66 比例函数中的特殊图形存在性问题

反比例函数中的特殊图形存在性问题 1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （m≠0）的图象交于第 二、四象限、B 两点，过点作D⊥x 轴于D，D＝4，s∠D＝ ，且点B 的坐标为（，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E 是y 轴上一点，且△E 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐标． 【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出的长，利用勾股定理求出D 的长，确定出坐标， 进而求出m 的值确定出反比例解析式，把B 的坐标代入反比例解析式求出的值，确定出B 坐标，利用 待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分类讨论：当为等腰三角形腰与底时，求出点E 坐标即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b 与反比例函数y＝ 图象交于与B，且D⊥x 轴， ∴∠D＝90°， 在Rt△D 中，D＝4，s∠D＝ ， ∴ ＝ ，即＝5， 根据勾股定理得：D＝ ＝3， ∴（﹣3，4）， 代入反比例解析式得：m＝﹣12，即y＝﹣ ， 把B 坐标代入得：＝6，即B（6，﹣2）， 代入一次函数解析式得： ， 解得： ，即y＝﹣ x+2； （2）当E3＝E2＝＝5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）； 当＝E1＝5 时，得到E1＝2D＝8，即E1（0，8）； 当E4＝E4时，由（﹣3，4），（0，0），得到直线解析式为y＝﹣ x，中点坐标为（﹣15，2）， ∴垂直平分线方程为y 2 ﹣＝ （x+ ）， 令x＝0，得到y＝ ，即E4（0， ）， 综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0， ）时，△E 是等腰三角形． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 2、如图，在平面直角坐标系xy 中，一次函数y＝x+b 的图象经过点（﹣2，0），与反比例函数y＝ （x＞ 0）的图象交于B（，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）设M 是直线B 上一点，过M 作M∥x 轴，交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点，若，，M，为 顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标． 【分析】（1）根据一次函数y＝x+b 的图象经过点（﹣2，0），可以求得b 的值，从而可以解答本题； （2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M 的坐标，注意点M 的横坐标大于0． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b 的图象经过点（﹣2，0）， 0 ∴＝﹣2+b，得b＝2， ∴一次函数的解析式为y＝x+2， ∵一次函数的解析式为y＝x+2 与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于B（，4）， 4 ∴＝+2，得＝2， 4 ∴＝ ，得k＝8， 即反比例函数解析式为：y＝ （x＞0）； （2）∵点（﹣2，0）， ∴＝2， 设点M（m 2 ﹣，m），点（ ，m）， 当M∥且M＝时，四边形M 是平行四边形， | |＝2， 解得，m＝2 或m＝ +2， ∴点M 的坐标为（ ﹣2， ）或（ ，2 +2）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答． 3、如图，一次函数y＝ x+b 的图象与y 轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于点 D（m，）．以BD 为对角线作矩形BD，使顶点，落在x 轴上（点在点的右边），BD 与交于点E． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 【分析】（1）根据点B 坐标可以确定b 的值，作DF⊥B 于F，由BE＝DE，E∥DF，推出F＝B＝2，推 出点D（﹣3，﹣2）即可解决问题； （2）求出BE 的值，利用矩形的性质E＝EB，求出即可解决问题； 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ x+b 的图象与y 轴交于点B（0，2）， ∴b＝2， ∴一次函数的解析式为y＝ ． ∵B（0，2）， ∴B＝2， 作DF⊥B 于F． ∵四边形BD 是矩形， ∴BE＝ED， ∵E∥DF， ∴B＝F＝2， ∴＝﹣2， ∵D（m，﹣2）在y＝ 上， ∴m＝﹣3， ∴D（﹣3，﹣2）， ∵点D 在y＝ 上， ∴k＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝ ． （2）由（1）可知：E＝ DF＝ ， 在Rt△BE 中，BE＝ ＝ ， 在矩形BD 中，E＝BE＝ ， ∴＝E﹣E＝ ﹣ ＝1， ∴（1，0）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，平行线的性质，勾股定理，矩形的 性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4、如图，一次函数y＝x+b 的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点P（m，4），与x 轴交于点 （﹣3，0），与y 轴交于点，PB⊥x 轴于点B，且＝B． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存 在，说明理由． 【分析】（1）先根据题意得出P 点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y＝ 即可得出k 的值，再将、 P 两点的坐标代入y＝x+b 求出kb 的值，故可得出一次函数的解析式，进而得出结论； （2）先求得y＝2 时，x＝6，再根据菱形的判定即可求解． 【解答】解：（1）∵＝B，⊥B，（﹣3，0）， ∴为B 的中点，即＝B＝3， ∴P（3，4），B（3，0）， 将P（3，4）代入反比例解析式得：k＝12，即反比例解析式为y＝ ． 将（﹣3，0）与P（3，4）代入y＝x+b 得： ， 解得： ， ∴一次函数解析式为y＝ x+2； （2）如图所示，∵（0，2），PB⊥x 轴， ∴点D 的纵坐标为2， 把y＝2 代入y＝ 中，得x＝6，得D（6，2）， 则点D（6，2）． 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的 判定与性质等知识，难度适中． 5、如图，正比例函数y＝2x 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于、B 两点，过点作垂直x 轴于点，连结 B．若△B 的面积为2． （1）求k 的值； （2）x 轴上是否存在一点D，使△BD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理 由． 【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知、B 两点关于原点对称，则为线段B 的中点，故△B 的面积等于△的面积，都等于1，然后由反比例函数y＝ 的比例系数k 的几何意义，可知 △的面积等于 |k|，从而求出k 的值； （2）先将y＝2x 与y＝ 联立成方程组，求出、B 两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当D⊥B 时， 求出直线D 的关系式，令y＝0，即可确定D 点的坐标；②当BD⊥B 时，求出直线BD 的关系式，令y＝ 0，即可确定D 点的坐标；③当D⊥BD 时，由为线段B 的中点，可得D＝ B＝，然后利用勾股定理求 出的值，即可求出D 点的坐标． 【解答】解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于、B 两点， ∴、B 两点关于原点对称， ∴＝B， ∴△B 的面积＝△的面积＝2÷2＝1， 又∵是反比例函数y＝ 图象上的点，且⊥x 轴于点， ∴△的面积＝ |k|， ∴ |k|＝1， ∵k＞0， ∴k＝2． 故这个反比例函数的解析式为y＝ ； （2）x 轴上存在一点D，使△BD 为直角三角形． 将y＝2x 与y＝ 联立成方程组得： ， 解得： ， ， ∴（1，2），B（﹣1，﹣2）， ①当D⊥B 时，如图1， 设直线D 的关系式为y＝﹣ x+b， 将（1，2）代入上式得：b＝ ， ∴直线D 的关系式为y＝﹣ x+ ， 令y＝0 得：x＝5， ∴D（5，0）； ②当BD⊥B 时，如图2， 设直线BD 的关系式为y＝﹣ x+b， 将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣ ， ∴直线BD 的关系式为y＝﹣ x﹣ ， 令y＝0 得：x＝﹣5， ∴D（﹣5，0）； ③当D⊥BD 时，如图3， ∵为线段B 的中点， ∴D＝ B＝， ∵（1，2）， ∴＝1，＝2， 由勾股定理得：＝ ＝ ， ∴D＝ ， ∴D（ ，0）． 根据对称性，当D 为直角顶点，且D 在x 轴负半轴时，D（﹣ ，0）． 故x 轴上存在一点D，使△BD 为直角三角形，点D 的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）． 【点评】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函 数解析式是解题的关键．另外第2 问要分3 种情况讨论． 6、如图，已知反比例函数y＝ 的图象与正比例函数y＝kx 的图象交于点（m，﹣2）． （1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B 的坐标； （2）试根据图象写出不等式 ≥kx 的解集； （3）在反比例函数图象上是否存在点，使△为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明 理由． 【分析】（1）把点的坐标代入y＝ 求出m 的值，再运用的坐标求出k，两函数解析式联立得出B 点的 坐标． （2）把k 的值代入不等式，讨论当＞0 和当＜0 时分别求出不等式的解． （3）讨论当在第一象限时，△不可能为等边三角形，当在第三象限时，根据＝，求出点的坐标，再看的 值看是否构成等边三角形． 