九下专题08 二次函数中的定值与定点问题（学生版）

专题08 二次函数中的定值与定点问题 类型一、定值问题 例1．已知抛物线 与x 轴交于 和B 两点． (1)求出该抛物线的对称轴(用含的代数式表示)； (2)若 ，对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线 与抛物线交于P，Q 两点(P，Q 都不与，B 重合)，直线P，Q 分别 与y 轴交于点M，，设M，两点的纵坐标分别为m，，求证：m 为定值． 例2 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为 ，直线 ( )分别交抛物线于点 ， (点 在点 的左边)，直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，交抛物线 轴右侧部分于点 ，交 于点 ，且 ． (1)求抛物线及直线 的函数表达式； (2)若 为直线 下方抛物线上的一个动点，连接 ， ，求当 面积最大时， 点 的坐标及 面积的最大值； (3)求 的值． 【变式训练1】已知抛物线 与x 轴的两个交点为，B(点B 在点的右侧)，且 ，与y 轴交点为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若点M 是抛物线位于直线 下方的图象上一个动点，求点M 到直线 的距离的最大 值； (3)设直线 ( )与抛物线交于P，Q 两点(点Ｑ在点P 的右侧)，与直线 交 于点R．试证明：无论k 取任何正数， 恒成立． 【变式训练2】如图1，抛物线 与x 轴交于点、B，与y 轴交于点， (1)直接写出点B 的坐标(_____，_____)和直线B 的解析式_______； (2)点D 是抛物线对称轴上一点，点E 为抛物线上一点，若以B、、D、E 为顶点的四边形 为平行四边形，求点E 的横坐标； (3)如图2，直线 ，直线l 交抛物线于点M、，直线M 交y 轴于点P，直线交y 轴于点 Q，点P、Q 的纵坐标为 、 ，求证： 的值为定值． 【变式训练3】抛物线y＝x2+bx+的顶点坐标为(m，)． (1)若抛物线y＝x2+bx+过原点，m＝2，＝﹣4，求其解析式． (2)如图(1)，在(1)的条件下，直线l：y＝﹣x+4 与抛物线交于、B 两点(在B 的左侧)，M 为线 段B 上的两个点，M＝2 ，在直线l 下方的抛物线上是否存在点P，使得△PM 为等腰直 角三角形？若存在，求出M 点横坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图(2)，抛物线y＝x2+bx+与x 轴负半轴交于点，与y 轴交于点G，P 点在点左侧抛物线 上，Q 点在y 轴右侧抛物线上，直线Q 交y 轴于点F，直线P 交y 轴于点，设直线PQ 解析 式为y＝kx+t，当S△Q＝2S△GQ，试证明 是否为一个定值． 【变式训练4】如图1，已知：抛物线 过点 ，交 轴于点 ， 点 ( 在 左边)，交 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2) 为抛物线上一动点， ，求点 的坐标； (3)如图2， 交抛物线于 两点( 不与 重合)，直线 分别交 轴于点 ，点 ，试求此时 是否为定值？如果是，请求出它的值； 如果不是，请说明理由． 【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴相交于点、 B，与y 轴相交于点，B 点的坐标为(6，0)，点M 为抛物线上的一个动点． (1)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4 时： ①求二次函数的表达式； ②当点M 位于x 轴下方抛物线图象上时，过点M 作x 轴的垂线，交B 于点Q，求线段MQ 的最大值； (2)过点M 作B 的平行线，交抛物线于点，设点M、的横坐标为m、．在点M 运动的过程 中，试问m+的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+的值． 类型二、定点问题 例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点(点 在点 的左侧)，点 关于 轴的对称点为 ． (1)当 时，求 ， 两点的坐标； (2)连接 ， ， ， ，若 的面积与 的面积相等，求 的值； (3)试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练1】如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x+与x 轴交于点( 2 ﹣，0)和B 两点，点(6，4)在抛物 线上． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，D 为y 轴左侧抛物线上一点，且∠D＝2∠B，求点D 的坐标； (3)如图2，直线y＝mx+与抛物线交于点E、F，连接E、F 分别交y 轴于点M、，若M•＝ 3．求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标． 【变式训练2】已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ， 两 点． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图1， 为抛物线 上 ， 之间的动点，过点 作 轴于点 ， 于 点 ，求 的最大值； (3)如图2，平移抛物线 的顶点到原点，得到抛物线 ，直线 交抛物线 于 ， 两点，已知点 ，连接 ， 分别交抛物线 于另一点 ， ，求证：直线 经过一个定点．