专题06 二次函数中面积问题的两种考法（解析版）

专题06 二次函数中面积问题的两种考法 类型一、面积最值问题 例．抛物线 交x 轴于点 ，交y 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x 轴交点的坐标； (2)直接写出当 时，x 的取值范围． (3)如图，点P 是线段 上方抛物线上一动点，当P 点的坐标为_______时， 的面积 最大． 【答】(1) ； ；对称轴直线 (2) 或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象即可得出结论； （3）过点 作 轴交 于点 ，设 ，则 ，则 ，再由此求解即可． 【详解】（1）将点 ， 代入 ， ， 解得 ， ； 令 ，得 解得： ∴ ， 对称轴直线 （2）由（1）得： ， ∴当 或 时， （3）设直线 的解析式为 ， ， 解得 ， ， 过点 作 轴交 于点 ， 设 ，则 ， ， ， 当 时， 的面积有最大值， 此时 ， ． 故答为： ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最 短距离的方法是解题的关键． 【变式训练1】如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ． (1)求抛物线的对称轴及 值； (2)抛物线的对称轴上存在一点 ，使得 的值最小，求此时点 的坐标； (3)点 是抛物线上一动点，且在第三象限，当 点运动到何处时，四边形 的面积 最大？求出四边形 的最大面积． 【答】(1) (2) (3) ，最大，最大值为 【分析】（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线 ，将点 代入解析式， 待定系数法即可求解； （2）连接 ，交对称轴于点 ，根据两点之间，线段最短可得点 即为所求，求得直线 的解析式，令 ，即可求解； （3）连接 ，如图1，设 点坐标为 ，根据 ，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为直线 ， 把 代入 得 ， ； （2）连接 ，交对称轴于点 ， ∵两点之间，线段最短， ∴ 的最小值为 的长，则点 即为所求 对于 ，令 ，则 ，解得 ， ， 点坐标为 ， 点坐标为 ， 设直线 的关系式为： ， 把 ， 代入 ，得 ，解得 ， 直线 的关系式为 ， 当 时， ， 点坐标为 ； （3）连接 ，如图1，设 点坐标为 ， ， 当 时，最大，最大值为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性 质是解题的关键． 【变式训练2】如图，抛物线 与x 轴交与 ， 两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线交y 轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？ 若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及 的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2)存在， ；(3)存在， ， 的面积最大值是 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）根据题意可知，边 的长是定值，要想 的周长最小，即是 最小所 以此题的关键是确定点Q 的位置，找到点关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直 线 的解析式，直线 与对称轴的交点即是所求的点Q； （3）首先求得 的坐标，然后设P 的横坐标是x，利用表示出 的面积，利用二次 函数的性质求解； 【详解】（1）根据题意得： ，解得 ， 则抛物线的解析式是 ； （2）理由如下：由题知、B 两点关于抛物线的对称轴 对称， ∴直线 与 的交点即为Q 点，此时 周长最小， 对于 ，令 ，则 ， 故点 ， 设 的解析式是 ，则 ，解得 ， 则 的解析式是 ． 时， ， ∴点Q 的坐标是 ； （3）过点P 作y 轴的平行线交 于点D， 设P 的横坐标是x，则P 的坐标是 ，对称轴与 的交点D 是 ． 则 ． 则 ， ∵ ，故 的面积有最大值是 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是 转化为函数最值问题求解 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x 轴交 于点 和点 两点，与y 轴交于点 ．点D 为线段 上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求 周长的最小值； (3)如图2，过动点D 作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的面积和为S，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值． 【答】(1) (2) (3) ， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为 ，将 代入求解即可； （2）作点关于直线 的对称点E，连接 ，根据点坐特点及正方形的判定得出四 边形 为正方形， ，连接E，交 于点D，由对称性 ，此时 有最小值为E 的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ，设 ，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为 ， 将 代入上式得： ， 所以抛物线的表达式为 ； （2）作点关于直线 的对称点E，连接 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵、E 关于直线 对称， ∴四边形 为正方形， ∴ ， 连接 ，交 于点D，由对称性 ， 此时 有最小值为 的长， ∵ 的周长为 ， ， 的最小值为10， ∴ 的周长的最小值为 ； （3）由已知点 ， ， ，设直线 的表达式为 ， 将 ， 代入 中， ，解得 ， ∴直线 的表达式为 ， 同理可得：直线 的表达式为 ， ∵ ，∴设直线 表达式为 ， 由（1）设 ，代入直线 的表达式得： ， ∴直线 的表达式为： ， 由 ，得 ，∴ ， ∵P，D 都在第一象限，∴ ， ∴当 时，此时P 点为 ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短 问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 类型二、求面积问题 例．