九下专题08 二次函数中的定值与定点问题（教师版）

专题08 二次函数中的定值与定点问题 类型一、定值问题 例1．已知抛物线 与x 轴交于 和B 两点． (1)求出该抛物线的对称轴(用含的代数式表示)； (2)若 ，对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线 与抛物线交于P，Q 两点(P，Q 都不与，B 重合)，直线P，Q 分别 与y 轴交于点M，，设M，两点的纵坐标分别为m，，求证：m 为定值． 【答】(1) ；(2)① ；②见解析 【解析】(1)解：∵抛物线 与x 轴交于 ， ， ， 该抛物线的对称轴为 ，即 ． (2) ， ∴ 或 ． 对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ， ∴当 时，y 随x 的增大而增大，∴ ． 又 ， ． 该抛物线的解析式为 ． 该抛物线的解析式为 ． ∵直线 与抛物线交于P，Q 两点， ∴可设 ． ， 设直线P 的解析式为 ， 由题意得 ，解得 ， 直线P 的解析式为 ， 令 ，则 ，∴ ； 同理可得，直线Q 的解析式为 ， ． ∴ ． 联立 ，得 ．∴ ， ． 例2 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为 ，直线 ( )分别交抛物线于点 ， (点 在点 的左边)，直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，交抛物线 轴右侧部分于点 ，交 于点 ，且 ． (1)求抛物线及直线 的函数表达式； (2)若 为直线 下方抛物线上的一个动点，连接 ， ，求当 面积最大时， 点 的坐标及 面积的最大值； (3)求 的值． 【答】(1) ； ；(2)点 的坐标为 时， 面积有最大值为 ；(3)2 【解析】(1)解：∵ ， ， ∵抛物线的对称轴为 ，∴ ，∴ ， ∴抛物线的函数表达式为： ， ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∴直线 的函数表达式为 ． (2)过点 作 轴交 于点 ，如图所示：联立 ，解得 ， ， ∴点 的横坐标为 ，设点 ，则点 ， ∴当 时，即点 的坐标为 时， 面积有最大值为 ． (3)分别过点， ， 作 ， ， 垂直 轴于点 ， ， ， 设点 ， ，则 ， ， 联立 得 ，∴ ， ， 联立 得 ，即 ， ∵ 轴， 轴， 轴，∴ ， ∴ ． 【变式训练1】已知抛物线 与x 轴的两个交点为，B(点B 在点的右侧)，且 ，与y 轴交点为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若点M 是抛物线位于直线 下方的图象上一个动点，求点M 到直线 的距离的最大 值； (3)设直线 ( )与抛物线交于P，Q 两点(点Ｑ在点P 的右侧)，与直线 交 于点R．试证明：无论k 取任何正数， 恒成立． 【答】(1) ；(2) ；(3)见解析 【解析】(1)解：对称轴 又抛物线交x 轴于，B 两点(点B 在点的右侧)，且 ，∴ ， ∴ ，即 ，∴函数表达式为： ； (2)解：设直线 的函数表达式为 ， ∵ ， 在直线 上，∴ ，解得 ， ∴直线 的函数表达式为 ； 法1：如图1，过点M 作 轴于点E，交 于点D， 依题意，设 ，则点 ， 设点M 到 的距离为d， ∵ 轴，∴ ，则 ，即 ， 则 当 时， ． 法2：如图1，过点M 作 轴于点E，交 于点D， 依题意，设，设 ，则点 ，设点M 到 的距离为d，连结 ， ， ， 又 ，则 ，∴ ， 当 时， ． 法3：如图2，过点M 作直线 ， 当直线l 与抛物线只有一个公共点时，点M 到直线 的距离最大． 设直线l 解析式为： ，联立方程 ，得 ， 由 ，得 ，∴此时直线l： ， 则直线l 与y 轴交点 ，∴ ， 又 ，∴ ， 即 ，即 ，∴ ； (3)如图3，设点 ，点 ， 联立方程 ，得 ，则 ， ， 联立方程 ，∴ ， 法1：∴ ， ， ， ∴ ， 又 ， ，∴无论k 取何正数， 成立； 法2：如图4，过P，Q，R 分别作 轴于F， 轴于G， 轴于， 由 ，则 ， 可设 ，则 ， ， ， 则 ， 又 ， 即 ，∴无论k 取何正数， 成立． 