88 主从联动模型

中考数学几何模型12：主从联动模型 名师点睛① 当轨迹为直线时 思考1 如图，P 是直线B 上一动点，连接P，取P 中点Q，当点P 在B 上运动时， Q 点轨迹是？ P Q A B C N C B A Q P M 揭秘：将点P 看成主动点，点Q 看成从动点，当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹 也是一条直线． 可以这样理解：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为 P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条 直线，且Q 点运动路径长为P 点运动路径长的一半． 思考2 如图，点为定点，点P、Q 为动点，P=Q，且∠PQ 为定值，当点P 在直线 B 上运动，请探究点Q 的运动轨迹 揭秘：当P 与Q 夹角固定，且P=Q 时，P、Q 轨迹是同一种图形，且 PP1=QQ1． 可以这样理解：易知△PP1 PP ≌△ 1，则∠PP1=QQ1，故可知Q 点轨迹为一条直线 思考3 如图，点为定点，点P 是直线B 上的一动点，以P 为斜边作 Rt PQ △ ，且 P=30° ∠ ，当点P 在直线B 上运动，请探究点Q 的运动轨迹 揭秘：条件P 与Q 夹角固定时，P、Q 轨迹是同一种图形，且有 ． 可以这样理解：由PQ P ∽△ 1Q1，易得△PP1 PP ≌△ 1，则∠PP1=QQ1，故可知Q 点轨迹 为一条直线 总结 条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． 结论： ①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运 动路径长； ④当主动点、从动点到定点的距离不相等时， 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1 如图，在等边△B 中，B=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿E 方向运动，连结 PD，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P 从点E 运动到点时， 轨迹是直 线 点F 运动的路径长是________． A B C D E F P 【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动 到点路径长为8，故此题答为8． 变式练习>>> 1．如图，在平面直角坐标系中，（-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，以B 为 边在B 的下方作等边△BP，点B 在y 轴上运动时，求P 的最小值． P O A B x y 【分析】求P 最小值需先作出P 点轨迹，根据△BP 是等边三角形且B 点在直线上 运动，故可知P 点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B 与点重合时，作出 P 点位置P1；（2）当点B 在x 轴上方且B 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置 P2．连接P1P2，即为P 点轨迹．根据∠BP=60°可知： 与y 轴夹角为60°，作 P⊥ ，所得P 长度即为最小值，P2==3，所以P= ． P2 P1 y x B A O P P2 P1 y x B A O 例题2 如图，正方形BD 的边长为4，E 为B 上一点，且BE=1，F 为B 边上的一个动点，连 接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接G，则G 的最小值为 ． G A B C D E F G2 G1 E D C B A F H G2 G1 E D C B A 【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求G 最小值，可以将 F 点看成是由点B 向点运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也 是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在 位置，最终G 点在 位置 （ 不一定在D 边）， 即为G 点运动轨迹．G 最小值即当G⊥ 的时候取到，作 ⊥ 于点，即为所求的最小值． 根据模型可知： 与B 夹角为60°，故 ⊥ ．过点E 作EF⊥于点F，则 F= =1，F= ，所以= ，因此G 的最小值为 ． 变式练习>>> 2．（2017 秋•江汉区校级月考）如图，△B 是边长为6 的等边三角形，点E 在B 上，点D 为B 的中点，△EDM 为等边三角形．若点E 从点B 运动到点，则M 点所经历的路径长为 6 ． 