46 二次函数与特殊图形的存在性问题

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 二次函数与特殊图形的存在性问题 【真题再现】 1．（2020 年盐城第25 题）若二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴有两个交点M（x1，0）， （x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点（0，2）．过点的直线l 与x 轴交于点，与该函数的 图象交于点B（异于点）．满足△是等腰直角三角形，记△M 的面积为S1，△BM 的面积 为S2，且S2¿ 5 2S1． （1）抛物线的开口方向 上 （填“上”或“下”）； （2）求直线l 相应的函数表达式； （3）求该二次函数的表达式． 【分析】（1）根据题意借助图象即可得到结论； （2）由点（0，2）及△是等腰直角三角形，可知（﹣2，0），（2，0），由、两点坐标 可求直线l； （3）由S2¿ 5 2S1，可知B 点纵坐标为5，代入直线B 解析式可求B 点横坐标，将、B、三 点坐标代入y＝x2+bx+中，可求抛物线解析式． 【解析】（1）如图，如二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴有两个交点M（x1，0）， （x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点（0，2）． ∴y＝x2+bx+2， 令y＝0，则x2+bx+2＝0， 0 ∵＜x1＜x2， ∴2 a ＞0， ∴＞0， ∴抛物线开口向上， 故答为：上； （2）①若∠＝90°，则与重合，直线l 与抛物线交于点， 因为直线l 与该函数的图象交于点B（异于点），所以不合题意，舍去； ②若∠＝90°，则在x 轴的下方，与题意不符，舍去； ③若∠＝90°，则∠＝∠＝45°，＝＝＝2， ∴（﹣2，0），（2，0）， 设直线l 为y＝kx+b，将（0，2）（﹣2，0）代入得{ b=2 −2k+b=0， 解得{ k=1 b=2， ∴直线l 相应的函数表达式为y＝x+2； （3）过B 点作B⊥x 轴于， S1¿ 1 2 MN ⋅OA，S2¿ 1 2 MN ⋅BH， ∵S2¿ 5 2S1， ∴B¿ 5 2， ∵＝2， ∴B＝5， 即B 点的纵坐标为5，代入y＝x+2 中，得x＝3， ∴B（3，5）， 将、B、三点的坐标代入y＝x2+bx+得{ c=2 4 a+2b+c=0 9a+3b+c=5 ， 解得{ a=2 b=−5 c=2 ， ∴抛物线的解析式为y＝2x2 5 ﹣x+2． 2．（2020 年徐州第28 题）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+2x+3（＞0）的图 象交x 轴于点、B，交y 轴于点，它的对称轴交x 轴于点E．过点作D∥x 轴交抛物线于点 D，连接DE 并延长交y 轴于点F，交抛物线于点G．直线F 交D 于点，交抛物线于点 K，连接E、GK． （1）点E 的坐标为： （ 1 ， 0 ） ； （2）当△EF 是直角三角形时，求的值； （3）E 与GK 有怎样的位置关系？请说明理由． 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可． （2）连接E，分两种情形：当∠EF＝90°时，当∠FE＝90°，分别求解即可． （3）求出直线F，DF 的解析式，利用方程组确定点K，G 的坐标，再求出直线E，GK 的解析式即可判断． 【解析】（1）对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，对称轴x¿−2a −2a=¿1， ∴E（1，0）， 故答为（1，0）． （2）如图，连接E． 对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，得到y＝3， 令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1 或3， ∴（﹣1，0），B（3，0），（0，3）， ∵，D 关于对称轴对称， ∴D（2，3），D＝2，E＝DE， 当∠EF＝90°时， ∵ED＝E， ∴∠ED＝∠ED， ∵∠DF＝90°， ∴∠FD+∠ED＝90°，∠EF+∠ED＝90°， ∴∠EF＝∠EF， ∴E＝EF＝DE， ∵E∥D， ∴F＝， ∴E¿ 1 2D， ∵E＝2， ∴D＝4， ∵E⊥DFEF＝ED， ∴F＝D＝4， 在Rt△F 中，则有42＝22+（6）2， 解得¿ ❑ √3 3 或−❑ √3 3 （不符合题意舍弃）， ∴¿ ❑ √3 3 ． 当∠FE＝90°时，∵＝E，F⊥E， ∴F＝FE， ∴F＝＝E＝1， 3 ∴＝1， ∴¿ 1 3， 综上所述，满足条件的的值为 ❑ √3 3 或1 3． （3）结论：E∥GK． 理由：由题意（﹣1，0），F（0，﹣3），D（2，3），（﹣2，3），E（1，0）， ∴直线F 的解析式y＝﹣3x 3 ﹣，直线DF 的解析式为y＝3x 3 ﹣， 由{ y=−3ax−3a y=−a x 2+2ax+3a，解得{ x=−1 y=0 或{ x=6 y=−21a， ∴K（6，﹣21）， 由{ y=3ax−3a y=−a x 2+2ax+3a，解得{ x=2 y=3a或{ x=−3 y=−12a， ∴G（﹣3，﹣12）， ∴直线E 的解析式为y＝﹣x+， 直线GK 的解析式为y＝﹣x 15 ﹣ ， ∵k 相同，≠﹣15， ∴E∥GK． 