吉林省长春外国语学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

长春外国语学校2020-2021 学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷 出题人 ：徐赢 审题人：刘洋 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4 页。考试结束后，将答 题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．如果 且 ，那么直线 不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知椭圆的标准方程为 ，则椭圆的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 A． B． C． D． 4．已知直线 与直线 垂直，则实数 的值为（ ） A．2 B． C． D． 5．如图，在平行六面体 中，设 ， ， ,则向量 （ ） A. B. C. D. 6．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2-3x-2=0 的两根，则k1+k2+k3的值是（ ） A．1 B． C． D．1 或 7．若直线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则能使 的是（ ） A. B. C. D. 8．已知直线过点 ，且不过第四象限，则直线的斜率 的最大值是（ ） A． B． C． D． 9．在长方体 中， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，动圆 与直线 相 切，则面积最大的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若椭圆 与坐标轴分别交于 四点， 且从 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆 的离心率 的可能取值为（ ） A． B． C． D． 12．已知直线 与x 轴相交于点A，过直线l 上的动点P 作圆 的两 条切线，切点分别为C，D 两点，记M 是 的中点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．3 第Ⅱ卷 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分) 13．在空间直角坐标系O-xyz 中，点 关于z 轴的对称点的坐标是 . 14．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上， 轴，则 的面积为____________． 15．过定点A 的动直线 和过定点B 的动直线 交于点 ， 则 ____________． 16．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为 圆E： 上任意一点，则 的最小值为___________． 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分) 17．已知圆 ，直线 ． （1）求证：直线l 恒过定点； （2）判断直线l 与圆C 的位置关系. 18．在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆C 上. （1）求圆C 的方程； （2）求直线 被圆C 截得的弦长. 19．已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点为 、 ， ， . （1）求椭圆 的标准方程； （2）求直线 被椭圆 截得的弦长. 20．如图，正三棱柱 的所有棱长都为2， 为 的中 点． （1）求 与 所成角的余弦值． （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 21．如图， 为圆 ： 上一动点，点 的坐标为 ，线段 的垂直平分线交直线 于点 . （1）求点 的轨迹方程； （2）设点 的轨迹为 ，F 为 的左焦点， 为坐标原点，M 为 上任意一点，求 的最大值. 22．已知圆 过点 ，且与圆 关于直线 对称． （1）求圆 、圆 的方程； （2）过点Q 向圆 和圆 各引一条切线，切点分别为C，D，且 ，则是 否存在一定点M，使得Q 到M 的距离为定值 ？若存在，求出M 的坐标，并求出 的 值；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B 10.B 11.A 12.A 13. 14. 15.5 16. 12【分析】 设点 ， ，根据圆的切线的性质可得C，D 在以OP 为直径 的圆上，求得其圆的方程，再由C，D 在圆 上，可得直线CD 的方程，求得 直线CD 恒过定点 ，从而得M 在以OQ 为直径的圆，得出圆的方程可求得 的最小值． 【详解】 设点 ， ，因为PD，PC 是圆的切线，所以 ， 所以C，D 在以OP 为直径的圆上， 其圆的方程为 ， 又C，D 在圆 上，则将两个圆的方程作差得直线CD 的方程： ，即 ，所以直线CD 恒过定点 ， 又因为 ，M，Q，C，D 四点共线，所以 ，即M 在以OQ 为直径的 圆 上，其圆心为 ，半径为 ， 所以 ，所以 的最小值为 ， 故选：A． 【点睛】 方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方 程变成 ，将 带入原方程之后，所以直线过定点 ；方法二（特 殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋 转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程， 对两个方程求解可得定点. 14． 【分析】 根据 轴，求出点 的坐标，由 ，即可求出 的面积. 【详解】 解：根据题意，可得 ， 因为 轴，故设 ， 代入得： ，解得 ， 所以 . 故答案为： . 15．5 【分析】 由已知求出A，B 的坐标，由两直线垂直的条件知两直线垂直，然后结合勾股定理即可 求解． 【详解】 由已知 ， 直线 的方程可以写成 ， 由 得 ， 即 ， 又 ， 所以两直线垂直． 所以 ． 故答案为:5． 16． 【分析】 首先根据椭圆的定义将 的最小值转化为 ，再根据 （当且仅当M、N、E 共线时取等号），最后根据 求 得 的最小值. 【详解】 解：如图， M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E： 上任意一点， 则 （当且仅当M、N、E 共线时取等号）， ∴ ， 当且仅当M、N、E、 共线时等号成立. ∵ ，则 ， ∴ 的最小值为 ． 故答案为： ． 17 （1）证明：直线l 的方程可化为 ，又 ， ∴ ，解得 ， ∴直线l 恒过定点 ． （2）圆心 ， ， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 相交（无论m 为何实数）． 18（1） （2） 19．（1） ；（2） . 【分析】 （1）设椭圆的半焦距为，由题意可得 ， ，解得 ，，求得 ，可得 椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值. 【详解】 （1）设椭圆的半焦距为，由 ， ， 可得 ， ，解得 ， ， 则 ， 即有椭圆的方程为 ； （2）联立直线 和椭圆 ， 可得 ， 设被椭圆 截得的弦的端点的横坐标分别为 ， ， 则 ， ， 可得弦长为 . （3）当 时，直线l 的方程为 ，圆心 到直线l 的距离 ． ∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为 ． 20．(1) （2） 【分析】 （1）在正三棱柱 中， 为正三角形，取 中点为 ，连接 ，则 , 又 面 ， ,则 面 ,建立如图空间直角坐标系 ， 由 ,.可得 ， , 所以 与 所成角的余弦值 . 21．（1） ；（2）. （1）连接 ，由题意，得 ，即 ，所以 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆， ∴ ，则点Q 的轨迹方程： . （2）设 ，由（1）知： ， ∴ ，即 ， M 为椭圆E 上任意一点，有 ， ∴ ，又 ， ∴当 时， 的最大值为. 22．（1） ， ；（2）存在， ，Q 到M 的距离 为定值 ． 【分析】 （1）由圆 与圆 关于直线 对称，列出方程组，求 得 ，再由圆 过点 ，求得 ，即可求解； （2）由 ，化简得到 ，即可得到答案. 【详解】 （1）设圆 的圆心 ， 因为圆 与圆 关于直线 对称， 可得 ，解得 ， 设圆 的方程为 ，将点 ，代入可得 ， 所以圆 的方程为 ，圆 的方程为 ． （2）由 ，根据切线长公式，可得 ， 设 ，则 ， 化简得 ， 所以存在定点 使得Q 到M 的距离为定值 ．