73 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题

瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题 【专题说明】 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和， 最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ** Expression is faulty **见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ** Expression is faulty **见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形 【知识精讲】 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆有什么关系？ 考虑到Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是 P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由、Q、P 始终共线可得：、M、三点共线， 由Q 为P 中点可得：M=1/2． Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P． 考虑：当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将P 绕点逆时针旋转90°得Q，故Q 点轨迹与P 点轨 迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 考虑P=Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M=，且可得半径MQ=P． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P △ ≌QM． 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=2Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥； 考虑P:Q=2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足:M=2:1． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为2． 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（P:Q 是定值）． 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PQ=∠M； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： P:Q=:M，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 【精典例题】 1、如图，在 中， ， ， ，点是B 的三等分点，半圆与相 切，M，分别是B 与半圆弧上的动点，则M 的最小值和最大值之和是（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【答】B 【详解】 如图，设⊙与相切于点D，连接D，作 垂足为P 交⊙于F， 此时垂线段P 最短，PF 最小值为 ， ∵ ， ， ∴ ∵ ， ∴ ∵点是B 的三等分点， ∴ ， ， ∴ ， ∵⊙与相切于点D， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴M 最小值为 ， 如图，当在B 边上时，M 与B 重合时，M 经过圆心，经过圆心的弦最长， M 最大值 ， , ∴M 长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 2、如图，在矩形纸片BD 中， ， ，点E 是B 的中点，点F 是D 边上的一 个动点，将 沿EF 所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值是 ． B．3 ． D． 【答】D 【详解】 以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点 在线段E 上时， 的长取最小值， 如图所示， 根据折叠可知： ． 在 中， ， ， ， ， 的最小值 ． 故选D． 3、如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2❑ √3 ，△D 与△B 关于对 称，点E、F 分别是边D、B 上的任意一点，且DE＝F，BE、DF 相交于点P，则P 的最小 值为( ) ．1 B．❑ √3 ．3 2 D．2 【答】D 【详解】 连接D，因为∠B＝30°，所以∠BD＝60°， 因为B＝D，所以△BD 是等边三角形， 所以BD＝D 因为DE＝F，∠EDB＝∠FD＝60°， 所以△EDB≌△FD，所以∠EBD＝∠FD， 因为∠FD＋∠BDF＝60°， 所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°， 所以点P 在以为圆心，D 为半径的弧BD 上， 直角△B 中，∠B＝30°，B＝2❑ √3，所以B＝2，＝4， 所以P＝2 当点，P，在一条直线上时，P 有最小值， P 的最小值是－P＝4－2＝2 故选D 4、如图，在矩形BD 中，B=4，D=6，E 是B 边的中点，F 是线段B 上的动点，将ΔEBF 沿 EF 所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D 的最小值是_____． 【答】 【详解】 如图所示点B'在以E 为圆心E 为半径的圆上运动，当D、B'、E 共线时，B'D 的值最小，根 据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB． ∵E 是B 边的中点，B=4，∴E=EB'=2． ∵D=6，∴DE 2 ，∴B'D=2 2． 故答为2 2． 5、如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点， 且满足 ，则线段 长的最小值为________ 【答】2： 【详解】 PB+ PB=90° ∵∠ ∠ PB=90° ∴∠ ∴点P 在以B 为直径的弧上（P 在△B 内） 设以B 为直径的圆心为点，如图 接，交☉于点P，此时的P 最短 B=6 ∵ ， B=3 ∴ B=4 ∵ ∴ P=5-3=2 ∴ 6、如图，点 在半圆 上，半径 ， ，点 在弧 上移动，连接 ， 作 ，垂足为 ，连接 ，点 在移动的过程中， 的最小值是______． 【答】 【详解】 如图，设D 的中点为点E，则 由题意得，点的运动轨迹在以点E 为圆心，E 为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E 交于点，则此时 取得最小值， 连接BD B 为半圆的直径 故答为： ． 7、如图，过抛物线 上一点作 轴的平行线，交抛物线于另一点B，交 轴 于点，已知点的横坐标为 ． （1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标； （2）在B 上任取一点P，连结P，作点关于直线P 的对称点D； ①连结BD，求BD 的最小值； ②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在 轴上方时，求直线PD 的函数表达式． 【答】(1)x=4；B（10，5）．（2）① ．②y=﹣ x+ ． 【详解】 （1）由题意（﹣2，5），对称轴x=﹣ =4， ∵、B 关于对称轴对称， B ∴（10，5）． （2）①如图1 中， 由题意点D 在以为圆心为半径的圆上， ∴当、D、B 共线时，BD 的最小值=B D= ﹣ ． ②如图2 中， 图2 当点D 在对称轴上时，在Rt DE △ 中，D==5，E=4， DE= ∴ =3， ∴点D 的坐标为（4，3）． 设P=PD=x，在Rt PDK △ 中，x2=（4 x ﹣）2+22， x= ∴ ， P ∴（ ，5）， ∴直线PD 的解析式为y=﹣ x+ ．