已知： ， 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线 的 图象经过点 ． (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线与 轴的另一交点为，抛物线的顶点为D，试求 的面积； (3) 是线段 上的一点，过点 作 轴，与抛物线交于 点，若直线 把 分成面积之比为 的两部分，请求出 点的坐标． 【答】(1) (2) (3)点 或 【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，从而得到点 的坐标，再代入 抛物线解析式即可解答； （2）令抛物线解析式中 ，可求得点 坐标，利用公式法求出顶点 的坐标，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，分别求出 、梯形 、 的面积，利用 = 解答即可； （3）先利用待定系数法求得直线 的解析式，再设直线 与 相交于点 ，点 ，则点 ，从而求得 ，最后 分两种情况讨论①当 时或②当 时，分别计算解答即可． 【详解】（1）解： ， 是方程 的两个实数根，且 ， 把点 代入抛物线解析式得 ，解得 ， ； （2）解： 令 如图，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ， = ； （3）解：如图， 设直线 的解析式为 ，代入点 得， 设直线 与 相交于点 ，点 则点 直线 把 分成面积之比为 的两部分，分两种情况讨论： ①当 时 ， （ 舍去）， ②当 时 ， 综上所述，点 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数 法求二次函数解析式、配方法求二次函数顶点坐标、解析法求线段的长等知识，利用等高 三角形面积比等于底边比，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练1】如图，已知抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左 侧），与y 轴的正半轴交于点，点的坐标为 ，连接 ． (1)当 时，求抛物线的顶点坐标； (2)若 ， ①求m 的值； ②点P 是x 轴上方的抛物线上的一动点，连结 ．设 的面积为S．若S 为正 偶数，试求点P 的坐标． 【答】(1) (2)① ；② 或 或 ． 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）①根据题意得到 ， ， ，然后表示出 ， ， ，根据 利用勾股定理列方程求 解即可； ②过点P 作 轴于，交 于点Q，先求出 的解析式，设点 ， 则点 ，由三角形面积公式可得 ，由二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：∵点 ，在抛物线 图象上， ， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线解析式为： , ∴抛物线的顶点坐标为 ； （2）①解：当 时，即 ∴设 ∵ ∴ ∴ ∴ ， 当 时， ∴ ∴ ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∴ ∴整理得， 将 代入 得， 可得， ， ∴将 代入 ，得 ∴解得 或0（舍去） ∴ ； ②∵ ∴ ， ，抛物线解析式为 ， ∴设直线 的解析式为 ，代入B、坐标得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 过点P 作 轴于点，交 于点Q，如图， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴ ∵S 为正偶数 ∴ 或4， ∴当 时，即 ，解得 ∴ 或 ； 当 时，即 ，解得 ∴ 综上所述，点P 的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函 数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键． 【变式训练2】如图，抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与 轴交 于点 ，点 是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 在直线 下方运动，且满足 时，求点 的坐标； (3)设 的面积为，当为某值时，满足条件的点 有且只有三个，不妨设为 ， ， ，求 的面积． 【答】(1) (2) 的坐标为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）作 关于 轴的对称点 ，连接 ，根据 ， 关于 轴对称，则 ，结合已知条件得出 '，得出 ，求得直线 的 解析式为 ，直线 解析式为 ，联立抛物线解析式，进而即可求 解． （3）过点 作 轴交直线 于点 ，过 作 轴交 于 ，求得直线 解析式为 ，设 ，则 ，当 在 下方时， ，此时 ，当 在 上方时， ，得出 ， 进而求得直线 解析式为 ，得出 ，则 ，进而根据三角形面积公 式即可求解． 【详解】（1）解：把 ， 代入 得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）作 关于 轴的对称点 ，连接 ，如图： 在 中，令 得 ， ， ， 关于 轴对称， ， ， ， '， ， 由 ， ， 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得： 直线 的解析式为 ， 设直线 解析式为 ，把 ， 代入得： ， 直线 解析式为 ， 联立 得： 或 ， 的坐标为 ； （3）过点 作 轴交直线 于点 ，过 作 轴交 于 ，如图： 由 ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 则 解得： 直线 解析式为 设 ，则 当 在 下方时， ， ， ， 当 时，取最大值 ， 此时 ； 当 在 上方时， ， 解得 或 设直线 的解析式为 ， ， 解得： ， 直线 解析式为 ， 在 ，令 得 ， ， ， 的面积为 ， 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，面积问题，扎实的计算是解题的关 键． 课后训练 1．