32 等角存在性问题

等角存在性问题 一、方法突破 除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型， 根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键． 回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角． 圆周角定理：1=2 2 1 三角函数：若tan1=tan2，则1=2 1 2 全等三角形：1=2 1 2 等腰三角形：1=2 1 2 角平分线：1=2 1 2 平行：1=3，2=3 3 2 1 想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值 因此在以上6 种方当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角． 选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~ 二、典例精析 例一： 如图，已知抛物线过点（4，0），B（-2，0），（0，-4）． （1）求抛物线的解析式； （2）点和点 关于抛物线的对称轴对称，点P 在抛物线上，且 ，求点P 的横坐标． C1 O A B C x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）由题意得： 坐标为（2，-4）， 考虑到、、 三点坐标均已知，故可求 的三角函数值． 思路1：构造直角三角形 过点 作 ⊥交于点，不难求得点坐标为（1，3）， 故 ， ， ∴ ，则 ． P2 P1 C1 O A B C x y H H y x C B A O C1 转化“ ”为“ ”，即 ． ①当 时，设P 解析式为 ， 将（4，0）代入，得： ， 联立方程： ，解得： ， ， 故 坐标为 ； ②当 时，设P 解析式为 ， 将（4，0）代入，得： ， 联立方程： ，解得： ， ， 故 坐标为 ． 综上所述，P 点坐标为 或 ． 思路2：发现特殊角． M y x C B A O C1 如图构造等腰直角三角形M，易解M 点坐标为（4，-4）， 故△M 是等腰直角三角形．∠M=45°， 考虑 ，可知 ， 下同思路1 求解P 点坐标． 例二： 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点，且 ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上一点D（1，-5），直线BD 与y 轴交于点E，动点M 在线段BD 上，当 ∠BD=∠ME 时，求点M 的坐标． O A B C D E x y 【分析】 （1） ，解得： ． 抛物线： ． （2）思路：化角度正切值为“k” 令 ，解得： ， ， 即点坐标为 ，B 点坐标为（4，0）． 考虑（0，-4）、D（1，-5），连接B，易证△BD 是直角三角形， M O A B C D E x y ， 若∠ME=∠BD，则t∠ME=4， ． 设E 解析式为： ， 又BD 解析式为： ， 联立方程： ，解得： ， 故M 点坐标为 ． 例三： 如图，抛物线 与两坐标轴相交于点（-1，0）、B（3，0）、（0，3），D 是 抛物线的顶点，E 是线段B 的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点： ①当x>1，y>0 时，求△BDF 的面积的最大值； ②当∠EF=∠DBE 时，求点F 的坐标． F O A B C D E x y 【分析】 （1）抛物线： ，D 点坐标为（1，4）； （2）①铅垂法可解，当F 坐标为（2，3）时，△BDF 面积最大，最大值为1； ②思路1：构造平行线． 考虑到、E、B 三点均在x 轴上，故可构造EF∥BD 即可得角相等． F y x E D C B A O F 过点E 作EF∥BD 交抛物线与F 点， 考虑到BD 解析式： ， 故可求EF 的解析式为： ， 联立方程： ， 解得： ， （舍）． 故F 点坐标为 ． 将EF 作关于x 轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F 点， F F O A B C D E x y F x 且翻折后的直线解析式为： ， 联立方程： ， 解得： ， （舍）． 故F 点坐标为 ． 综上，F 点坐标为 或 ． 思路2：三角函数值． 设F 点坐标为 ， 过F 点作F⊥x 轴交x 轴于点，则点坐标为 ， ， ， 解得： ， （舍）， ， （舍）． 故F 点坐标为 或 ． 三、中考真题对决 1【2019 海南中考】 如图，已知抛物线 经过（-5，0），B（-4，-3）两点，与x 轴的另一个交点 为，顶点为D，连结D． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P 为该抛物线上一动点（与点B、不重合），设点P 的横坐标为t．该抛物线上是 否存在点P，使得∠PB=∠BD？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理 由． O P A B C D x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）①当点P 在直线B 上方时，如图， 过点B 作D 的平行线，与抛物线交点即为P 点， 不难求得直线BP 解析式为： ， 联立方程： ，解得： ， ， 故P 点坐标为（0，5）． y x D C B A P O ②当点P 在直线B 下方时， 思路1：利用三角函数值． 连接BD，可得BD⊥B，可得 ， 若∠PB=∠BD，则需满足 ， 但鉴于B 并非水平或竖直直线，故 这个条件并不好用． 