高考数学答题技巧题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧（标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围）（原卷版）Word（15页）

题型24 5 类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上： x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0) ， 焦点在y 轴上： y2 a2 + x2 b2=1 (a>b>0) 双曲线的标准方程焦点在x 轴上： x2 a2−y2 b2 =1 (a>0,b>0) ，焦点在y 轴上： y2 a2 −x2 b2=1 (a>0,b>0) 抛物线的标准方程 焦点 位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴 标准 方程 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关 计算，难度中等偏下，需重点练习. x x y y px y 2 2  px y 2 2   py x 2 2  py x 2 2   例1．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ． (1)求C 的方程； (2)记C 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上. （1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ， 则由 可得 ， ，所以双曲线方程为 . 1．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F 的直线交C 于 M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时， ． (1)求C 的方程； (2)设直线 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最 大值时，求直线AB 的方程． 2．（2024·山西晋城·统考一模）已知椭圆 的焦点是椭圆 的顶点，椭圆 的焦点 也是 的顶点． (1)求 的方程； (2)若 ， ， 三点均在 上，且 ，直线 ， ， 的斜率均存在，证明：直线 过定点（用 ， 表示）． 3．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 的一条渐近线与直线： 垂直. (1)求 的标准方程； (2)点 为 上一动点，直线 ， 分别交 于不同的两点 ， （均异于点 ），且 ， ，问： 是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 4．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 和点 .点 在 上，且 . (1)求 的方程； (2)若过点 作两条直线与 ，与 相交于 ， 两点， 与 相交于 ， 两点，线段 和 中点 的连线的斜率为 ，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，证明： ， 且 为定值. 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 知识迁移 求轨迹方程的5 种常用方法 1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接 法。 2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹 方程的方法叫做定义法。 3 相关点法: 用动点 M 的坐标 x，y 表示相关点 P 的坐标 (x0、y0) ，然后代入点 P的坐标 (x0、y0) 所 满足的曲线方程，整理化简便得到动点 Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表 示已知，带入已知求未知) 4 参数法: 当动点坐标 x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 x 、y 与某一变数 t 的关系，再消 去参变数 t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 5 交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨 迹方程的方法叫做交轨法。 例2-1．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离， 记动点 的轨迹为 ． (1)求 的方程； (2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ． 轨迹方程的相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算， 需强化训练复习. 设 ,则 ，两边同平方化简得 ，故 . 例2-2．（重庆·高考真题）如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足： （Ⅰ）求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）设d 为点P 到直线l： 的距离，若 ,求 的值. 由双曲线的定义知点 轨迹是以 为焦点，实轴长 的双曲线，因此半焦距 ，实半轴长 ， 从而虚半轴长 ，双曲线方程为 ． 例2-3．（上海·高考真题）点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是 A． B． C． D． 设圆上任一点为 ， 中点为 ，根据中点坐标公式得， ，因为 在圆 上，所以 ，即 ，化为 ，故选A. 1．（全国·统考高考真题）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 ，则点C 的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 2．（江苏·高考真题）已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为( ) A． B． C． D． 3．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 到 的距离比到 的距离大2，点 的轨迹为曲线 . (1)求 的方程； (2)过点 且斜率不为0 的直线与 交于 两点， 与点 关于原点对称，求直线 与 斜率 的比值. 4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知一动圆与圆 外切，与圆 内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线 . (1)求 的标准方程； (2)直线与 交于 ， 两点，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，从下面①②③中选取两个 作为条件，证明另外一个成立：注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分. ① ；② ；③ 是直线与直线 的交点. 5．（陕西·高考真题）如图，设P 是圆 上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为 上一点， 且 . (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点 且斜率为 的直线被C 所截线段的长度. 6．（全国·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 ,在y 轴上截得线段长 为2 . (1)求圆心P 的轨迹方程; (2)若P 点到直线y=x 的距离为 ,求圆P 的方程. 技法03 圆锥曲线中的定点问题 例3．