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于 ， 两点，其中点 在原点左侧，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线顶点为 ，点 在第三象限的抛物线上， ①若直线 与直线 关于直线 对称，求点 的坐标； ②如图2，若直线 与抛物线交于点 ， ， ，与抛物线线的对称轴 交于点 ，若 ，连接 ， ，求 的取值范围． 【答】(1) (2)① ② 【分析】（1）根据点 可求出 ，根据点 可求出，即可求解；（2）①先求出直线 的解析式，根据题意即可得出直线 的解析式，进而可求出点 的坐标；②建立 与 的关系即可求解． 【详解】（1）解：由 ， 可得抛物线的对称轴为：直线 又对称轴为：直线 故 ，解得 又抛物线与 轴交于点 所以抛物线的解析式为： （2）①解：令 ，则 解得： 故 设直线 的解析式为： 故有： ，解得： 所以直线 的解析式为： 因为直线 与直线 关于直线 对称 所以直线 的解析式为： 联立直线 与抛物线的解析式： 解得： 当 故点 ②解：由题意得： ，解得 故 因为直线 与抛物线对称轴交于点 结合（1）可得： 因为点 ，点 关于抛物线对称轴对称 故 的横坐标 解得： 【点睛】本题以二次函数作为背景，综合考查了二次函数的对称性、一次函数的解析式等 相关知识点．最后一小问的数学建模思想是学生应该具备的能力． 2．已知： 关于 的函数 ． (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线 交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于 点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ． ①当点 为抛物线顶点时，求 的面积； ②探究直线在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，说明理由． 【答】(1)0 或2 或 (2)①6，②存在， 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候， 按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值． （2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出 长度，再利用 和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点 坐标，从而求出 长度，最后利用面积法即可求出 的面积． ②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割 补法表示出 和 ，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可 求出 的最小值． 【详解】（1）解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点， ， ， ， 当函数为一次函数时， ， ． 当函数为二次函数时， ， 若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时， ， ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点， ， ， ． 综上所述， 或0． 故答为：0 或2 或 ． （2）解：①如图所示，设直线与 交于点 ，直线与 交于点 ． 依题意得： ，解得： 抛物线的解析式为： ． 点 为抛物线顶点时， ， ， ， ， 由 ， 得直线 的解析式为 ， 在直线 上，且在直线上，则 的横坐标等于 的横坐标， ， ， ， ， ． 故答为：6． ② 存在最大值，理由如下： 如图，设直线 交 轴于 ． 由①得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 有最大值，最大值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面 积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及 二次函数最值问题． 3．如图1，经过原点的抛物线 （、b 为常数， ）与x 轴相交于另一点 ．在第一象限内与直线 交于点 ，抛物线的顶点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点D，使得 ？若存在，求出所有点D 的坐标；若不存 在，请说明理由； (3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线B 下方的抛物线上的动点， EF 与直线B 交于点G．设 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值． 【答】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先求得点 ，再利用待定系数法即可求解； （2）分点D 在直线 下方、上方两种情况，分别求解即可； （3）如图，分别过点E，F 作y 轴的平行线，交直线 于点M，，则 ， ，设 ，可表达 ，再利用二次函数的性质可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线 经过点 ， ∴ ， ∴点 ， ∵抛物线 经过点 和点 以及原点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：∵抛物线 ， ∴顶点的坐标为 ， 设直线 的解析式为： ， 则将 ， 代入 得， ，解得 ， ∴直线 的解析式为： ． ①当点D 在直线 的下方时，过点B 作 轴，交x 轴于点F，延长 ，交 于 G，设 交x 轴于点E，如图， ∵ ， ∴ ，即 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 中，当 时， ，得： ， ∴ ， 则 ， ∴ ， 同理求得直线 的解析式为： ， 联立： ，解得 或 （舍去）， ∴ ； ②当点D 在直线 的上方时， ∵ ， ∴ ， ∵直线 的解析式为： ， ∴直线 的解析式为： ， 联立： ，解得： 或 （舍去）， ∴ ． 综上，当点D 的坐标为 或 时，使得 ； （3）解：∵点 与点E 关于对称轴直线 对称， ∴ ， 如图，分别过点E，F 作y 轴的平行线，交直线 于点M，， ∴ ， ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴当 时， 的最大值为 ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标 特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的 比．