【变式训练2】如图1，抛物线 与x 轴交于点、B，与y 轴交于点， (1)直接写出点B 的坐标(_____，_____)和直线B 的解析式_______； (2)点D 是抛物线对称轴上一点，点E 为抛物线上一点，若以B、、D、E 为顶点的四边形 为平行四边形，求点E 的横坐标； (3)如图2，直线 ，直线l 交抛物线于点M、，直线M 交y 轴于点P，直线交y 轴于点 Q，点P、Q 的纵坐标为 、 ，求证： 的值为定值． 【答】(1)4，0， ；(2) 或 或 ；；(3)证明见解析 【解析】(1)解：对抛物线与 来说， 当y＝0 时， ，解得 ， 由图像可知，点B 的横坐标大于0，∴点B 的坐标是(4，0)，点的坐标是( 1 ﹣，0) 当x＝0 时，得y＝﹣2，即点的坐标是(0，﹣2)， 设直线B 的表达式是y＝kx＋b，将B、两点坐标代入，得 解得 ∴直线B 的解析式为 ，故答为：4，0； (2)解：由题意和(1)可知，抛物线的对称轴为 ，设点D 的坐标为( ， )， 当四边形BED 是平行四边形时，B DE 且B＝DE， 则点(0，﹣2)向右平移4 个单位，向上平移2 个单位到点B(4，0)， ∴点D 向右平移4 个单位，向上平移2 个单位到点E，∴点E 坐标是( +4， +2)即( ， +2) ∵点E 在抛物线上，∴ +2＝ ，∴ ＝ ∴点E 坐标是( ， )，即点E 的横坐标是 ； 当四边形BDE 是平行四边形时，B ED 且B＝ED， 则点B(4，0)向左平移4 个单位，向下平移2 个单位到点(0，﹣2)， ∴点D 向左平移4 个单位，向下平移2 个单位到点E，∴点E 坐标是( －4， －2)即(﹣ ， －2) ∵点E 在抛物线上，∴ －2＝ ，∴ ＝ ∴点E 坐标是(﹣ ， )，即点E 的横坐标是﹣ ； 当四边形EBD 是平行四边形时，B 是对角线时，DB E 且DB＝E， 则点D( ， )向左平移 个单位到，向下平移( +2)个单位，到点(0，﹣2)， ∴点B(4，0)向左平移 个单位到，向下平移( +2)个单位，到点E( ， )， ∴点E 的横坐标是 ∵点E 在抛物线上，∴ ＝ ，∴点E 的坐标是( ，﹣ )即点E 的横坐标是 ； 综上所述，点E 的横坐标是 或 或 ； (3)解：由(1)知，直线B 的解析式为 ，点的坐标是( 1 ﹣，0) 设直线l 的表达式为 ，联立得方程组 得 设点M 的坐标是( ， )，点的坐标是( ， ) 由一元二次方程根与系数关系得 ＋ ＝4， ＝﹣4 ， ∵点M、在直线l 上，∴ ， 设直线M 的解析式为 ， 把点、点M 坐标坐标代入，并联立得 ，解得 即直线M 的表达式y＝ x+ ，令x＝0，得y＝ ，即 ＝ 同理，设直线的解析式为 ，把点、点坐标坐标代入，并联立得 得 ，即直线即直线的表达式y＝ x+ 令x＝0，得y＝ ，即 ＝ 故 ＋ ＝ ＋ ＝ ∵ ＋ ＝4， ＝﹣4 ， ∴ ＋ ＝ ，即 ＋ ＝-2，∴ ＋ 为定值． 【变式训练3】抛物线y＝x2+bx+的顶点坐标为(m，)． (1)若抛物线y＝x2+bx+过原点，m＝2，＝﹣4，求其解析式． (2)如图(1)，在(1)的条件下，直线l：y＝﹣x+4 与抛物线交于、B 两点(在B 的左侧)，M 为线 段B 上的两个点，M＝2 ，在直线l 下方的抛物线上是否存在点P，使得△PM 为等腰直 角三角形？若存在，求出M 点横坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图(2)，抛物线y＝x2+bx+与x 轴负半轴交于点，与y 轴交于点G，P 点在点左侧抛物线 上，Q 点在y 轴右侧抛物线上，直线Q 交y 轴于点F，直线P 交y 轴于点，设直线PQ 解析 式为y＝kx+t，当S△Q＝2S△GQ，试证明 是否为一个定值． 