【解答】解：当点E 在B 时，M 在B 的中点处，当点E 与重合时，M 的位置如图所示， 所以点E 从点B 运动到点，则M 点所经历的路径为M 的长， ∵△B 是等边三角形，D 是B 的中点， ∴D⊥B，∠BD＝30°， ∵B＝6， ∴D＝ ＝3 ， ∵△EDM 是等边三角形， ∴M＝D＝3 ，∠DM＝60°， ∴∠M＝30°+60°＝90°， ∵＝ B＝3， 在Rt△M 中，由勾股定理得：M＝ ＝ ＝6， 则M 点所经历的路径长为6， 故答为：6． 例题3 如图，已知点是第一象限内横坐标为 的一个定点，⊥x 轴于点M，交 直线y=-x 于点，若点P 是线段上的一个动点，∠PB=30°，B⊥P，则点P 在线段上 运动时，点不变，B 点随之运动．求当点P 从点运动到点时，点B 运动的路径长 是________． y x N M P A C B O 【分析】根据∠PB=90°，∠PB=30°可得：P:B= ，故B 点轨迹也是线段，且P 点轨迹路径长与B 点轨迹路径长之比也为 ，P 点轨迹长为 ，故B 点轨迹 长为 ． 变式练习>>> 3．（2019•东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点（0，﹣2），B（﹣1，0），（﹣ 5，0），点D 从点B 出发，沿x 轴负方向运动到点，E 为D 上方一点，若在运动过程中 始终保持△ED～△B，则点E 运动的路径长为 ． 【解答】解：如图，连接E． ∵∠ED＝∠D＝90°， ∴，，E，D 四点共圆， ∴∠E＝∠ED＝定值， ∴点E 在射线E 上运动，∠E 是定值． t ∵∠ED＝t∠B＝ ， ∴可以假设E（﹣2m，m）， 当点D 与重合时，＝ ＝ ， ∵E＝2E， ∴E＝ ＝ ， ∴（﹣2m+5）2+m2＝ ， 解得m＝ 或 （舍弃）， ∴E（﹣ ， ）， ∴点E 的运动轨迹＝E 的长＝ ， 故答为 ． 名师点睛② 当轨迹为弧线时 思考1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点． 当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ A O P Q 揭秘：Q 点轨迹是一个圆，考虑到Q 点始终为P 中点，连接，取中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是P 一半，任意时刻，均有△MQ∽△P， ． Q P O A M 小结：确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由、Q、P 始终共线可得：、M、三点共线， 由Q 为P 中点可得：M=1/2．Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 轨迹是圆 思考2：如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且 Q=P． 当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ O P Q A 揭秘： Q 点轨迹是个圆，可理解为将P 绕点逆时针旋转90°得Q，故Q 点轨迹与P 点轨 迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥；考虑 P=Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M=，且可得半径MQ=P．即可确定圆M 位置，任意时 刻均有△P≌△QM． M A Q P O 思考3：如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°，且P=2Q， 当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ O P Q A 揭秘： 考虑P⊥Q，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足M⊥；考虑P：Q=2：1，可得Q 点轨迹 圆圆心M 满足：M=2：1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为2． O P Q M A 推理： （1）如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，以P 为一边作等边△PQ． 当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是和圆全等的一个圆 （2）如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，以P 为斜边作等腰直角△PQ． 当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹为按P：Q=：M= ：1 的比例缩放的一个圆 总结： 为了便于区分动点P、Q，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量，即： ①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）； ②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（P：Q 是定值）． 