专题08 二次函数中的定值与定点问题 类型一、定值问题 例1．已知抛物线 与x 轴交于 和B 两点． (1)求出该抛物线的对称轴(用含的代数式表示)； (2)若 ，对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线 与抛物线交于P，Q 两点(P，Q 都不与，B 重合)，直线P，Q 分别 与y 轴交于点M，，设M，两点的纵坐标分别为m，，求证：m 为定值． 中，试问m+的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+的值． 类型二、定点问题 例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点(点 在点 的左侧)，点 关于 轴的对称点为 ． (1)当 时，求 ， 两点的坐标； (2)连接 ， ， ， ，若 的面积与 的面积相等，求 的值； (3)试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练1】如图，抛物线y＝x2 3．求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标． 【变式训练2】已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ， 两 点． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图1， 为抛物线 上 ， 之间的动点，过点 作 轴于点 ， 于 点 ，求 的最大值； (3)如图2，平移抛物线 的顶点到原点，得到抛物线 ，直线 交抛物线 于 ， 两点，已知点 ，连接 ， 分别交抛物线 于另一点 ， ，求证：直线 经过一个定点．

专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理 类型一、定值问题 例．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点 ．点 是第二象限内抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作直线 轴于点 ，作直线 交 于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标； (3)如图2，连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 解得： 或 ， 直线 ， ． 令 得 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识， 掌握待定系数法和面积求法是解题的关键． 类型二、定点问题 例．如图，抛物线 与x 轴的交点为，B 两点，与y 轴的交于点， ． (1)求抛物线的解析式； (2)P 为抛物线在第四象限上的一点，直线 与抛物线的对称轴相交于点M，若 是 的坐标； (2)如图（1），若点 的横坐标是 ，点 在第二象限，平行四边形 的面积是13， ①求直线 的解析式； ②求点 的坐标； (3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点． 【答】(1) (2)① ；② (3)见解析 【分析】（1）令 ，求出点 ， 两点坐标，根据 是 的中点，即可求解； （2）①先求出点 ，即可求得直线 的解析式， ②过点 作 轴交直线

专题08 二次函数中的定值与定点问题 类型一、定值问题 例1．已知抛物线 与x 轴交于 和B 两点． (1)求出该抛物线的对称轴(用含的代数式表示)； (2)若 ，对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线 与抛物线交于P，Q 两点(P，Q 都不与，B 重合)，直线P，Q 分别 与y 轴交于点M，，设M，两点的纵坐标分别为m，，求证：m 为定值． ∵点M、的横坐标为m、，∴m+＝6．∴m+为定值，m+＝6． 类型二、定点问题 例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点(点 在点 的左侧)，点 关于 轴的对称点为 ． (1)当 时，求 ， 两点的坐标； (2)连接 ， ， ， ，若 的面积与 的面积相等，求 的值； (3)试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答】(1)点 的坐标为 (3)直线 一定过定点(0，3)．理由如下： ∵，B 是抛物线 图像上的点， ∴设(m， )，B(， )，则 (-， )， 根据题意，得 ，整理得到 ，∴m，是 的两个根， ∴ ， 设直线 的解析式为y=px+q，根据题意，得 ，解得 ， ∴直线 的解析式为y=(-m)x-m， ∵m=-3，∴-m=3，∴直线 的解析式为y=(-m)x+3， 故直线 一定过定点(0，3)． 【变式训练1】如图，抛物线y＝x2

专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理 类型一、定值问题 例．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点 ．点 是第二象限内抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作直线 轴于点 ，作直线 交 于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标； (3)如图2，连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 轴的垂线交抛物线于点D． ①当点P 的横坐标为2 时，求四边形 的面积； ②如图2，直线 分别与抛物线对称轴交于M、两点．试问， 是否为定值？ 如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由． 类型二、定点问题 例．如图，抛物线 与x 轴的交点为，B 两点，与y 轴的交于点， ． (1)求抛物线的解析式； (2)P 为抛物线在第四象限上的一点，直线 与抛物线的对称轴相交于点M，若 是 的坐标； (3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点． 【变式训练2】已知二次函数 的图象经过点 ，直线B 与抛物线相交于、B 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线B 的解析式为 ，且 的面积为35，求k 的值； (3)如图2，若 ，则直线B 必经过一个定点，求点的坐标． 【变式训练3】已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于