【答】(1) ；(2) ， ，2,0；(3)见解析 【详解】(1)根据题意，设 ，将 代入，即 ，解得 抛物线的解析式 (2)由y＝﹣x+4，令 ，则 ，令 ，则 设 与 轴交于点 ,则 ， 是等腰直角三角形，则 ①当 ，则 ,设 ，则 ， ，则 ， 在线段 上， ，即 又 点在 上，即 ，解得 (舍) 此时 点与 点重合， 点与 点重合，如图， 则 , ②当 ，同理 , 设 ，则 ，其中 又 点在 上，即 ，解得 (舍) 则此时 点与 点重合， 点与 点重合，如图， 则 ③当 时，如图， 由 ，解得 ， ， 是等腰直角三角形， , 轴 设 ，则 ，其中 又 点在 上，即 ，解得 的横坐标为 ， ，综上所述 的横坐标为 ， ，2,0 (3)设直线P： y＝mx+，则 ，直线 ，则 ，直线 的解析式为 由y＝x2+bx+，令 ，则 ，即 ， 即 ， ， ，即 联立抛物线y＝x2+bx+， ，即： 则 ， ， 同理可得： ， ， + = ， ， ，同理可得： ，即 ， ， 【变式训练4】如图1，已知：抛物线 过点 ，交 轴于点 ， 点 ( 在 左边)，交 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2) 为抛物线上一动点， ，求点 的坐标； (3)如图2， 交抛物线于 两点( 不与 重合)，直线 分别交 轴于点 ，点 ，试求此时 是否为定值？如果是，请求出它的值； 如果不是，请说明理由． 【答】(1) ；(2)不存在点D；(3)是，7 【详解】(1)将 代入 ，得 (2)取 作 轴于， ， 在 和 中， ，∴ ， ，∴ ， ， ， ∴ ，∴ ， 而 ， ，∴ ，∴ ∵ ，∴ 重合，∴此时 不存在，∴ 无解； (3) ，设 ， ， ， ，∴ ： ，同理： ： ∴ 【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴相交于点、 B，与y 轴相交于点，B 点的坐标为(6，0)，点M 为抛物线上的一个动点． (1)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4 时： ①求二次函数的表达式； ②当点M 位于x 轴下方抛物线图象上时，过点M 作x 轴的垂线，交B 于点Q，求线段MQ 的最大值； (2)过点M 作B 的平行线，交抛物线于点，设点M、的横坐标为m、．在点M 运动的过程 中，试问m+的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+的值． 【答】(1)①y＝x2﹣8x+12；②线段MQ 的最大值为9．(2)m+的值为定值．m+＝6． 【详解】(1)①由题意 ，解得 ，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣ 8x+12． ②如图1 中，设M(m，m2﹣8m+12)， ∵B(6，0)，(0，12)，∴直线B 的解析式为y＝﹣2x+12， ∵MQ⊥x 轴， ∴Q(m，﹣2m+12)， ∴QM＝﹣2m+12 ( ﹣m2﹣8m+12)＝﹣m2+6m＝﹣(m﹣3)2+9， ∵﹣1＜0，∴m＝3 时，QM 有最大值，最大值为9． (2)结论：m+的值为定值．理由：如图2 中， 将B(6，0)代入二次函数解析式中，得 ，解得： ∴二次函数解析式为 ∴(0，﹣36﹣6b)， 设直线B 的解析式为y＝kx﹣36﹣6b， 把(6，0)代入得到：k＝6+b， ∴直线B 的解析式为y＝(6+b)x﹣36﹣6b， ∵M∥B， ∴可以假设直线M 的解析式为y＝(6+b)x+b′， 由 ，消去y 得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，∴x1+x2＝6， ∵点M、的横坐标为m、，∴m+＝6．∴m+为定值，m+＝6． 类型二、定点问题 例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点(点 在点 的左侧)，点 关于 轴的对称点为 ． (1)当 时，求 ， 两点的坐标； (2)连接 ， ， ， ，若 的面积与 的面积相等，求 的值； (3)试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；(2) 或 ；(3)是， 【解析】(1)根据题意，得 ， 整理得到 ，解方程，得 ， 当x=-3 时，y=-9；当x=1 时，y= -1； ∵点 在点 的左侧，∴点 的坐标为(-3，-9)，点 的坐标为(1，-1)． (2)∵，B 是抛物线 图像上的点，设(m， )，B(， )，则 (-， )， 当k＞0 时， 根据题意，得 ，整理得到 ，∴m，是 的两个根， ∴ ， 设直线y=kx-3 与y 轴的交点为D，则点D(0，-3) ∴ ， ， ∴ = = ，∴3= = ，∴ ， ≠0 ∵ ，∴ ， ，∴ ， 解得k= 或k= - (舍去)，故k= ；当k＜0 时， 根据题意，得 ，整理得到 ，∴m，是 的两个根， ∴ ，设直线y=kx-3 与y 轴的交点为D，则点D(0，-3) ∴ ， ， ∴ = = ，∴3= =- ，∴- ， ≠0 ∵ ，∴ ， ，∴ ，解得k=- 或k= (舍去)， 故k=- ； 综上所述，k 的值为 或 ． (3)直线 一定过定点(0，3)．