结论： （1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PQ=∠M； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：P：Q=：M，也等于两圆 半径之比，也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的 关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原 60° M Q A P O O P A Q M O P Q A O P Q A 理”． 典题探究 启迪思维 探究重点 例题4 如图，点P（3，4），圆P 半径为2，（28，0），B（56，0），点M 是圆P 上的动 点，点是MB 的中点，则的最小值是_______． O y x A B C M P 【分析】M 点为主动点，点为从动点，B 点为定点．考虑是BM 中点，可知点轨迹：取BP 中点，以为圆心，为半径作圆，即为点轨迹．当、、三点共线且点在线段上时，取到最小 值，根据B、P 坐标求，利用两点间距离公式求得，再减去即可．答为 O O y x A B C M P O P M C B A x y O 变式练习>>> 4．如图，在等腰Rt△B 中，=B= ，点P 在以斜边B 为直径的半圆上，M 为P 的中点， 当点P 从点运动至点B 时，点M 运动的路径长为________． A B C M P D E F O A B C M P 【分析】考虑、M、P 共线及M 是P 中点，可确定M 点轨迹：取B 中点，连接取中点D， 以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交、B 于E、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然， 若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决 问题．答为 例题5 如图，正方形BD 中， ，是B 边的中点，点E 是正方形内一动点， E=2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接E、F．求线段F 长的最小值． O A B C D E F 【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足E=2，故E 点轨迹是以为 圆心，2 为半径的圆．考虑DE⊥DF 且DE=DF，故作DM⊥D 且DM=D，F 点轨 迹是以点M 为圆心，2 为半径的圆． 直接连接M，与圆M 交点即为F 点，此时F 最小．可构造三垂直全等求线段长， 再利用勾股定理求得M，减去MF 即可得到F 的最小值．答为 O A B C D E F M O A B C D E F M 变式练习>>> 5．△B 中，B=4，=2，以B 为边在△B 外作正方形BDE，BD、E 交于点，则线段的最大值为 _____________． A B C D E O E D M A B C O O C B A M D E 【分析】考虑到B、均为定值，可以固定其中一个，比如固定B，将看成动线段， 由此引发正方形BED 的变化，求得线段的最大值．根据=2，可得点轨迹是以点为 圆心，2 为半径的圆．接下来题目求的最大值，所以确定点轨迹即可，观察△B 是 等腰直角三角形，锐角顶点的轨迹是以点为圆心，2 为半径的圆，所以点轨迹也 是圆，以B 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点轨迹圆圆心．连接M 并延长与圆M 交点即为所求的点，此时最大，根据B 先求M，再根据B 与B 的比 值可得圆M 的半径与圆半径的比值，得到M，相加即得．答为 ，本题或者直 接利用托勒密定理可得最大值． 名师点睛③ 当轨迹为其他种类时 根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似 性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从 动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是． 典题探究 启迪思维 探究重点 例题6 如图，在反比例函数 的图像上有一个动点，连接并延长交图像的另 一支于点B，在第一象限内有一点，满足=B，当点运动时，点始终在函数 的图像上运动，若t∠B=2，则k 的值为（ ） C B A O y x N M x y O A B C ．2 B．4 ．6 D．8 【分析】∠=90°且：=1：2，显然点的轨迹也是一条双曲线，分别作M、垂直x 轴， 垂足分别为M、，连接，易证△M∽△，∴=2M，=2M，∴·=4M·M，故k=4×2=8． 【思考】若将条件“t∠B=2”改为“△B 是等边三角形”，k 会是多少？ 