题型24 5 类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上的椭圆标准方程为： x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0) 焦点在 y 轴上的椭圆标准方程为： y2 a2 + x2 b2=1 (a>b>0) 双曲线的标准方程 焦点在x 轴上的标准方程为： x2 b>0) 焦点在y 轴上的标准方程为： y2 a2 −x2 b2=1 (a>0,b>0) 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关 计算，难度中等偏下，需重点练习 [方法三]：三点共线 设 ， 设 ,若 P、M、N 三点共线，由 所以 ，化简得 ， 反之，若 ,可得MN 过定点 因此，由M、N、F 三点共线，得 ， 由M、D、A 三点共线，得 ， 由N、D、B 三点共线，得 ， 则 ，AB 过定点（4,0） （下同方法一）若要使 最大，则 ， 设 ，则 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当 最大时， ，所以直线

题型24 5 类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上： x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0) ， 焦点在y 轴上： y2 a2 + x2 b2=1 (a>b>0) 双曲线的标准方程焦点在x 轴上： x2 a2−y2 b2 =1 (a>0,b>0) b>0) 抛物线的标准方程 焦点 位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴 标准 方程 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关 计算，难度中等偏下，需重点练习 2．（2024·山西晋城·统考一模）已知椭圆 的焦点是椭圆 的顶点，椭圆 的焦点 也是 的顶点． (1)求 的方程； (2)若 ， ， 三点均在 上，且 ，直线 ， ， 的斜率均存在，证明：直线 过定点（用 ， 表示）． 3．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 的一条渐近线与直线： 垂直. (1)求 的标准方程； (2)点 为 上一动点，直线

瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题 【专题说明】 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和， 最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ** Expression is faulty **见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ** Expression is faulty **见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形 【知识精讲】 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆有什么关系？ 考虑到Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 中点可得：M=1/2． Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将P 绕点逆时针旋转90°得Q，故Q 点轨迹与P 点轨 迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

的异侧，构造一个角度α，使得sα= b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题 【模型展示】 如图，一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且 V1定点，点在直线M 上，确定点的位置使 的值最小． V2 V1 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH 点，根据角平分线定理， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故M 点为定点，即∠PB 的角平分线交B 于定点； 作∠PB 外角平分线交直线B 于点，根据外角平分线定理， ，故点为定点，即 ∠PB 外角平分线交直线B 于定点； 又∠MP=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以M 为直径的圆． O P B A M N 考点03 费马点 来在“手拉手全等”就已 经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 考点04 瓜豆原理 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小 值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; **

的面积为____________． 15．过定点A 的动直线 和过定点B 的动直线 交于点 ， 则 ____________． 16．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为 圆E： 上任意一点，则 的最小值为___________． 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分) 17．已知圆 ，直线 ． （1）求证：直线l 恒过定点； （2）判断直线l 与圆C 的位置关系 为 上任意一点，求 的最大值. 22．已知圆 过点 ，且与圆 关于直线 对称． （1）求圆 、圆 的方程； （2）过点Q 向圆 和圆 各引一条切线，切点分别为C，D，且 ，则是 否存在一定点M，使得Q 到M 的距离为定值 ？若存在，求出M 的坐标，并求出 的 值；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9 在圆 上，可得直线CD 的方程，求得 直线CD 恒过定点 ，从而得M 在以OQ 为直径的圆，得出圆的方程可求得 的最小值． 【详解】 设点 ， ，因为PD，PC 是圆的切线，所以 ， 所以C，D 在以OP 为直径的圆上， 其圆的方程为 ， 又C，D 在圆 上，则将两个圆的方程作差得直线CD 的方程： ，即 ，所以直线CD 恒过定点 ， 又因为 ，M，Q，C，D 四点共线，所以 ，即M

思考2 如图，点为定点，点P、Q 为动点，P=Q，且∠PQ 为定值，当点P 在直线 B 上运动，请探究点Q 的运动轨迹 揭秘：当P 与Q 夹角固定，且P=Q 时，P、Q 轨迹是同一种图形，且 PP1=QQ1． 可以这样理解：易知△PP1 PP ≌△ 1，则∠PP1=QQ1，故可知Q 点轨迹为一条直线 思考3 如图，点为定点，点P 是直线B 上的一动点，以P 为一条直线 总结 条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． 结论： ①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运 动路径长； ④当主动点、从动点到定点的距离不相等时， 典题探究 ∴∠M＝30°+60°＝90°， ∵＝ B＝3， 在Rt△M 中，由勾股定理得：M＝ ＝ ＝6， 则M 点所经历的路径长为6， 故答为：6． 例题3 如图，已知点是第一象限内横坐标为 的一个定点，⊥x 轴于点M，交 直线y=-x 于点，若点P 是线段上的一个动点，∠PB=30°，B⊥P，则点P 在线段上 运动时，点不变，B 点随之运动．求当点P 从点运动到点时，点B 运动的路径长 是________．