36 几何模型矩形的存在性问题

矩形的存在性问题 一、方法突破 矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形． 【题型分析】 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比 起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3 个等式： （为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3 个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3 个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2 个动点，多则可以有3 个． 题型如下： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点； （2）1 个定点+3 个半动点． 【解析思路】 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4 个点中任取3 个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3 个点构造直角三角形，再确定第4 个点．对“2 定+1 半动+1 全动”尤其适用． 引例：已知（1，1）、B（4，2），点在x 轴上，点D 在平面中，且以、B、、D 为顶点的 四边形是矩形，求D 点坐标． B A O y x 【分析】 点满足以、B、为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点有 、 、 、 在点的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标． C1 C2 C4 A B y O x C3 D4 D3 D1 D2 C2 x O y B A C4 x O y B A C3 x O y B A A B y O x C1 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此． 思路2：先平行，再矩形 当为对角线时，、B、、D 满足以下3 个等式，则为矩形： 其中第1、2 个式子是平行四边形的要求，再加上式3 可为矩形．表示出点坐标后，代入点 坐标解方程即可． 无论是“2 定1 半1 全”还是“1 定3 半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的 都是三元一次方程组． 引例：已知（1，1）、B（4，2），点在x 轴上，点D 在坐标系中，且以、B、、D 为顶点 的四边形是矩形，求D 点坐标． B A O y x 【分析】 设点坐标为（，0），D 点坐标为（b，），又（1，1）、B（4，2）． 先考虑平行四边形存在性： （1）B 为对角线时， ，满足此条件的、D 使得以、B、、D 为顶点的四边形是 平行四边形，另外B=D，得： ， 综合以上可解： 或 ．故（3，0）、D（2，3）或（2，0）、D（3， 3）． （2）为对角线时， ，另外=BD，得 ， 综合以上可解得： ．故 、D ． （3）D 为对角线时， ，另外D=B，得 ， 综合以上可解得： ．故 、D ． 【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事． 二、典例精析 例一：如图，抛物线 与 轴交于点（-1，0），点B（-3，0），且B=． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上两点M，，点M 的横坐标为m，点的横坐标为m+4．点D 是抛物线上M、 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交M 于点E． ①求DE 的最大值； ②点D 关于点E 的对称点为F，当m 为何值时，四边形MDF 为矩形． y x C B A O 【分析】 （1）抛物线： ； （2）①像DE 这样的线段的最大值，就是当D 点在M 水平位置的中点处时最大，假如我 们知道这个结论的话． 如果不知道，就只能一步步算了， 由题意可知：M 、 ， 点斜式求直线M： 直线M： ， 整理得： 设D 点坐标为 ，则E 点坐标为 ， 故当d=m+2 时，DE 取到最大值为4． ②若四边形MDF 是矩形，根据对角线互相平分，则E 点必为M 中点， 故E 点横坐标为m+2，则D 点横坐标也为m+2， 且由①可知，此时DE=4， 又矩形对角线相等，因此只要满足M=8，则有矩形MDF． 解得： ， ． 故当m 的值为 或 时，四边形MDF 是矩形． 考虑到第①问中已经得到了DE=4，故本题优先考虑利用对角线相等求解， 事实上，构造三垂直使△MD 是直角三角形，也可以解决问题． 构造△MED∽△DF， 4m+20 -4m-12 2 2 E F M N D ，即 ， 同样可解得： ， ． 例二：如图，直线y=x-3 与坐标轴交于、B 两点，抛物线 经过点B，与直 线y=x-3 交于点E（8，5），且与x 轴交于，D 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，为顶点的四边 形是矩形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 y x O E D C B A A B C D E O x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）B、为定点，P 在抛物线上，Q 在平面中，即为“2 定+1 半动+1 全动”类型． 