35 几何模型菱形的存在性问题

菱形的存在性问题 一、方法突破 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个 “对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形BD 是菱形， 则其4 个点坐标需满足： 考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1 在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3 个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3 个未知量，与矩形相同． 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2 个动点，多则有3 个动点，可细分如下两大类 题型： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点 （2）1 个定点+3 个半动点 解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“+=B+D”（、BD 为对角线），再结合一组 邻边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4 个点中任取3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先 确定第3 个点，再确定第4 个点． 1．看个例子： 如图，在坐标系中，点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点在x 轴上，点D 在平面中，求 D 点坐标，使得以、B、、D 为顶点的四边形是菱形． O y x A B 思路1：先平四，再菱形 设点坐标为（m，0），D 点坐标为（p，q）． （1）当B 为对角线时，由题意得：（B 和D 互相平分及=B） ，解得： （2）当为对角线时，由题意得：（和BD 互相平分及B=B） ，解得： 或 （3）当D 为对角线时，由题意得： ，解得： 或 C D B A x y O C D B A x y O C D B A x y O D C B A x y O C D B A x y O 思路2：先等腰，再菱形 先求点，点满足由、B、构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确 定，再确定D 点． （1）当B=时， 点坐标为 ，对应D 点坐标为 ； 点坐标为 ，对应D 点坐标为 ． （2）当B=B 时， 点坐标为（8，0），对应D 点坐标为（4，-3）； 点坐标为（2，0），对应D 点坐标为（-2，-3）． （3）=B 时， 点坐标为 ，D 点坐标为 ． D C B A x y O D C D C B A x y O D C D C B A x y O 以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有 更为简便的方法． 二、典例精析 例一：综合与探究 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，=2，=6，连接和B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、M、为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 y x O C B A A B C O x y 【分析】 （1）抛物线： ； （2）先考虑M 点位置，即由、、M 三点构成的三角形是等腰三角形： ①当=M 时， 即M== ，M 点坐标为 、 ， 对应点坐标为 、 ． ②当=M 时， 即M== ，M 点坐标为（0，6）， 对应点坐标为（2，0）． ③当M=M 时， 勾股定理可求得M 点坐标为 ， 对应点坐标为 ． 综上，点坐标为 、 、（2，0）、 ． 如下图依次从左到右． M N y x O C B A M N y x O C B A M N y x O C B A M N y x O C B A 例二：综合与探究 如图1 所示，直线y=x+与x 轴交于点（-4,0），与y 轴交于点，抛物线 经过 点，． （1）求抛物线的解析式 （2）如图2 所示，M 是线段的上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线和抛物线分别 交于点P、．若点P 恰好是线段M 的中点，点F 是直线上一个动点，在坐标平面内是 否存在点D，使以点D，F，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 图2 图1 M N P y x O C B A A B C O x y 【分析】 （1）抛物线解析式： ； （2）设M 点坐标为（m，0）（-4<m<0）， 则点坐标为 ，P 点坐标为（m，m+4）， 若P 是M 中点，则 ， 解得： ， （舍） 故P（-1，3）、M（-1，0） 考虑到F 点在直线上，故可先确定F 点位置，再求得D 点坐标． 当PM=PF 时， D2 F2 D1 F1 A B C O x y P N M PF=3，可得 、 ， 对应D 点坐标分别为 、 ． 当MP=MF 时， D3 A F3 ( ) B C O x y P N M MP=MF，可得 ，对应D 点坐标为 ． 当FP=FM 时， F4 D4 A B C O x y P N M FP=FM，F 点在PM 垂直平分线上，可得 ，对应D 点坐标为 ． 综上所述，D 点坐标有 、 、 、 ． 例三：如图，已知直线 分别交x 轴、y 轴于点、B，抛物线过、B 两点，点P 是线段B 上一动点，过点P 作P⊥x 轴于点，交抛物线于点D． （1）若抛物线的解析式为 ，设其顶点为M，其对称轴交B 于点． ①求点M、的坐标； ②是否存在点P，使四边形MPD 为菱形？并说明理由． A B C D O P x y 【分析】 （1）①M 点坐标为 ，点坐标为 ． ②由题意可知M∥PD，故四边形MPD 若是菱形，首先M=PD 考虑到M、是定点，可先求得 ， 设 ，则 ， ， 令 ，即 ， 解得： ， ． 故P 点坐标为 ，D 点坐标为 ． 但此时仅仅满足四边形MPD 是平行四边形，本题要求的是菱形，故还需加邻边相等． 但此时P、D 已定，因此接下来要做的只是验证邻边是否相等． 由两点间距离公式得： ， P≠M，故不存在点P 使四边形MPD 是菱形． N M y x P O D C B A 【小结】为什么此题会不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M、是定 点，P、D 虽为动点但仅仅是半动点，且P、D 横坐标相同，故本题只需一个字母便可表示 出4 个点的坐标，对于菱形四个点满足： 若只有1 个未知数或2 个未知数，便出现方程个数＞未知量个数的情况，就有可能会无解． 方程个数<未知数个量，可能无法确定有限组解； 方程个数>未知数个量，可能会无解． 特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有1 个动点还是有2 个动点，都是 由其图形本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求 可以有3 个半动点或者1 个全动点+1 个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无 解的情况． 不难想象，对于正方形来说，可以有4 个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正 方形，只能在平面中再取另外两动点，即2 个全动点，当然，也有可能是1 全动+2 半动， 甚至是4 个半动点． 