39 四边形的存在性问题

四边形的存在性问题 例题精讲 【例1】 如图1，四边形 中， ， ， ， ，点 从点 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点 运动，同时，点 从点 出发，以每秒1 个 单位长度的速度向点 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过 点 作 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．设运动时间为秒． （1） ， ．（用含的代数式表示） （2）当四边形 为平行四边形时，求的值 （3）如图2，将 沿 翻折，得 ，是否存在某时刻， ①使四边形 为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 ②使四边形 为正方形，则 ． 【解答】解：（1）如图1． ， ． 在直角梯形 中， ， ， 于点 ， 四边形 为矩形， ， ； 故答为： ， ． （2） 四边形 为平行四边形时， ， ， 解得： ， （3）①存在时刻 ，使四边形 为菱形． 理由如下： ， ， 当 时有四边形 为菱形， ， 解得 ， ②要使四边形 为正方形． ， ． 四边形 为正方形，则 ， ， ， ． 故答为： ． 【变式训练1】 在矩形 中， ， ， 、 是对角线 上的两个动点， 分别从 ， 同时出发相向而行，速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为秒，其中 ． （1）若 ， 分别是 ， 中点，求证：四边形 是平行四边形 、 相遇时 除外）． （2）在（1）条件下，若四边形 为矩形，求的值． （3）若 ， 分别是折线 ， 上的动点，与 ， 相同的速度同时出发， 若四边形 为菱形，求的值． 【解答】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 分别是 ， 中点， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 同理： ， 四边形 是平行四边形； （2）解：由（1）得： ， ， 四边形 是平行四边形， ，当 时，平行四边形 是矩形， 分两种情况：① ， ， 解得： ； ② ， ， 解得： ； 综上所述：当为 或 时，四边形 为矩形； （3）解：连接 、 ，如图所示： 四边形 为菱形， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形， ， 设 ，则 ， 由勾股定理得： ， 即 ， 解得， ， ， ， 为 时，四边形 为菱形． 【变式训练2 】 在矩形 中， ， ，点 为 延长线上一点，且 ，连接 ， 为 的中点，有一动点 从 点出发，沿 以每秒1 个单位 的速度向 点运动，运动时间为秒． （1）如图1，连接 、 ，则 （用含的式子表示）； （2）如图2， 、 分别为 、 的中点，当为何值时，四边形 为平行四边 形？请说明理由； 【解答】解：（1） 四边形 是矩形， ， ， ， ， 为 的中点， ， 故答为： （2）当 时，四边形 为平行四边形， 理由如下： 、 分别为 、 的中点， ， ， 时， ，且点 是 的中点， ， ， 四边形 是平行四边形 最新模拟题 1. 如图，在矩形 中， ， ，连接 ，并过点 作 ， 垂足为 ，直线垂直 ，分别交 、 于点 、 ．直线从 出发，以每 秒 的速度沿 方向匀速运动到 为止；点 沿线段 以每秒 的速度由点 向点 匀速运动，到点 为止，直线1 与点 同时出发，设运动时间为秒 ． （1）线段 ； （2）连接 和 ，当四边形 为平行四边形时，求的值； （3）在整个运动过程中，当为何值时 的面积取得最大值，最大值是多少？ 【解答】解：（1） 四边形 是矩形 ， ， ， 故答为： （2）在 中， 四边形 为平行四边形时 ，且 ， 即 （3） ， 如图，过点 作 于点 ， 当 ， ， 当 时， 有最大值，且最大值为 ， 当 时，点 与点 重合，点 ，点 ，点 不构成三角形； 当 时，如图， 当 时， 随的增大而增大， 当 时， 最大值为 ， 综上所述： 时， 的面积取得最大值，最大值为 ． 2. 如图，平行四边形 中， ， ， ， 是 的中点， 是边 上的动点， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）① 时，四边形 是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）； ② 时，四边形 是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）． 【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ． 是 的中点， ， 在 和 中， ， ． ． ， 四边形 是平行四边形． （2）解：①当 时，四边形 是矩形．理由如下： 作 于 ，如图所示： ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 平行四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故当 时，四边形 是矩形； 故答为：8． ②当 时，四边形 是菱形．理由如下： ， ． ． ， ． 是等边三角形． ． 平行四边形 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故当 时，四边形 是菱形； 故答为：4． 3. 如图，在 中，点 是边 上一个动点，过点 作直线 分别交 、 外角 的平分线于点 、 ． （1）猜想与证明，试猜想线段 与 的关系，并说明理由． （2）连接 、 ．问：当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？ 并说明理由． （3）若 边上存在一点 ，使四边形 是正方形，猜想 的形状并证明你的结 论． 【解答】（1）证明： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，当 在 的中点时，四边形 是矩形，理由如下： 当 为 中点时，则有 ， 四边形 为平行四边形， ， 四边形 为矩形． （3）解：当点 在边 上运动到 中点时，使四边形 是正方形， 是直角 三角形 ．理由如下： 由（2）可得点 在边 上运动到 中点时，平行四边形 是矩形， ， 平行四边形 是矩形， ， ， ， ， 四边形 是正方形． 4. 如图，矩形 中，点 是线段 上的一个动点， 为 的中点， 的延长线 交 于 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，点 从点 出发，以 的速度向点 运动（不与 重合）．设点 运动的时间为秒，请用表示 的长； （3）当为何值时，四边形 是菱形？ 【解答】解：（1） 四边形 是矩形， ， ， 为 的中点， ， 在 和 中， ， ， ； （2）由题意知： ， ， ， （3） ， ， 即 ， ， 解得 ， 当 时， ．