考虑到B、点坐标的特殊性，可以发现，过点B 作BM⊥x 轴，易得△BM 是等腰直 角三角形，即有∠MB=∠MB， N M y x D C B A P O O P A B C D x y 可转化问题“∠PB=∠BD”为“∠PB+∠BM=∠BD+∠BM”， 即∠PBM=∠DM． 由题意得： ，故 ， 转化为直线BP 的条件即为“ ”， 可得直线BP 解析式为： ， 联立方程： ，解得： ， ． 故P 点坐标为 ． 综上所述，P 点坐标为（0，5）或 ． 思路2：构造对称． 不难发现，情况①中的直线BP 和情况②中的直线BP 是关于直线B 对称，故两个 BP 的k 相乘为1，可知情况②中的 ． 可知BP 解析式： ． 同思路1 求得P 点坐标． 2．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线 2 y ax bx c    与x 轴交于点 ( 1,0) A  和点 B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1, 4)  ． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 在抛物线上且满足 PCB CBD   ，求点P 的坐标； 解：（1）顶点D 的坐标为(1, 4)  ， 设抛物线的解析式为 2 ( 1) 4 y a x    ，将点 ( 1,0) A  代入， 得 2 0 ( 1 1) 4 a     ， 解得： 1 a ， 2 2 ( 1) 4 2 3 y x x x        ， 该抛物线的解析式为 2 2 3 y x x    ； （2）抛物线对称轴为直线 1 x ， ( 1,0) A  ， (3,0) B  ， 设直线BD 解析式为y kx e   ， (3,0) B  ， (1, 4) D  ， 3 0 4 k e k e       ， 解得： 2 6 k e     ， 直线BD 解析式为 2 6 y x   ， 过点C 作 1 / / CP BD ，交抛物线于点 1 P ， 设直线 1 CP 的解析式为 2 y x d   ，将 (0, 3) C  代入， 得3 2 0 d   ， 解得： 3 d  ， 直线 1 CP 的解析式为 2 3 y x   ， 结合抛物线 2 2 3 y x x    ，可得 2 2 3 2 3 x x x     ， 解得： 1 0 x （舍) ， 2 4 x ， 故 1(4,5) P ， 过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ， OB OC   ， 90 BOC OBG OCG     ， 四边形OBGC 是正方形， 设 1 CP 与x 轴交于点E ，则2 3 0 x  ， 解得： 3 2 x  ， 3 (2 E  ，0) ， 在x 轴下方作 BCF BCE   交BG 于点F ， 四边形OBGC 是正方形， 3 OC CG BG    ， 90 COE G    ， 45 OCB GCB    ， OCB BCE GCB BCF     ， 即 OCE GCF   ， ( ) OCE GCF ASA   ， 3 2 FG OE    ， 3 3 3 2 2 BF BG FG      ， 3 (3, ) 2 F   ， 设直线CF 解析式为 1 1 y k x e   ， (0, 3) C   ， 3 (3, ) 2 F  ，  1 1 1 3 3 3 2 e k e         ， 解得： 1 1 1 2 3 k e        ， 直线CF 解析式为 1 3 2 y x   ， 结合抛物线 2 2 3 y x x    ，可得 2 1 2 3 3 2 x x x     ， 解得： 1 0 x （舍) ， 2 5 2 x  ， 2 5 (2 P  ， 7) 4  ， 综上所述，符合条件的P 点坐标为： 1(4,5) P ， 2 5 (2 P ， 7) 4  ； 3．（2021•岳阳）如图，抛物线 2 2 y ax bx    经过 ( 1,0) A  ， (4,0) B 两点，与y 轴交于点 C ，连接BC ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线: 3 l y kx   经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方， 点Q 为抛物线上的一个动点，当 / / PQ y 轴时，作QM PQ  ，交抛物线于点M （点M 在 点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时， 抛物线上是否存在点F ，使得 CBF DQM   ？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在， 请说明理由． 解：（1）设抛物线的表达式为 1 2 ( )( ) y a x x x x    ， 即 2 2 ( 1)( 4) ( 3 4) 3 4 y a x x a x x ax ax a          ， 即4 2 a  ，解得 1 2 a  ， 故抛物线的表达式为 2 1 3 2 2 2 y x x    ； （2）将点A 的坐标代入直线l 的表达式得：0 3 k   ，解得 3 k ， 故直线l 的表达式为 3 3 y x   ， 设点Q 的坐标为 2 1 3 ( , 2) 2 2 x x x    ，则点P 的坐标为( ,3 3) x x  ， 由题意得，点Q 、M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线 3 2 x  ， 故点M 的横坐标为3 x  ，则 3 3 2 QM x x x    ， 设矩形周长为C ，则 2 2 1 3 2( ) 2[3 2 3 3 ( 2)] 8 2 2 C PQ QM x x