．先用含m 的式子表示点B、D 的坐标，然后可得到抛物线 的对称轴为 ，设过点、B、D 三点的抛物线的解析式为 ．将 代入求得k 的值，得到抛物线的解析式，然后依据B、D 两点的纵坐标相等可得到关于、1 的等式于是可求得 的值；同理可求得当点D 在点B 左侧时 的值；②当点D 在点B 的 右侧时．过点P 作 轴，交 与点E．先求得 的长，然后依据 列出关 系式，然后将 代入可求得的值；当点D 在点B 的左侧时，连接 ，交x 轴 与点E．先求得 的长，然后依据 列出关系式，然后将 代入可求 得的值． 【详解】（1）解：∵点 的横坐标为 ，点 与点 关于 轴对称， ∴点 的横坐标为 ． ∴ ； （2）解：∵点 和点 关于经过 ， 两点的抛物线的对称轴对称， ∴经过 ， 且顶点在 轴上的抛物线的对称轴为直线 ． ∵ ， ∴所求抛物线的对称轴为直线 ． ∴经过 ， 两点且顶点在 轴上的抛物线的顶点坐标为 ； （3）解：①如图所示，当点 在点 的右侧时， ∵点 的横坐标为 ， ， ， ∴ ． ∴点 的横坐标为 ． ∴过点 ， ， 三点的抛物线的对称轴为直线三点的抛物线的对称轴为直线 ． 设过点 ， ， 三点的抛物线的解析式为 ． 将 代入得 ． ∴抛物线的解析式为 ． ∵点 为两抛物线的交点， ∴ ，整理得 ． ∵ ， ∴ ，即 ； 如图所示，当点 在点 左侧时． ∵点 的横坐标为 ， ， ， ∴ ． ∴点 的横坐标为 ． ∴过点 ， ， 三点的抛物线的对称轴为直线 ． 设过点 ， ， 三点的抛物线的解析式为： ． 将 代入得 ． ∴抛物线的解析式为 ． ∵点 为两抛物线的交点， ∴ ， 整理得 ． ∴ ； 综上所述， 的值为 或 ； ②如图所示．当点 在点 的右侧时， 过 作 轴于 ，交 于点 ． ∵点 的横坐标为 ，由①可知 ， 过点 ， ， 三点的抛物线的解析式为： ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ， ∴ ，解得 ； 如图所示．当点 在点 的左侧时，连接 ，交 轴于点 ． 由①可知 ，过点 ， ， 三点的把的解析式为 ． ∴ ． 又∵ ，∴ ． ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ，即 ． ∵ ， ， ∴ ，解得 ． 综上所述， 的值为 或 ． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性、 函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，由点B 为两抛物线的交点即B 的纵坐标相等 列出与 的关系式是解答本题的关键． 【变式训练3】如图，抛物线 过点 、点 ，交y 轴于点． (1)求b，的值． (2)点 是抛物线上的动点 ①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值； ②过点P 作 轴，交 于点E，再过点P 作 轴，交抛物线于点F，连接 ， 问：是否存在点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答】(1) ， (2)①当 时， 的面积由最大值，最大值为 ； ②当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形 【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解； （2）①由（1）可知： ，得 ，可求得 的解析式为 ，过点 P 作 轴，交 于点E，交 轴于点 ，易得 ，根据 的面积 ，可得 的面积 ，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为 ，则 ，分两种情况：当点 在对 称轴左侧时，即 时，当点 在对称轴右侧时，即 时，分别进行讨论求解 即可． 【详解】（1）解：将 、 代入抛物线 中， 可得： ，解得： ， 即： ， ； （2）①由（1）可知： ， 当 时， ，即 ， 设 的解析式为： ， 将 ， 代入 中， 可得 ，解得： ， ∴ 的解析式为： ， 过点P 作 轴，交 于点E，交 轴于点 ， ∵ ，则 ， ∴点E 的横坐标也为 ，则纵坐标为 ， ∴ ， 的面积 ， ∵ ， ∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 ； ②存在，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知 ， 由题意可知抛物线的对称轴为直线 ， ∵ 轴， ∴ ， ，则 ， 当点 在对称轴左侧时，即 时， ，当 时， 为等腰直角三角形， 即： ，整理得： ， 解得： （ ，不符合题意，舍去） 此时 ，即点 ； 当点 在对称轴右侧时，即 时， ，当 时， 为等腰直角三角形， 即： ，整理得： ， 解得： （ ，不符合题意，舍去） 此时： ，即点 ； 综上所述，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及 图象上的点的