37 几何模型正方形的存在性问题

正方形的存在性问题 一、方法突破 作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性 问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下： （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 从未知量的角度来说，正方形可以有4 个“未知量”，因其点坐标满足4 个等量关系，考 虑对角线性质，互相平分（2 个）垂直（1 个）且相等（1 个）． 比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如 果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个 数，可能无解． 从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为： （1）2 个定点+2 个全动点； （2）1 个定点+2 个半动点+1 个全动点; 甚至可以有：（3）4 个半动点． 不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！ 常用处理方法： 思路1：从判定出发 若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等； 若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等 若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4 个顶点中任取3 个， 必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3 个点，再求第 4 个点． 总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4 个动点，则考虑从 矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系． 正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主． 例：在平面直角坐标系中，（1,1），B（4,3），在平面中求、D 使得以、B、、D 为顶点 的四边形是正方形． O y x A B 如图，一共6 个这样的点使得以、B、为顶点的三角形是等腰直角三角形． 至于具体求点坐标，以 为例，构造△MB≌△ ，即可求得 坐标．至于像 、 这 两个点的坐标，不难发现， 是 或 的中点， 是 或 的中点． M N O y x A B C1 C6 C5 C4 C3 C2 C1 B A x y O 题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路． 二、典例精析 例一：两动点：构造等腰直角定第3 点 如图，抛物线 与 轴交于（-1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在过、B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q，使得四边形PBQ 为 正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． M y x B A O 【分析】 （1）抛物线： ； （2）已知（-1，0）、B（3，0），故构造以B 为斜边的等腰直角△PB，如下： M y x B A O P Q Q P O A B x y M 若四边形PBQ 是正方形，易得P 点坐标为（1，2）或（1，-2）， 当P 点坐标为（1，2）时，易得抛物线解析式为 ； 当P 点坐标为（1，-2）时，易得抛物线解析式为 ． 综上所述，抛物线解析式为 或 ． 【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3 个点的位置，均可通过构造等腰直角三角 形确定第3 个点，再求得第4 个点． 例二：两定两动：抛物线+抛物线 如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形BD 放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点 （0，2）、点B（1，0），抛物线 经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点P 与点Q（点、D 除外）使四边形BPQ 为正方形？若存在求 出点P、Q 两点坐标，若不存在说明理由． y x D C B A O 【分析】 （1）（3，1）； （2）抛物线： ； （3）考虑、B、P 构成等腰直角三角形且∠B 为直角，故可作出点P 如下： y x D C B A O P Q y x D C B A O P Q P O A B C D M N x y 构造三垂直全等：△MB≌△BP， 即可求得P 点坐标为（-1，-1），将点P 代入抛物线解析式，成立， 即点P 在抛物线上． 根据点P 构造点Q，通过点的平移易得点Q 坐标为（-2，1）， 代入抛物线解析式，成立，即点Q 也在抛物线上， 故存在，点P 坐标为（-1，-1），点Q 坐标为（-2，1）． 【小结】本题数据设计得巧妙，由、B 确定的点P 恰好在抛物线上，由、B、P 确定的点D 恰好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q，当然若适当调整数据，则答完全可以变成 不存在． 三、中考真题对决 1（2017·雅安）如图，已知抛物线 的图象经过点（1，0），B（-3，0），与 y 轴交于点，抛物线的顶点为D，对称轴与x 轴相交于点E，连接BD． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 在直线BD 上，当PE=P 时，求点P 的坐标． （3）在（2）的条件下，作PF⊥x 轴于F，点M 为x 轴上一动点，点为直线PF 上一动点， G 为抛物线上一动点，当以点F、、G、M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的 坐标． O P A B C D E x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）求E 的直线解析式或设P 点坐标表示PE=P， 可得P 点坐标为 ． （3）考虑F⊥FM，故四边形为MFG， 若要成为正方形，则G∥FM，GM⊥x 轴，即四边形MFG 为矩形． 设F 长度为m，则G=F=m，故G 点横坐标为m-2， 代入解析式得： ， 故 ， 解得： ， （舍）， ， （舍）． 则M 点坐标为 或 ． G F M N O A B C D E x y 【小结】根据题目描述可知四边形是矩形，考虑四边形的边均与坐标轴平行或垂直，故构 造一组邻边相等求得点坐标． 2（2017·枣庄）如图，抛物线 与x 轴交于点和点B，与y 轴交于点，点B 坐标为（6，0），点坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂 足为E，连接BD． 备用图 y x C B A O O A B C D E x y （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作M∥x 轴与抛物线交于点，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段M 为对角线作正方形MPQ，请写出点Q 的坐标． 【分析】 （1）抛物线： ； （2）考虑M∥x 轴且M 为对角线，故M 与PQ 互相垂直平分且相等， Q M N P y x C B A O 根据垂直可知：PQ⊥x 轴； 根据平分可知： ； 根据相等可知：设M 与PQ 交于点，则M=2P． 设M 点坐标为 ，则点坐标为 ， ， ， 由M=2P，可得 ， 解得： 或 ． 当 或 时， ，此时Q 点坐标为 ； 当 或 时， ，此时Q 点坐标为 ． 综上所述，Q 点坐标为 或 ． 【小结】考虑到本题对角线是与坐标轴平行或垂直，故构造对角线垂直平分且相等， 3（2018·南充删减）如图，抛物线顶点P（1，4），与y 轴交于点（0，3），与 轴交于点， B． （1）求抛物线的解析式． （2）若M、为抛物线上两个动点，分别过点M、作直线B 的垂线段，垂足分别为D、E． 是否存在点M、使四边形MED 为正方形？如果存在，求正方形MED 的边长；如果不 存在，请说明理由． P O A B C x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）由题意可得：M∥B，四边形MED 是矩形，若要变为正方形，可考虑①对角线互相垂 直；②有一组邻边相等． 思路1：考虑对角线 连接ME，则△MD 为等腰直角三角形，∠MED=45°， 即ME⊥x 轴， 设M 点坐标为 ， 则E 点坐标为 ， ①当M 点在E 点上方时，可推得点坐标为 ， M N D E y x C B A O 将点坐标代入抛物线： ， 得： ， 化简得： ， 解得： ， （舍） 此时ME=2，正方形边长为 ； ②当M 点在E 点下方时，同理可解：m=6． 此时ME=18，正方形边长为 ． 综上，正方形边长为 或 ． 思路2：考虑邻边相等 考虑M、两点均未知，但M∥B， 故可设直线M 解析式为y=-x+b， M N D E y x C B A O 联立方程： ， 化简为： ， M= ∵M=MD， ∴ 解得： ， 代入得边长为 或 ． 【小结】其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都 能解决问题． 4 ．（2021• 抚顺）直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，抛物线 经过点 ， ，与 轴的另一个交点为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴交 于点 ， 于点 ， 轴于点 ．当 时，求点 的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线 与 相交于点 ，点 在抛物线上，过 作 轴，交直线 于点 ． 是平面内一点，当以点 ， ， ， 为顶点的四边 形是正方形时，请直接写出点 的坐标． 解：（1）令 ，则 ， ， 令 ，则 ， ， 抛物线 经过点 ， ， ， ， 抛物线解析式为 ； （2）设 ， 轴交 于点 ， ， ， ， ， ， ， 连接 ，延长 交 轴于点 ， 四边形 是平行四边形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点横坐标为 ， ， ， ， 解得 或 （舍， ； （3）令 ，则 ， 解得 或 ， ， 设 的解析式为 ，将 、 代入， ， ， ， ， ， 联立 ， 解得 ， ， 以点 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当 时， 点在 上， 点在 上， 点在抛物线上， 或 ， 当 时， ， ， 的中点为 ，则 的中点也为 ， ； 当 时， ， ， ， 的中点为 ，则 的中点也为 ， ； ②如图4，图5，当 时，此时 轴， ， 或 ， ， 当 ， 时， ， ； 当 ， 时， ， ； 综上所述：当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形时， 点坐标为 或 或 或 ．