三、中考真题对决 1．（2021•湘潭）如图，一次函数 图象与坐标轴交于点 、 ，二次函数 图象过 、 两点． （1）求二次函数解析式； （2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，点 是对称轴上一动点，在抛物线上是否 存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 点坐标；若不 存在，请说明理由． 解：（1）在 中，令 得 ，令 得 ， ， ， 二次函数 图象过 、 两点， ，解得 ， 二次函数解析式为 ； （2）存在，理由如下： 由二次函数 可得其对称轴为直线 ， 设 ， ，而 ， 与 关于直线 对称， ， ①当 、 为对角线时，如图： 此时 的中点即是 的中点，即 ， 解得 ， 当 ， 时，四边形 是平行四边形， 由 ， ， 可得 ， ， 四边形 是菱形， 此时 ； ② 、 为对角线时，如图： 同理 、 中点重合，可得 ， 解得 ， 当 ， 时，四边形 是平行四边形， 由 ， ， 可得 ， 四边形 是菱形， 此时 ； ③以 、 为对角线，如图： 、 中点重合，可得 ， 解得 ， ， 时，四边形 是平行四边形， 由 ， ， 可得 ， 四边形 是菱形， 此时 ； 综上所述， 的坐标为： 或 或 ． 2．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 左 侧），与 轴交于点 ． （1）求 ， ， 三点的坐标； （3）点 在 轴上，点 在直线 上，点 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 ， 使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不 存在，请说明理由． 解：（1）在 中，令 ，得 ， 解得： ， ， ， ， 令 ，得 ， ； （3）存在， 如图2， ， 抛物线对称轴为直线 ， 以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形， 分三种情况： 对角线或 为对角线或 为对角线， ①当 为对角线时， ， ， 点为直线 与抛物线对称轴的交点，即 ， ， ， ， ； ②当 为对角线时， ， ， 设 ，则 ， ， ， 解得： ， ， ③当 对角线时， 与 互相垂直平分，设 ，则 ， ， 在直线 上， ， ， 综上所述，点 的坐标为： ， ， ， ． 3．（2021•通辽）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于 点 ，动点 在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （3）若点 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为 顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说 明理由． 解：（1） 抛物线 交 轴于 ， 两点， ， 解得： ， 该抛物线的解析式为 ； （2）在 中，令 ，得 ， ， 的周长为： ， 是定值， 当 最小时， 的周长最小． 如图1，点 、 关于对称轴对称，连接 交于点 ，则点 为所求的点． ， 周长的最小值是： ． ， ， ， ， ． 周长的最小值是： ． 抛物线对称轴为直线 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，得： ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， ； （3）存在． 设 ， ， ， 则 ， ， ， 四边形 是菱形， 分三种情况：以 为对角线或以 为对角线或以 为对角线， ①当以 为对角线时，则 ，如图2， ， 解得： ， ， ， ， ， ②以 为对角线时，则 ，如图3， ， 解得： ， ， ， ③当以 为对角线时，则 ，如图4， ， 解得： ， ， ， ， ， 综上所述，符合条件的点 的坐标为： ， ， ， ， ． 4．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴相交于点 和点 ，与 轴交于点 ． （1）求 、 的值； （2）点 为抛物线上的动点，过 作 轴的垂线交直线 于点 ． ①当 时，求当 点到直线 的距离最大时 的值； ②是否存在 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由； 若存在，请求出 的值． 解：（1）由二次函数 的图象与 轴相交于点 和点 ，得： ， 解得： ， ， ， ． （2）① 点 在抛物线上 ， ， ， 过 作 轴的垂线交直线 于点 ， ， 设点 到直线 的距离为 ， 直线 是一三象限的角平分线， ， 当 点到直线 的距离最大时， 取得最大值， 当 时， 有最大值 ， 当 点到直线 的距离最大时， 的值为 ． ② 抛物线与 轴交于点 ， 时， ， ， ，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形， ， 又 ， ， ， 解得： ， ， ， ， 当 时， 与 重合，菱形不成立，舍去； 当 时， ， ， 此时，四边形 是平行四边形， ， ，平行四边形 不是菱形，舍去； 当 时， ， ， 此时，四边形 是平行四边形， ， ，平行四边形 不是菱形，舍去； 当 时， ， ， 此时，四边形 是平行四边形， ， ，平行四边形 不是菱形，舍去； 综上所述：不存在 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形． 5．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线 2 y x bx c    经过点B ， ( 4,5) D  两点，且与直线DC 交于另一点E ． （1）求抛物线的解析式； （2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ， E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请 说明理由； 解：（1）由点D 的纵坐标知，正方形ABCD 的边长为5， 则 5 4 1 OB AB AO    ，故点B 的坐标为(1,0) ， 则 1 0 16 4 5 b c b c          ，解得 2 3 b c     ， 故抛物线的表达式为 2 2 3 y x x    ； （2）存在，理由： 点D 、E 关于抛物线对称轴对称，故点E 的坐标为(2,5) ， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 1 x  ，故设点F 的坐标为( 1, ) m  ， 由点B 、E 的坐标得， 2 2 2 (2 1) (5 0) 26 BE      ， 设点Q 的坐标为( , ) s t ， 以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形， 故点B 向右平移1 个单位向上平移5 个单位得到点E ，则 ( ) Q F 向右平移1 个单位向上平移 5 个单位得到点 ( ) F Q ，且 ( ) BE EF BE EQ   ， 则 2 2 1 1 5 26 (2 1) ( 5) s t m m            或 2 2 1 1 5 26 ( 2) ( 5) s t m s t             ， 解得 5 17 2 17 m s t       或 0 5 22 22 s t m        ， 故点F 的坐标为( 1,5 17)   或( 1,5 17)   或( 1, 22)  或( 1, 22)   ；