等角存在性问题 一、方法突破 除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型， 根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键． 回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； 轴的另一个交点 为，顶点为D，连结D． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P 为该抛物线上一动点（与点B、不重合），设点P 的横坐标为t．该抛物线上是 否存在点P，使得∠PB=∠BD？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理 由． O P A B C D x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）①当点P 在直线B 上方时，如图， 过点B 作D 的平行线，与抛物线交点即为P ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时， 抛物线上是否存在点F ，使得 CBF DQM   ？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在， 请说明理由． 解：（1）设抛物线的表达式为 1 2 ( )( ) y a x x x x    ， 即 2 2 ( 1)( 4) ( 3 4)

面积等量问题的存在性 方法点拨 面积转化 例题演练 1．抛物线y＝﹣ x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，连接B． （1）如图1，求直线B 的表达式； （2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接P，PB，当△PB 面积最大 时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点处，最后到达线段B 在整个运动过程中经过的最短路径的长； （3）如图2，在（2）的条件下，当△PB 面积最大时，把抛物线y＝﹣ x+3 向 右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△EB 的面积等于△PB 的面积．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣ x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点， ∴令x＝0， ∴y＝3， ∴（0，3）， 令y＝0， 2．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，点M 为 抛物线的顶点． （1）求，B 两点的坐标； （2）是否存在以BM 为斜边的Rt△BM 的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如 果不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接P 交线段BM 于Q 点，且S△BPQ＝ S△MQ，请写出点P 的坐标． 【解答】解：（

矩形的存在性问题 一、方法突破 矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形． 【题型分析】 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比 起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3 个等式： （为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3 个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3 个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2 个动点，多则可以有3 个． 题型如下： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点； （2）1 个定点+3 个半动点． 【解析思路】 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4 个点中任取3 个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3 个点构造直角三角形，再确定第4 个点．对“2 定+1 半动+1 全动”尤其适用． D3 D1 D2 C2 x O y B A C4 x O y B A C3 x O y B A A B y O x C1 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此． 思路2：先平行，再矩形 当为对角线时，、B、、D 满足以下3 个等式，则为矩形： 其中第1、2 个式子是平行四边形的要求，再加上式3

菱形的存在性问题 一、方法突破 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个 “对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形BD 是菱形， 则其4 个点坐标需满足： 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3 个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3 个未知量，与矩形相同． 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2 个动点，多则有3 个动点，可细分如下两大类 题型： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点 （2）1 个定点+3 个半动点 解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“+=B+D”（、BD 为对角线），再结合一组 为对角线），再结合一组 邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4 个点中任取3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先 确定第3 个点，再确定第4 个点． 1．看个例子： 如图，在坐标系中，点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点在x 轴上，点D 在平面中，求 D 点坐标，使得以、B、、D 为顶点的四边形是菱形． O y x A B 思路1：先平四，再菱形

面积的存在性问题解题策略 专题攻略 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类： 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 例题解析 例❶ 如图1-1，矩形BD 的顶点在y 轴右侧沿抛物线y＝x2 －6x＋10 滑动，在滑动过程中D//x 轴，D＝1，B 在D 的下方． 当点D 在y 轴上时，B 图1-3 例❷ 如图2-1，二次函数y＝(x＋m)2＋k 的图象与x 轴交于、B 两点，顶点M 的坐标为 (1,－4)，M 与y 轴相交于点，在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BM，如存在，求出 点P 的坐标． 图2-1 【解析】△BM 是确定的，△PBM 与三角形BM 有公共边BM，根据“同底等高的三角 形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点画BM 个单位长度；同时点Q 从点出发，沿B 方向匀速移动，速度为每秒1 个单位长度；当△PM 停止运动时，点Q 也停止运动，如图4-2，设移动时间为t 秒（0＜t＜ 4）．是否存在某一时刻t，使S△QM∶S 四边形BQP＝1∶4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说 明理由． 图4-1 图4-2 【解析】两步转化，问题就解决了．△QM 与△QP 是同底等高的三角形，△QP

正方形的存在性问题 一、方法突破 作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性 问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下： （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 从未知量的角度来说，正方形可以有4 个“未知量”，因其点坐标满足4 个）垂直（1 个）且相等（1 个）． 比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如 果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个 数，可能无解． 从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为： （1）2 个定点+2 个全动点； （2）1 个定点+2 个半动点+1 个全动点; 甚至可以有：（3）4 个半动点． 不管是哪一种类 个点，再求第 4 个点． 总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4 个动点，则考虑从 矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系． 正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主． 例：在平面直角坐标系中，（1,1），B（4,3），在平面中求、D 使得以、B、、D 为顶点 的四边形是正方形． O y x A B