3．（2020 年苏州第25 题）如图，二次函数y＝x2+bx 的图象与x 轴正半轴交于点，平行于 x 轴的直线l 与该抛物线交于B、两点（点B 位于点左侧），与抛物线对称轴交于点D （2，﹣3）． （1）求b 的值； （2）设P、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBQ 为平行四边形．过点 P、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2， 求x1、x2的值． 【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝2，即−1 2 b＝2，解得：b＝﹣4，即可求解； （2）求出点B、的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则B＝2，而四边形PBQ 为平 行四边形，则PQ＝B＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解． 【解析】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3）， 故抛物线的对称轴为x＝2，即−1 2 b＝2，解得：b＝﹣4， （2）∵b＝﹣4 ∴抛物线的表达式为：y＝x2 4 ﹣x； 把y＝﹣3 代入y＝x2 4 ﹣x 并解得x＝1 或3， 故点B、的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则B＝2， ∵四边形PBQ 为平行四边形， ∴PQ＝B＝2，故x2﹣x1＝2， 又∵y1＝x1 2 4 ﹣x1，y2＝x2 2 4 ﹣x2，|y1﹣y2|＝2， 故|（x1 2 4 ﹣x1）﹣（x2 2 4 ﹣x2）|＝2，|x1+x2 4| ﹣＝1． ∴x1+x2＝5 或x1+x2＝3， 由{ x2−x1=2 x1+x2=5 ，解得{ x1=3 2 x2=7 2 ； 由{ x2−x1=2 x1+x2=3 ，解得{ x1=1 2 x2=5 2 ． 4．（2020 年无锡第28 题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数y¿ 1 4 x2的 图象于点，∠B＝90°，点B 在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且 平行于x 轴的直线交直线于点M，交直线B 于点，以线段M、为邻边作矩形MP． （1）若点的横坐标为8． ①用含m 的代数式表示M 的坐标； ②点P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． （2）当m＝2 时，若点P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所 有直线的函数表达式． 【分析】（1）①求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题． ②求出直线B 的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点P 的坐标，再利用待定 系数法求出m 的值即可． （2）分两种情形：①当点在y 轴的右侧时，设（，1 4 2），求出点P 的坐标利用待定系 数法构建方程求出即可． ②当点在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置，利用①中结论即可解决问题． 【解析】（1）①∵点在y¿ 1 4 x2的图象上，横坐标为8， ∴（8，16）， ∴直线的解析式为y＝2x， ∵点M 的纵坐标为m， ∴M（1 2m，m）． ②假设能在抛物线上，连接P． ∵∠B＝90°， ∴直线B 的解析式为y¿−1 2x， ∵点在直线B 上，纵坐标为m， ∴（﹣2m，m）， ∴M 的中点的坐标为（−3 4 m，m）， ∴P（−3 2 m，2m），把点P 坐标代入抛物线的解析式得到m¿ 32 9 ． （2）①当点在y 轴的右侧时，设（，1 4 2）， ∴直线的解析式为y¿ 1 4 x， ∴M（8 a，2）， ∵B⊥， ∴直线B 的解析式为y¿−4 a x，可得（−a 2 ，2）， ∴P（8 a−a 2，4），代入抛物线的解析式得到，8 a−a 2=¿±4， 解得，＝4❑ √2±4， ∴直线的解析式为y＝（❑ √2±1）x． ②当点在y 轴的左侧时，即为①中点B 的位置， ∴直线 的解析式为y¿−4 a x＝﹣（❑ √2±1）x， 综上所述，满足条件的直线的解析式为y＝（❑ √2±1）x 或y＝﹣（❑ √2±1）x． 05．