理由如下： ∵，B 是抛物线 图像上的点， ∴设(m， )，B(， )，则 (-， )， 根据题意，得 ，整理得到 ，∴m，是 的两个根， ∴ ， 设直线 的解析式为y=px+q，根据题意，得 ，解得 ， ∴直线 的解析式为y=(-m)x-m， ∵m=-3，∴-m=3，∴直线 的解析式为y=(-m)x+3， 故直线 一定过定点(0，3)． 【变式训练1】如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x+与x 轴交于点( 2 ﹣，0)和B 两点，点(6，4)在抛物 线上． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，D 为y 轴左侧抛物线上一点，且∠D＝2∠B，求点D 的坐标； (3)如图2，直线y＝mx+与抛物线交于点E、F，连接E、F 分别交y 轴于点M、，若M•＝ 3．求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标． 【答】(1)y＝ x2﹣ x﹣2；(2)(﹣6，10)；(3)见解析，定点坐标为( ，﹣ ) 【详解】解：(1)将点、的坐标代入抛物线表达式，得 ，解得 ， ∴抛物线的表达式为y＝ x2﹣ x﹣2； (2)延长D 交x 轴于点M， ∠ ∵ D＝2∠B，∴∠B＝∠M，∴＝M， 过点作Q⊥M 于点Q，则QM＝Q＝8，∴点M 坐标为(14，0)， 设直线DM 的解析式为 ，将 ， 代入得 ，解得 直线DM 的解析式为：y＝ x+7， 令y＝ x+7＝ x2﹣ x﹣2；解得x＝﹣6 或6，x＝﹣6，y＝ ×(﹣6)+7＝10， ∴点D 坐标为(﹣6，10)； (3)设直线E 的表达式为y＝kx+b，将点 代入，解得b＝4﹣6k， 故直线E 解析式为：y＝kx﹣6k+4，则点M(0，﹣6k+4)， x2﹣ x﹣2＝kx﹣6k+4，整理得 x2 ( ﹣ +k)x+6k﹣6＝0， ∴x+xE＝2+4k，∴xE＝4k﹣4 ①， 同理设直线F 的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点(0，﹣6t+4)，即xF＝4t﹣4 ②， 由 x2﹣ x﹣2＝mx+，整理得 x2 ( ﹣ +m)x﹣2﹣＝0， ∴xE+xF＝4m+2③，xE•xF＝﹣8﹣4④， 将①②代入③④，得 ， 又M•＝3，∴(﹣6k+4)(6t﹣4)＝﹣36kt+24(k+t)﹣16＝3， ∴＝ m﹣ ， ∴y＝mx+＝mx+ m﹣ ＝m(x+ )﹣ ， 当x＝ 时，y＝﹣ ，∴直线EF 经过定点且定点坐标为( ，﹣ )． 【变式训练2】已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ， 两 点． (1)求抛物线 的解析式； (2)如图1， 为抛物线 上 ， 之间的动点，过点 作 轴于点 ， 于 点 ，求 的最大值； (3)如图2，平移抛物线 的顶点到原点，得到抛物线 ，直线 交抛物线 于 ， 两点，已知点 ，连接 ， 分别交抛物线 于另一点 ， ，求证：直线 经过一个定点． 【答】(1) ；(2) ；(3)见解析 【详解】解：(1)由题意得： ，解得 ，∴抛物线的表达式为： ； (2)设直线 交 于点 ，如图1， 由点 的坐标知，直线 的表达式为： ， 设 ( )，则 ，则 ，E(t，0)， ∴ ，E=∣t∣，EG= ∣t∣，∴ ∣t∣， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴当 时， 有最大值，最 大值为 ； (3)如图2，∵平移抛物线 的顶点到原点，得到抛物线 ，∴ ， 设 ，联立 得， ，∴ ，∴ ， 同理可设 ，可得 ，联立 得： ，， ∴ ，∴ ，∴ ， 设直线 ，联立 得 ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， 直线 ，当 时， ， ∴直线 过定点 ．