先确定P 点使得由P、B、构成的三角形为直角三角形， 设P 点坐标为 ， ①当∠PB=90°时，构造三垂直相似：△PEB∽△BF E F P A B C D E O x y ， ， ， ， 由相似可知： ，即 ， 解得： ， （舍），代入得P 点坐标为（-4，5）， 根据点的平移可知对应的Q 点坐标为（2，8）． ②当∠PB=90°时，同理可构造相似： ，解得： ， （舍） 代入得P 点坐标为（-10，32），根据点的平移可知对应的Q 点坐标为（-16，29）． 另外以B 为直径作圆，与抛物线并无交点，故不存在以P 点为直角顶点的情况． 综上所述，Q 点坐标为（2，8）或（-16，29）． 三、中考真题对决 1．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ． （1）若 ，求抛物线对应的函数表达式； （3）设直线 与抛物线交于 ， 两点，问是否存在点 （在抛物线上），点 （在抛物线的对称轴上），使得以 ， ， ， 为顶点的四边形成为矩形？若存在， 求出点 ， 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1） 的坐标为 ， ， ， ， 的坐标为 ， 将点 代入抛物线 ， 得 ，即 ， 抛物线对应的函数表达式为 ； （3）存在，理由如下： 直线 与抛物线交于 ， 直线 的解析式为 ①， 抛物线的表达式为 ②， 联立①②解得， 或 ， 的坐标为 ， 抛物线 的对称轴为直线 ， 点 的横坐标为 ， ①若 为边， 不妨设 在 轴上方，如图，过点 作 轴于 ， 设 的坐标为 ， ， ， ， ， 解得： 或 （舍， 的坐标为 ， 由平移性质， 得： 的横坐标向左平移 个单位得到 的横坐标， 且 ， 横坐标向左平移 个单位， 得：到 的横坐标为 ， ， 解得 ， ， ， 这说明 不在 轴上方，而在 轴下方； ②若 为对角线， 设 的中点为 ， 由中点坐标公式得 ， ， 的坐标为 ， ， 矩形对角线 、 互相平分， 也是 的中点， 的横坐标为 ， 的坐标为 ， ， ， ， ， 整理得： ， 变形得： ， 换元，令 ， 得： ， 解得： 或25， 或25， ， ， 即 的坐标为 ， 的坐标为 ， 综上，即 的坐标为 ， 的坐标为 或 ， ． 2．（2021•齐齐哈尔）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交 于点 ，连接 ， ，对称轴为直线 ，点 为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （4）点 在抛物线对称轴上，平面内存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形 为矩形，请直接写出点 的坐标． 解：（1） ， ， 又 对称轴为 ， ， 将 ， 代入解析式得： ， 解得 ， ； （4）设 ， ， 由（1）知 ， ， 若 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ， 解得： ， 又 ， ， 即： ， 解得 或 ， 或 ， 或 ， 若 为矩形得对角线， 由中点坐标公式得 ， 解得 ， 又 ， ， 即： ， 解得 ， ， 若 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得 ， 解得： ， 又 ， ， 即： ， 解得 ， ， 综上，点 的坐标为 或 ，或 或 ． 3．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 4 y ax bx    交x 轴于 ( 1,0) A  、 (4,0) B 两点，交y 轴于点C ． （1）求该抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，将抛物线 2 4 y ax bx    向右平移经过点1 (2 ，0) 时，得到新抛物 线 2 1 1 1 y a x b x c    ，点E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F ，使得 以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在， 请说明理由． 参考：若点 1 1 ( P x ， 1) y 、 2 2 ( P x ， 2) y ，则线段 1 2 PP 的中点 0 P 的坐标为 1 2 ( 2 x x  ， 1 2 ) 2 y y  ． 