（2019 年盐城27 题）如图所示，二次函数y＝k（x 1 ﹣）2+2 的图象与一次函数y＝ kx﹣k+2 的图象交于、B 两点，点B 在点的右侧，直线B 分别与x、y 轴交于、D 两点，其 中k＜0． （1）求、B 两点的横坐标； （2）若△B 是以为腰的等腰三角形，求k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E，是否存在实数k，使得∠D＝2∠BE，若存 在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x 1 ﹣）2+2＝kx﹣k+2，即可求解； （2）分＝B、＝B 两种情况，求解即可； （3 ）求出m ＝﹣k2﹣k❑ √k 2+1，在△M 中，tα¿ HM AH = m −k =¿k+ ❑ √k 2+1=¿t∠BE ¿ BK EK =¿k+2，即可求解． 【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x 1 ﹣）2+2＝kx﹣k+2， 解得：x＝1 和2， 故点、B 的坐标横坐标分别为1 和2； （2）¿ ❑ √2 2+1=❑ √5， ①当＝B 时， 即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）； ②当＝B 时， 4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1 或﹣3； 故k 的值为：﹣1 或﹣2 或﹣3； （3）存在，理由： ①当点B 在x 轴上方时， 过点B 作B⊥E 于点，将△B 的图形放大见右侧图形， 过点作∠B 的角平分线交B 于点M，过点M 作M⊥B 于点，过点B 作BK⊥x 轴于点K， 图中：点（1，2）、点B（2，k+2），则＝﹣k，B＝1， 设：M＝m＝M，则BM＝1﹣m， 则＝＝﹣k，B¿ ❑ √k 2+1，B＝B﹣， 由勾股定理得：MB2＝B2+M2， 即：（1﹣m）2＝m2+（❑ √k 2+1+¿k）2， 解得：m＝﹣k2﹣k❑ √k 2+1， 在△M 中，tα¿ HM AH = m −k =¿k+ ❑ √k 2+1=¿t∠BE¿ BK EK =¿k+2， 解得：k¿± ❑ √3， 此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值， 故k¿−❑ √3； ②当点B 在x 轴下方时， 同理可得：tα¿ HM AH = m −k =¿k+ ❑ √k 2+1=¿t∠BE¿ BK EK =−¿（k+2）， 解得：k¿ −4−❑ √7 3 或−4+❑ √7 3 ， 此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去−4+❑ √7 3 ， 故k 的值为：−❑ √3或−4−❑ √7 3 ． 6．（2019 年连云港26 题）如图，在平面直角坐标系xy 中，抛物线L1：y＝x2+bx+过点 （0，﹣3），与抛物线L2：y¿−1 2x2−3 2 x+2 的一个交点为，且点的横坐标为2，点P、 Q 分别是抛物线L1、L2上的动点． （1）求抛物线L1对应的函数表达式； （2）若以点、、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标； （3）设点R 为抛物线L1上另一个动点，且平分∠PR．若Q∥PR，求出点Q 的坐标． 【分析】（1）先求出点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可； （2）设点P 的坐标为（x，x2 2 ﹣x 3 ﹣），分两种情况讨论：为平行四边形的一条边，为 平行四边形的一条对角线，用x 表示出Q 点坐标，再把Q 点坐标代入抛物线L2：y¿−1 2 x2−3 2 x+2 中，列出方程求得解便可； （3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L1不存在点R 使得平分∠PR，当点P 在y 轴右侧时， 不妨设点P 在的上方，点R 在的下方，过点P、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S、 T，过点P 作P⊥TR 于点，设点P 坐标为（x1，x1 2−2 x1−3），点R 坐标为（x2， x2 2−2 x2−3），证明△PS∽△RT，由相似比得到x1+x2＝4，进而得t∠PR 的值，过点Q 作QK⊥x 轴于点K，设点Q 坐标为（m，−1 2 m 2−3 2 m+2），由t∠QK＝t∠PR，移出m 的方程，求得m 便可． 【解析】（1）将x＝2 代入y¿−1 2x2−3 2 x+2，得y＝﹣3，故点的坐标为（2，﹣3）， 将（2，﹣3），（0，﹣3）代入y＝x2+bx+，得 { −3=2 2+2b+c −3=0+0+c ，解得{ b=−2 c=−3， ∴抛物线L1：y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）如图，设点P 的坐标为（x，x2 2 ﹣x 3 ﹣）， 第一种情况：为平行四边形的一条边， ①当点Q 在点P 右侧时，则点Q 的坐标为（x+2，x2 2 ﹣x 3 ﹣）， 将Q（x+2，x2 2 ﹣x 3 ﹣）代入y¿−1 2x2−3 2 x+2，得 x2 2 ﹣x 3 ﹣¿−1 2（x+2）2−3 2 （x+2）+2， 解得x＝0 或x＝﹣1， 因为x＝0 时，点P 与重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P 的坐标为（﹣1，0）； ②当点Q 在点P 左侧时，则点Q 的坐标为（x 2 ﹣，x2 2 ﹣x 3 ﹣）， 将Q（x 2 ﹣，x2 2 ﹣x 3 ﹣）代入y¿−1 2x2−3 2 x+2，得 y¿−1 2x2−3 2 x+2，得 x2 2 ﹣x 3 ﹣¿−1 2（x 2 ﹣）2−3 2 （x 2 ﹣）+2， 解得，x＝3，或x¿−4 3 ， 此时点P 的坐标为（3，0）或（−4 3 ，13 9 ）； 第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时， 由的中点坐标为（1，﹣3），得PQ 的中点坐标为（1，﹣3）， 故点Q 的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x 3 ﹣）， 将Q（2﹣x，﹣x2+2x 3 ﹣）代入y¿−1 2x2−3 2 x+2，得 ﹣x2+2x 3═ ﹣ −1 2 （2﹣x）2−3 2 （2﹣x）+2， 解得，x＝0 或x＝﹣3， 因为x＝0 时，点P 与点重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P 的坐标为（﹣3，12）， 综上所述，点P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（−4 3 ，13 9 ）或（﹣3，12）； （3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L1不存在点R 使得平分∠PR， 当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在的上方，点R 在的下方， 过点P、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P 作P⊥TR 于点，则有∠PS＝∠RT＝90°， 由平分∠PR，得∠P＝∠R，则∠PS＝∠RT， ∴△PS∽△RT， ∴PS CS = RT CT ， 设点P 坐标为（x1，x1 2−2 x1−3），点R 坐标为（x2，x2 2−2 x2−3）， 所以有 x1 x1 2−2 x1−3−(−3) = x2 −3−( x2 2−2 x2−3)， 整理得，x1+x2＝4， 在Rt△PR 中，t∠PR¿ PH RH = x1 2−2 x1−3−( x2 2−2 x2−3) x1−x2 =x1+x2−2=2 过点Q 作QK⊥x 轴于点K，设点Q 坐标为（m，−1 2 m 2−3 2 m+2）， 若Q∥PR，则需∠QK＝∠PR， 所以t∠QK＝t∠PR＝2， 所以2m¿−1 2 m 2−3 2 m+2， 解得，m¿ −7± ❑ √65 2 ， 所以点Q 坐标为（−7+❑ √65 2 ，﹣7+❑ √65）或（−7−❑ √65 2 ，﹣7−❑ √65）． 7．（2019 年无锡27 题）已知二次函数y＝x2 4 ﹣x+（＜0）的图象与它的对称轴相交于点， 与y 轴相交于点（0，﹣2），其对称轴与x 轴相交于点B （1）若直线B 与二次函数的图象的另一个交点D 在第一象限内，且BD¿ ❑ √2，求这个二 次函数的表达式； （2）已知P 在y 轴上，且△P 为等腰三角形，若符合条件的点P 恰好有2 个，试直接写 出的值． 【分析】（1）先求得对称轴方程，进而得B 点坐标，过D 作D⊥x 轴于点，由B，的坐 标得∠B＝45°，进而求得D，B，便可得D 点坐标，再由待定系数法求得解析式； （2）先求出点的坐标，再分两种情况：点在x 轴上时，△P 为等腰直角三角形，符合条 件的点P 恰好有2 个；点不在x 轴上，∠B＝30°，△P 为等边三角形或顶角为120°的等腰 三角形，符合条件的点P 恰好有2 个．据此求得． 【解析】（1）过点D 作D⊥x 轴于点，如图1， ∵二次函数y＝x2 4 ﹣x+， ∴对称轴为x¿−−4 a 2a =2， ∴B（2，0）， ∵（0，﹣2）， ∴B＝＝2， ∴∠B＝∠DB＝45°， ∵B¿ ❑ √2， ∴B＝D＝1， ∴＝B+B＝2+1＝3， ∴D（3，1）， 把（0，﹣2），D（3，1）代入y＝x2 4 ﹣x+中得， { c=−2 9a−12a+c=1， ∴{ a=−1 c=−2， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x 2 ﹣； （2）∵y＝x2 4 ﹣x+过（0，﹣2）， ∴＝﹣2， ∴y＝x2 4 ﹣x+＝（x 2 ﹣）2 4 2 ﹣﹣， ∴（2，﹣4 2 ﹣）， ∵P 在y 轴上，且△P 为等腰三角形，若符合条件的点P 恰好有2 个， ∴①当抛物线的顶点在x 轴上时，∠P＝90°，则P＝，这样的P 点只有2 个，正、负半 轴各一个，如图2， 此时（﹣2，0）， 4 2 ∴﹣﹣＝0， 解得¿−1 2； ②当抛物线的顶点不在x 轴上时，∠B＝30°时，则△P 为等边三角形或∠P＝120°的等腰 三角形，这样的P 点也只有两个，如图3， ∴B＝B•t30°＝2× ❑ √3 3 =2❑ √3 3 ， | 4 2| ∴﹣﹣¿ 2❑ √3 3 ， ∴a=−1 2 −1 6 ❑ √3或−1 2 + 1 6 ❑ √3． 综上，¿−1 2或−1 2 −1 6 ❑ √3或−1 2 + 1 6 ❑ √3． 【专项突破】 【题组一】 1．（2020•灌南县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于、B