x x x x             ， 1 0   ，故C 有最小值， 当 1 2 x  时，矩形周长最小值为31 4 ； （3）当 1 2 x  时， 2 1 3 21 2 2 2 8 y x x     ，即点Q 的坐标为1 (2 ，21) 8 ， 由抛物线的表达式知，点D 的坐标为3 (2 ，25) 8 ， 过点D 作DK QM  于点K ， 则 25 21 1 8 8 2 D Q DK y y      ， 同理可得， 1 QK ， 则 1 tan 2 DK DQM QK    ， CBF DQM    ， 故 1 tan tan 2 CBF DQM     ， 在BOC  中， 2 1 tan 4 2 CO CBO OB     ， 故BF 和BO 重合， 故点F 和点A 重合， 即点F 的坐标为( 1,0)  ， 当点F 在直线BC 的上方时， 5 AC   ， 2 5 BC  ， 5 AB ， 2 2 2 AB AC BC    ， 90 ACB   ， 则点A 关于BC 的对称点 (1,4) A ， 直线BF 的解析式为 4 16 3 3 y x   ， 由 2 4 16 3 3 1 3 2 2 2 y x y x x             ，解得 4 0 x y      或 5 3 28 9 x y         ， 5 (3 F  ，28) 9 ， 综上所述，满足条件的点F 的坐标为( 1,0)  或5 (3 ，28) 9 4．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2 ( ) y a x h k    与x 轴相交于 O ，A 两点，顶点P 的坐标为(2, 1)  ．点B 为抛物线上一动点，连接AP ，AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B 的横坐标与纵坐标相等， ABC OAP   ，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐 标； （3）若点B 的横坐标为t ， 90 ABC   ，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当 0 t  时，点C 的横坐标的取值范围． 解：（1）抛物线 2 ( ) y a x h k    ，顶点P 的坐标为(2, 1)  ， 2 h  , 1 k  ,即抛物线 2 ( ) y a x h k    为 2 ( 2) 1 y a x    , 抛物线 2 ( ) y a x h k    经过O ，即 2 ( 2) 1 y a x    的图象过(0,0) ， 2 0 (0 2) 1 a    ,解得 1 4 a  , 抛物线表达为 2 2 1 1 ( 2) 1 4 4 y x x x      ； （2）在 2 1 4 y x x   中，令y x 得 2 1 4 x x x   , 解得 0 x 或 8 x , (0,0) B  或 (8,8) B , ①当 (0,0) B 时，过B 作 / / BC AP 交抛物线于C ，此时 ABC OAP   ，如图： 在 2 1 4 y x x   中，令 0 y ,得 2 1 0 4 x x  ， 解得 0 x 或 4 x , (4,0) A  , 设直线AP 解析式为y kx b   ,将 (4,0) A 、 (2, 1) P  代入得： 0 4 1 2 k b k b        ,解得 1 2 2 k b      , 直线AP 解析式为 1 2 2 y x   , / / BC AP  , 设直线BC 解析式为 1 2 y x b   ,将 (0,0) B 代入得 0 b, 直线BC 解析式为 1 2 y x  , 由 2 1 2 1 4 y x y x x           得 0 0 x y      （此时为点O ，舍去）或 6 3 x y      , (6,3) C  ； ②当 (8,8) B 时，过P 作PQ x  轴于Q ,过B 作BH x  轴于H ，作H 关于AB 的对称点M ， 作直线BM 交抛物线于C ,连接AM ,如图： (2, 1) P   , (4,0) A , 1 PQ  ， 2 AQ ， Rt APQ  中， 1 tan 2 PQ OAP AQ    , (8,8) B  , (4,0) A , 4 AH  , 8 BH , Rt ABH  中， 1 tan 2 AH ABH BH    , OAP ABH   , H  关于AB 的对称点M , ABH ABM   , ABM OAP   ,即C 是满足条件的点， 设 ( , ) M x y , H  关于AB 的对称点M , 4 AM AH   ， 8 BM BH  ，  2 2 2 2 2 2 ( 4) ( 0) 4 ( 8) ( 8) 8 x y x y            , 两式相减变形可得 8 2 x y  ,代入即可解得 8 0 x y      (此时为H ，舍去）或 8 5 16 5 x y         , 8 (5 M  ,16) 5 , 设直线BM 解析式为y cx d   ,将 8 (5 M ,16) 5 , (8,8) B 代入得； 8 8 16 8 5 5 c d c d          ,解得 3 4 2 c d       , 直线BM 解析式为 3 2 4 y x   , 解 2 3 2 4 1 4 y x y x x            得 1 5 4 x y        或 8 8 x y      （此时为B ,舍去）， 5 ( 1, ) 4 C   , 综上所述，C 坐标为(6,3) 或 5 ( 1, ) 4  ； （3）设BC 交y 轴于M ，过B 作BH x  轴于H ，过M 作MN BH  于N ,如图： 点B 的横坐标为t ， 2 1 ( ,