变式练习>>> 6．（2017•深圳模拟）如图，反比例函数y＝ 的图象上有一动点，连接并延长交图象的 另一支于点B，在第二象限内有一点，满足＝B，当点运动时，点始终在函数y＝ 的图 象上运动，t∠B＝2，则关于x 的方程x2 5 ﹣x+k＝0 的解为 x 1＝﹣ 1 ， x 2＝ 6 ． 【解答】解：连接，过点作E⊥y 轴于点E，过点作F⊥y 轴于点F，如图所示， ∵由直线B 与反比例函数y＝ 的对称性可知、B 点关于点对称，∴＝B． 又∵＝B，∴⊥B． ∵∠E+∠F＝90°，∠F+∠F＝90°， ∴∠E＝∠F， 又∵∠E＝90°，∠F＝90°， ∴△E∽△F，∴ ＝ ＝ ， t ∵∠B＝ ＝2，∴F＝2E，F＝2E． 又∵E•E＝ ，F•F＝|k|，∴k＝±6． ∵点在第二象限，∴k＝﹣6， ∴关于x 的方程x2 5 ﹣x+k＝0 可化为x2 5 ﹣x 6 ﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝6． 故答为：x1＝﹣1，x2＝6． 例题7 如图，（-1,1），B（-1,4），（-5,4），点P 是△B 边上一动点，连接P，以 P 为斜边在P 的右上方作等腰直角△PQ，当点P 在△B 边上运动一周时，点Q 的轨 迹形成的封闭图形面积为________． Q C x y O A B P 【分析】根据△PQ 是等腰直角三角形可得：Q 点运动轨迹与P 点轨迹形状相同， 根据P:Q= ，可得P 点轨迹图形与Q 点轨迹图形相似比为 ，故面积比为 2:1，△B 面积为1/2×3×4=6，故Q 点轨迹形成的封闭图形面积为3． 【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动 点轨迹推导即可，甚至无需作图． 变式练习>>> 7．（2017 春•工业区期末）如图，△B 的面积为9，点P 在△B 的边上运动．作点P 关于原 点的对称点Q，再以PQ 为边作等边△PQM．当点P 在△B 的边上运动一周时，点M 随之 运动所形成的图形面积为（ ） ．3 B．9 ．27 D． 【解答】解：如图， ∵点P 从点出发，沿△B 的边从﹣B﹣﹣运动一周，且点Q 关于原点与点P 对称， ∴点Q 随点P 运动所形成的图形是△B 关于的中心对称图形， 以PQ 为边作等边△PQM，M 点对应的，B，的点分别为M，Mb，M， ∵△MbQbB 是等边三角形， ∴Mb＝ B， 同理M＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠B+∠BM＝90°，∠MMb+∠BM＝90° ∴∠B＝∠MMb， ∴△MMb∽△B， ∴MbM＝ B， 同理，MMb＝ B，MM＝ ， ∴△MMbM∽△B， ∴△MMbM 的面积＝9×（ ）2＝27， 即点M 随点P 运动所形成的图形的面积为27． 故选：． 例题8 如图所示，B=4，=2，以B 为底边向上构造等腰直角三角形BD，连接D 并 延长至点P，使D=PD，则PB 的取值范围为___________． A B C D P E M P D C B A N E A B C D P M 【分析】固定B 不变，=2，则点轨迹是以为圆心，2 为半径的圆，以B 为斜边作 等腰直角三角形BD，则D 点轨迹是以点M 为圆心、 为半径的圆 考虑到P=2D，故P 点轨迹是以为圆心， 为半径的圆，即可求出PB 的取值范 围． 答为 变式练习>>> 8．（2018 秋•新吴区期末）如图已知：正方形B，（2，2），Q（5，7），B⊥y 轴，⊥x 轴，，B 交于点P，若正方形B 以为位似中心在第一象限内放大，点P 随正方形一起运 动，当PQ 达到最小值时停止运动．以PQ 的长为边长，向PQ 的右侧作等边△PQD，求 在这个位似变化过程中，D 点运动的路径长（ ） ．5 B．6 ．2 D．4 【解答】解：如图，连接Q，以Q 为边向下作等边△Q， 连接D，作QE⊥交的延长线于E． ∵△Q，△PQD 都是等边三角形， ∴Q＝Q，QP＝QD，∠Q＝∠PQD＝60°， ∴∠QP＝∠QD， ∴△QP≌△QD（SS）， ∴P＝D， ∴点D 的运动路径的长＝点P 的运动路径的长， ∵直线的解析式为y＝x，Q（5，7），QE⊥， ∴直线EQ 使得解析式为y＝﹣x+12，由 ，解得 ，∴E（6，6）， ∵P（1，1），∴PE＝5 ， 根据垂线段最短可知，当点P 与点E 重合时，PQ 的长最短， ∴点P 的运动路径的长为5 ， ∴点D 的运动路径的长为5 ， 故选：． 例题9 （2019 秋•硚口区期中）如图，一副含30°和45°角的三角板B 和EDF 拼合在一个平 面上，边与EF 重合，B＝4 m．当点E 从点出发沿方向滑动时，点F 同时从点出发沿 射线B 方向滑动，当点E 从点滑动到点时，点D 运动的路径长为 （ 24 12 ﹣ ） m． 【解答】解：∵B＝4 m，∠＝30°，∠DEF＝45°， ∴＝ B＝12m，B＝2B＝8 m，ED＝DF＝ ＝6 m， 当点E 沿方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'⊥于点，作D'M⊥B