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上． (1)求 的方程； (2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为 定点． 【详解】（1）由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆方程为 . （2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ， 联立方程 ，消去y 得： ， 圆锥曲线的定点问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结 合公式运算，需强化训练复习. 则 ，解得 ， 可得 ， 因为 ，则直线 ， 令 ，解得 ，即 , 同理可得 ， 则 ， 所以线段 的中点是定点 . 1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 两点． (1)求E 的方程； (2)设过点 的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足 ．证明：直线HN 过定点． 2．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线的 距离为 . (1)求抛物线 的方程； (2)过点 任意作互相垂直的两条直线， 分别交曲线 于点A，B 和M，N.设线段 ， 的中点分别 为P，Q，求证：直线 恒过一个定点. 3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ，圆 与 轴正半轴交于点 ，圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设椭圆 上两点 满足直线 与 在 轴上的截距之比为 ，试判断直线 是否过定点，并 说明理由. 技法04 圆锥曲线中的定值问题 例4．（2024 上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 和点 .点 在 上，且 . (1)求 的方程； (2)若过点 作两条直线与 ，与 相交于 ， 两点， 与 相交于 ， 两点，线段 和 中点 的连线的斜率为 ，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，证明： ， 且 为定值. 【详解】（1）设点 ，则 ，因为 ， ， 所以 ， ，所以点 ， 圆锥曲线的定值问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结 合公式运算，需强化训练复习. 代入方程 中，得 ，所以 的方程为 . （2）设点 ， ， ， ， 则直线 的斜率 ， 同理得直线 的斜率 ， 直线 的斜率 ， 直线 的斜率 ， 所以 ， ， 从而得 . 由 消去 得 ， 所以 ， 由 ，得 或 . 设 和 的中点分别为 ， ， 则 ， ， 同理 ， ， 所以 ，即 ， 所以得 . 1．（2024·全国·模拟预测）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交 双曲线 于 两点，且 ． (1)求双曲线 的渐近线方程； (2)当 时，在 轴上求一点 ，使得 为定值． 2．（2024·云南昆明·统考一模）已知 是椭圆 的右焦点，点 在不过原点 的直线上，交 于 ， 两点.当 与 互补时， ， . (1)求 的方程； (2)证明： 为定值. 3．（2023 下·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离 心率为 ． (1)求C 的方程； (2)记C 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上. 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 例5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 左顶点 ，长轴长为4，焦距为 ，直线 交椭圆 于 两点，直线 的斜率之和为 ． (1)证明：直线恒过定点； (2)若在射线 上的点 满足 ，求直线 斜率的取值范围 圆锥曲线的最值、范围问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们 要会结合公式运算，需强化训练复习. （1）方法一：由题知 得 所以椭圆方程为 ． 设 ， ．因为 ， 所以直线斜率存在． 设方程： ．联立 得 ． ，且 ． 所以由 ． 化简整理，得 ． 所以 ，所以 或 （舍去）． 因为直线不经过 ．所以直线方程： ， 所以直线过定点 ． 方法二： 得 所以椭圆方程为 ． 将坐标原点平移至 ，则平移后椭圆方程 ， 平移后直线 ，由 ，得 ， 所以 ，即 ． 因为 ，所以 ，即 ． 由一元二次方程根与系数关系，得 ， 即 ，恒过点 ，从而原直线恒过定 ． （2）设 ，由 得 ， 由一元二次方程根与系数关系，得 ，所以 ， 同理 ．由 ， ， 则 ，则 ， 则 ， 即 ， ①， 所以 ， 将①以及 代入化简，得 ． 因为 ，所以 ， 所以 ． 1．（2023 上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知直线 与抛物线 交 于 两点，且 ． (1)求 ； (2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点， ，求 面积的最小值． 2．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B 是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D 两点． (1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求 的最小值． 3．（2021·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． （1）求 ； （2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值． 4．（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线 的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程; （2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足 ，求直线 斜率的最大值. 5．（2024·湖北·校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，动点M 到点 的距离比到点 的 距离大2，记点M 的轨迹为曲线H. (1)若过点B 的直线交曲线H 于不同的两点，求该直线斜率的取值范围； (2)若点D 为曲线H 上的一个动点，过点D 与曲线H 相切的直线与曲线 交于P，Q 两点，求 面积的最小值. 6．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，在椭圆 上仅存在个点 ，使得 为直角三角形，且 面 积的最大值为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求 的取值范围. 7．（2023 上·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知抛物线 ，顶点为 ，过焦点的 直线交抛物线于 ， 两点． (1)如图1 所示，已知 |，求线段 中点到 轴的距离； (2)设点 是线段 上的动点，顶点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值； (3)如图2 所示，设 为抛物线上的一点，过 作直线 ， 交抛物线于 ， 两点，过 作直线 ， 交抛物线于 ， 两点，且 ， ，设线段MN 与线段 的交点为 ，求直线 斜 率的取值范围．