四边形的存在性问题 例题精讲 【例1】 如图1，四边形 中， ， ， ， ，点 从点 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点 运动，同时，点 从点 出发，以每秒1 个 单位长度的速度向点 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过 点 作 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．设运动时间为秒． （1） ， ．（用含的代数式表示） （2）当四边形 （3）如图2，将 沿 翻折，得 ，是否存在某时刻， ①使四边形 为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 ②使四边形 为正方形，则 ． 【解答】解：（1）如图1． ， ． 在直角梯形 中， ， ， 于点 ， 四边形 为矩形， ， ； 故答为： ， ． （2） 四边形 为平行四边形时， ， ， 解得： ， （3）①存在时刻 ，使四边形 为菱形． 理由如下： 、 外角 的平分线于点 、 ． （1）猜想与证明，试猜想线段 与 的关系，并说明理由． （2）连接 、 ．问：当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？ 并说明理由． （3）若 边上存在一点 ，使四边形 是正方形，猜想 的形状并证明你的结 论． 【解答】（1）证明： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，当 在 的中点时，四边形

反比例函数中的特殊图形存在性问题 1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （m≠0）的图象交于第 二、四象限、B 两点，过点作D⊥x 轴于D，D＝4，s∠D＝ ，且点B 的坐标为（，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E 是y 轴上一点，且△E 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐标． 【分析】（1）由垂直的定义及锐 （x＞0）的图象交于点P（m，4），与x 轴交于点 （﹣3，0），与y 轴交于点，PB⊥x 轴于点B，且＝B． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存 在，说明理由． 【分析】（1）先根据题意得出P 点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y＝ 即可得出k 的值，再将、 P 两点的坐标代入y＝x+b 5、如图，正比例函数y＝2x 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于、B 两点，过点作垂直x 轴于点，连结 B．若△B 的面积为2． （1）求k 的值； （2）x 轴上是否存在一点D，使△BD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理 由． 【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知、B 两点关于原点对称，则为线段B 的中点，故△B 的面积等于△的面积，都等于1，然后由反比例函数y＝

二次函数背景下的相似三角形的存在性 二次函数背景下的相似三角形考点分析： 1 先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2 简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式； 3 复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标， 继而用待定系数法求函数解析式； 4 还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5 已知在平面直角坐标系 中，拋物线 经 过点 、 ，顶点为点 ． （1）求抛物线的表达式及顶点 的坐标； （2）联结 ，试判断 与 是否相似，并证明你的结论； （3）抛物线上是否存在点 ，使得 ．如果存在，请求出点 的坐标；如果 不存在，请说明理由． 【小问1 详解】解：抛物线经过点 ， ， ， 设抛物线解析式为： ， 将点代入可得： ， 解得： ， ∴ ， ∴顶点坐标为： ； 【小问2 详解】解：如图所示： 详解】解：如图所示： 为直角三角形且三边长分别为： ， ， ， 的三边长分别为： ， ， ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， ∵ ， ∴△AOC △DCB； 【小问3 详解】解：设存在点P 使 ，作线段的中垂线交于点E，交P 于点F， 连接F，如（2）中图： ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ，即 解得： ， 设 ， ∴ ， ， ∴

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 二次函数与特殊图形的存在性问题 【真题再现】 1．（2020 年盐城第25 题）若二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴有两个交点M（x1，0）， （x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点（0，2）．过点的直线l 与x 轴交于点，与该函数的 图象交于点B（异于点）．满足△是等腰直角三角形，记△M 的面积为S1，△BM 的面积 为S2，且S2¿ 5 轴交于、D 两点，其 中k＜0． （1）求、B 两点的横坐标； （2）若△B 是以为腰的等腰三角形，求k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E，是否存在实数k，使得∠D＝2∠BE，若存 在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x 1 ﹣）2+2＝kx﹣k+2，即可求解； （2）分＝B、＝B 两种情况，求解即可； （3 ）求出m 2+1=❑ √5， ①当＝B 时， 即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）； ②当＝B 时， 4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1 或﹣3； 故k 的值为：﹣1 或﹣2 或﹣3； （3）存在，理由： ①当点B 在x 轴上方时， 过点B 作B⊥E 于点，将△B 的图形放大见右侧图形， 过点作∠B 的角平分线交B 于点M，过点M 作M⊥B 于点，过点B 作BK⊥x 轴于点K， 图中