【解答】解：（1）把（m，﹣2）代入y＝ ，得﹣2＝ ， 解得m＝﹣1， ∴（﹣1，﹣2）代入y＝kx， 2 ∴﹣＝k×（﹣1），解得，k＝2， ∴y＝2x， 又由2x＝ ，得x＝1 或x＝﹣1（舍去）， ∴B（1，2）， （2）∵k＝2， ∴ ≥kx 为 ≥2x， 根据图象可得：当x≤ 1 ﹣和0＜x≤1 时，反比例函数y＝ 的图象恒在正比例函数y＝2x 图象的上方，即 ≥2x． （3）①当点在第一象限时，△不可能为等边三角形， ②如图，当在第三象限时，要使△为等边三角形，则＝，设（t， ）（t＜0）， ∵（﹣1，﹣2） ∴＝ ∴t2+ ＝5，则t4 5 ﹣t2+4＝0， ∴t2＝1，t＝﹣1，此时与重合，舍去， t2＝4，t＝﹣2，∴（﹣2，﹣1），而此时＝ ，≠， ∴不存在符合条件的点． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点的坐标，看是否构成 等边三角形． 7、反比例函数y＝ 在第一象限的图象如图所示，过点（1，0）作x 轴的垂线，交反比例函数y＝ 的图 象于点M，△M 的面积为3． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点B 的坐标为（t，0），其中t＞1．若以B 为一边的正方形BD 有一个顶点在反比例函数y＝ 的图象上，求t 的值． 【分析】（1）根据反比例函数k 的几何意义得到 |k|＝3，可得到满足条件的k＝6，于是得到反比例函 数解析式为y＝ ； （2）分类讨论：当以B 为一边的正方形BD 的顶点D 在反比例函数y＝ 的图象上，则D 点与M 点重 合，即B＝M，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M 点坐标为（1，6），则B＝M＝6，所以t ＝1+6＝7；当以B 为一边的正方形BD 的顶点在反比例函数y＝ 的图象上，根据正方形的性质得B＝B ＝t 1 ﹣， 则点坐标为（t，t 1 ﹣），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t 1 ﹣）＝6，再解方程得到满 足条件的t 的值． 【解答】解：（1）∵△M 的面积为3， ∴ |k|＝3， 而k＞0， ∴k＝6， ∴反比例函数解析式为y＝ ； （2）当以B 为一边的正方形BD 的顶点D 在反比例函数y＝ 的图象上，则D 点与M 点重合，即B＝ M， 把x＝1 代入y＝ 得y＝6， ∴M 点坐标为（1，6）， ∴B＝M＝6， ∴t＝1+6＝7； 当以B 为一边的正方形BD 的顶点在反比例函数y＝ 的图象上， 则B＝B＝t 1 ﹣， ∴点坐标为（t，t 1 ﹣）， ∴t（t 1 ﹣）＝6， 整理为t2﹣t 6 ﹣＝0，解得t1＝3，t2＝﹣2（舍去）， ∴t＝3， ∴以B 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y＝ 的图象上时，t 的值为7 或3． 【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析 式y＝xk（k 为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数 的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．也考查了反比例函数k 的几何意义、反 比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质． 8、如图，反比例函数y＝ 的图象经过点 ，射线B 与反比例函数的图象的另一个交点为B （﹣1，），射线与x 轴交于点E，与y 轴交于点，∠B＝75°，D⊥y 轴，垂足为D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求D 的长； （3）在x 轴上是否存在点P，使得△PE 与△D 相似，若存在，请求出满足条件点P 的坐标，若不存在， 请说明理由． 解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象经过点 ， ∴k＝﹣2 ， ∴反比例函数的解析式为： ； （2）过点B 作BM⊥D 于M，把B（﹣1，）代入 得 ， ∴B（﹣1，2 ）， ∴M＝BM＝2 1 ﹣， ∴∠BM＝45°， ∵∠B＝75°， ∴∠D＝75° 45° ﹣ ＝30°， ∴D＝D•t∠D＝2× ＝2； （3）存在， 如图，∵＝D﹣D＝1， ∴E＝ ＝ ， ①当P⊥x 轴时，△PE～△D，则：P1＝D＝2 ， ∴P1（﹣2 ，0）， ②当P⊥E 时，△PE～△D，∵P1＝1，∠P2P1＝90° 30° ﹣ ＝60°∴ 则 ， 综上所述，满足条件点P 的坐标为（﹣2 ，0），（﹣ ，0）． 9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 的图象相 交于第一、三象限内的（3，5），B（，﹣3）两点，与x 轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，x 的取值范围； （3）在y 轴上找一点P 使PB﹣P 最大，求PB﹣P 的最大值及点P 的坐标． 解：（1）把（3，5）代入 ，可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为 ； 把点B（，﹣3）代入 ，可得＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）． 