解：（1）由题意得： 4 0 16 4 4 0 a b a b          ，解得 1 3 a b     ， 故抛物线的表达式为 2 3 4 y x x    ； （3）存在，理由： 将抛物线 2 4 y ax bx    向右平移经过点1 (2 ，0) 时，即点A 过改点，即抛物线向右平移了 1 3 1 2 2  个单位， 则函数的对称轴也平移了3 2 个单位，即平移后的抛物线的对称轴为3 3 3 2 2  ，故设点E 的 坐标为(3, ) m ， 设点 ( , ) F s t ， ①当AP 是边时， 则点A 向右平移3 个单位向下平移6 个单位得到点P ， 同样点F （E）向右平移3 个单位向下平移6 个单位得到点 ( ) E F 且 ( ) AE PF AF PE   ， 则 2 2 2 2 3 3 6 4 ( 2) ( 6) s t m m s t              或 2 2 2 2 3 3 6 ( 1) (3 2) ( 6) s t m s t m               ， 解得 11 2 0 1 2 m s t         或 2 6 4 m s t       ， 故点F 的坐标为 1 (0, ) 2 或(6, 4)  ； ②当AP 是对角线时， 由中点坐标公式和AP EF  得： 2 2 2 2 2 1 3 6 0 (2 1) ( 6) ( 3) ( ) s m t s t m                 ， 解得 2 5 3 3 5 s t m          或 2 5 3 3 5 s t m          ， 故点F 的坐标为( 2, 3 5)    或( 2, 5 3)   ； 综上，点F 的坐标为 1 (0, ) 2 或(6, 4)  或( 2, 3 5)    或( 2, 5 3)   ． 4．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 y x bx c    交x 轴于点A 和 (1,0) C ，交y 轴于点 (0,3) B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ． （1）求抛物线的解析式； （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ， N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）把 (1,0) C ， (0,3) B 代入 2 y x bx c    中， 得： 1 0 3 b c c        ， 2 b   ， 3 c ， 2 2 3 y x x     ， （3）存在， ( 3,0) A   ， (0,3) B ， 设 2 ( , 2 3) N n n n    ， 则 2 18 AB  ， 2 2 2 2 ( 2 3) ( 3) AN n n n      ， 2 2 2 2 ( 2 ) BN n n n    ， ABMN  构成的四边形是矩形， ABN  是直角三角形， 若AB 是斜边，则 2 2 2 AB AN BN   ， 即 2 2 2 2 2 2 18 ( 2 3) ( 3) ( 2 ) n n n n n n         ， 解得： 1 1 5 2 n    ， 2 1 5 2 n    ， N  的横坐标为1 5 2   或1 5 2   ， 若AN 是斜边，则 2 2 2 AN AB BN   ， 即 2 2 2 2 2 2 ( 2 3) ( 3) 18 ( 2 ) n n n n n n         ， 解得 0 n （与点B 重合，舍去）或 1 n  ， N  的横坐标是1  ， 若BN 是斜边，则 2 2 2 BN AB AN   ， 即 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 18 ( 2 3) ( 3) n n n n n n         ， 解得 0 n （与点B 重合，舍去）或 2 n ， N  的横坐标为2， 综上N 的横坐标为1 5 2   ，1 5 2   ，1  ，2． 5．（2021•嘉峪关）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1 2 y x bx c    与坐标轴交于 (0, 2) A  ， (4,0) B 两点，直线 : 2 8 BC y x   交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上 一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为G ，DG 分别交直线BC ，AB 于点E ，F ． （1）求抛物线 2 1 2 y x bx c    的表达式； （3）①H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标； 解：（1）抛物线 2 1 2 y x bx c    过 (0, 2) A  ， (4,0) B 两点，  2 8 4 0 c b c       , 解得 3 2 2 b c      , 2 1 3 2 2 2 y x x     ． (3) ①如图1 中，过点H 作HM EF  于M , 四边形BEHF 是矩形， / / EH BF  , EH BF  , HEF BFE   , 90 EMH FGB      , ( ) EMH FGB AAS   , MH GB   , EM FG  , HM OG   , 1 2 2 OG GB OB    , (0, 2) A   , (4,0) B , 直线AB 的解析式为 1 2 2 y x   , 设 ( , 2 8) E a a   , 1 ( , 2) 2 F a a  , 由MH BG  得到， 0 4 a a   , 2 a  , (2,4) E  , (2, 1) F  , 1 FG  , EM FG   , 4 1 H y  , 1 H y  , (0,3) H  ．