把（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为y1＝x+2； （2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0 或x＞3． （3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2， ∴一次函数与y 轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣P＝B 最大，P 即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴（﹣2，0）， ∴ ． 10、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （≠0）的图象在第一象限交于，B 两点，点的坐 标为（m，6），B 点的坐标为（2，3），连接，过B 作B⊥y 轴，垂足为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在射线B 上是否存在一点D，使得△D 是直角三角形，求出所有可能的D 点坐标． 解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝ 的图象上， ∴＝3×2＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝ ， ∵点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数y＝ 图象上， ∴（1，6）， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9； （2）如图，①当∠D1＝90°时， 设B 与交于E，则E（ ，3）， ∴E＝E＝D1E＝ ， ∵E（ ，3）， ∴D1的坐标为（ ，3）； ②当∠D2＝90°时， 可得直线D2的解析式为：y＝﹣ x+ ， 当y＝3 时，x＝19， ∴D2的坐标为（19，3）， 综上所述，当△D 是直角三角形，D 点坐标为（ ，3）或（19，3） 11、如图，直线y＝x+2 与x 轴、y 轴分别相交于，B 两点，与双曲线y＝ （x＞0）相交于点P，P⊥x 轴于 点，且P＝4，点的坐标为（﹣4，0）． （1）求双曲线的解析式； （2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，过点Q 作Q⊥x 轴于点，当以点Q，，为顶点的三角形与△B 相似时，求点Q 的坐标． 解：（1）把（﹣4，0）代入y＝x+2， 得，﹣4+2＝0，解得＝ ， 故直线B 的解析式为y＝ x+2， 把y＝4 代入y＝ x+2，得， x+2＝4， 解得x＝4， ∴点P（4，4）． 把P（4，4）代入y＝ ，得k＝16， 故双曲线的解析式为y＝ ； （2）把x＝0 代入y＝ x+2，得y＝2， ∴点B 的坐标为（0，2）， ∴B＝2， ∵（﹣4，0）， ∴＝4， 设Q（m， ），则＝m 4 ﹣，Q＝ ， 由题意可知∠B＝∠Q＝90°， 当△B∼△Q 时， ，即 ， 解得：m1＝2+2 ，m2＝2 2 ﹣ （不合题意，舍去）， ∴点Q 的坐标为（2+2 ，4 4 ﹣）， 当△B∼△Q 时， ，即 ， 解得m1＝8，m2＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴点Q 的坐标为（8，2）． 综上可知，点Q 的坐标为（2+2 ，4 4 ﹣）或（8，2）． 12、如图（1），正方形BD 顶点、B 在函数y＝ （k＞0）的图象上，点、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 当k 的值改变时，正方形BD 的大小也随之改变． （1）若点的横坐标为5，求点D 的纵坐标； （2）如图（2），当k＝8 时，分别求出正方形′B′′D′的顶点′、B′两点的坐标； （3）当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，求k 的取值范围． 解：（1）如图，过点作E⊥y 轴于点E，则∠ED＝90°． ∵四边形BD 为正方形， ∴D＝D，∠D＝90°， ∴∠D+∠ED＝90°． ∵∠D+∠D＝90°， ∴∠ED＝∠D， 在△ED 和△D 中 ， ∴△ED≌△D（S）， ∴D＝E＝5， ∴点D 的纵坐标为5； （2）作′M⊥y 轴于M，B′⊥x 轴于点， 设D′＝，′＝b， 同理可得△B′′ ′ ≌△D′ ′ ≌△D′E， ′ ∴＝D′＝′M＝，B′＝′＝D′M＝b， ′ ∴（，+b），B′（+b，b）， ∵点′、B′在反比例函数y＝ 的图象上， ∴（+b）＝8，b（+b）＝8， ∴解得＝b＝2 或＝b＝﹣2（舍去）， ′ ∴、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）； （3）设直线′B′的解析式为y＝mx+， 把′（2，4），B′（4，2）代入得 ， 解得 ， ∴直线′B′解析式为y＝﹣x+6， 同样可求得直线′D′解析式为y＝﹣x+2， 由（2）可知△D 是等腰直角三角形， 设点的坐标为（m，2m），点D 坐标为（0，m）， 当点在直线′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝ ， 此时点的坐标为（ ， ）， ∴k＝ × ＝ ； 当点D 在直线′B′上时，有m＝6，此时点的坐标为（6，12）， ∴k＝6×12＝72； 综上可知：当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，k 的取值范围为 ≤x≤72． 13、如图，一次函数y＝﹣x+3 的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于（1，）和B 两点， 与x 轴交于点． （1）求反比例函