专题244 圆周角定理【十大题型】 【人版】 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】......................................................................2 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】................................................. ................... 5 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】...........................................................................................................9 【题型4 翻折中的圆周角的运用】.............................. ................13 【题型5 利用圆周角求最值】...............................................................................................................................18 【题型6 圆周角中的证明】......................

专题244 圆周角定理【十大题型】 【人版】 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】......................................................................2 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】................................................. ................... 5 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】...........................................................................................................9 【题型4 翻折中的圆周角的运用】.............................. ................13 【题型5 利用圆周角求最值】...............................................................................................................................18 【题型6 圆周角中的证明】......................

【分析】连接 ，由圆周角定理得 ，由 得， ， ，在 中，由 ，计算即可得到答． 【详解】解：连接 ，如图所示， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握 圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线． 【分析】 过点 作 ，交 于点 ，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果． 【详解】 解：过点 作 ，交 于点 ， 是 的外接圆， ， ， 又 ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， ， ， ， 故选： ． 【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键． 【答】 【分析】连接 ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答． 【详解】解：连接 ，如图所示： 点 在 上， 为 的中点， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， 根据圆周角定理可知 ， ， 故选：． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径 构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个 端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 例1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，B，D 是 的弦，延长B，D 相交于点P．已知 ， ，则 的度数是（ ） ．30° B．25° ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 【详解】连接 ,∵ ,∴ ∴ , ∵ ,∴ 是等边三角形, ∴ , ∵ ， ,∴ , ，∴ , ∵ , ， ，即 的半径为 ，故选: 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型解读】已知B 是⊙的 【分析】连接 ，过点 作 于点 ，先根据圆周角定理可得 ，再 根据等腰三角形的三线合一可得 ， ，然后解直角三角形可得 的长，由此即可 得． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， ∵圆的半径为7， ， ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角 三角形的方法是解题关键．

址：sp432575988tbm 长的弦． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优 弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 考点02 垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等． 考点04 圆周角定理及其推论 1．定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 考点05 与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌 握基本图形的性质是解本题的关键． 2．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）

【点睛】本题考查了 圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性 质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D 为上的动点（点、除外）， BD 的延长线交⊙于点E，连接E．(1)求证 ；(2)当 时，求E 的长． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得 ，再由对顶角相等得 连接E，可证明 ，得出 代入相关数据可求出 ，从而可求出绪论． 【详解】（1）∵ 所对的圆周角是 ，∴ ，又 ，∴ ； （2）∵△ 是等边三角形，∴ ∵ ，∴ ∴ ∵ ∴ ，∴ ∴ 连接 如图，∵ ∴ ∴∠ 又∠ ，∴△ ∴ ， ∴ ∴ ，∴ （负值舍去） ∴ ，解得， 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 例3．（2023·江 面给出了不完整的定 理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过 外一点 作 的两条割线，一条交 于 、 点，另一条交 于 、 点． 求证： ． 证明一：连接 、 ， ∵ 和 为 所对的圆周角，∴______． 又∵ ，∴______，∴______． 即 ． 研究后发现，如图②，如果连接 、 ，即可得到学习过的圆内接四边形 ．那么或许割线定理 也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．

图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 【答】(1)详见解析 (2) 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论； (2)根据已知条件可知 ，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关 系即可求得线段 的长度． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 是 的直径， ∴ ， 址：sp432575988tbm （2）解：∵ ， ∴ ， ∵在 中， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 又∵ ， 即 ， 解得 （取正值）， ∴ ， 【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和 判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键． 2 如图， 内接于 ， 是 的直径， 为 上一点， ，延长 交 于点 ， ． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）如图所示，连接 ，先求出 ，再由圆周角定理得到 ，进而求出 ，再根据弧长公式进行求解即可； （2）如图所示，连接 ，先由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可 得 ，再由 是 的直径，得到 ，进而求出 ，进一步推出 ，由此即可证明 是 的切线． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ，

于点M，交 于点G，交 于点，求 的长． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接 ，由 是 的直径可得 ，进而可得 ，再根据圆周角定理可得 ，进而可证 ， ，即可证明 与 相切； （2）连接 ， ，先证 是等边三角形，推出 ，再 根据圆周角定理证明 ，进而可得 ，再根据弧长公式即 可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， 是 的直径， ， 平分 交 于点E， （2）解：如图，连接 ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的直径， ， ．即 的长为 ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟 练应用圆周角定理是解题的关键． 例2（连半径，证垂直）．如图， 中， ， 过B、两点，且 是 的 切线，连接 交劣弧 于点P． (1)证明： 是 的切线； (2)若 ， ，求 ， 平分 ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 直线 是 的切线； （2） 线段 是 的直径， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半 径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 【变式训练3】．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，为 上一点，经过点，D 的 分别交 ， 于点E，F．

利用弧、弦、圆心角关系求面积 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 题型18 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 题型19 利用弧、弦、圆心角关系求最值 题型20 利用弧、弦、圆心角关系证明 题型21 利用圆周角定理求解 题型22 利用圆周角定理推论求解 题型23 已知圆内接四边形求角度 题型24 利用圆的有关性质求值 题型25 利用圆的有关性质证明 题型26 利用圆的有关性质解决翻折问题 题型27 利用圆的有关性质解决最值问题 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距 题型31 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角 考点要求 新课标要求 命题预测 圆的相关概念  ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周 角的概念  了解等圆、等弧的概念 在中考数学中，圆的基本性质在小题中通 常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定 理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中 档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可 以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出 理解圆既是轴对称图形，也是中心 对称图形 垂径定理及推论  探索并证明垂径定理:垂直于弦的 直径平分弦以及弦所对的两条弧 弧、弦、圆心角 的关系  探索圆周角与圆心角及其所对弧的 关系，知道同弧(或等弧)所对的圆 周角相等 圆周角定理及推 论  了解并证明圆周角定理及其推论 圆内接四边形的 性质  理解圆内接四边形的对角互补 考点一 圆的相关概念 定义内容 补充说明 圆 在一个平面内，

题型20 利用圆周角定理求解 题型21 利用圆周角定理推论求解 题型22 已知圆内接四边形求角度 题型23 利用圆的有关性质求值 题型24 利用圆的有关性质证明 题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题 题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题 题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距 题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角 题型01 个 ．2 个 D．3 个 【答】 【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记 定理是解此题的关键． ①根据确定圆的条件进行解答即可； ②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可； ③根据垂径定理即可得出结论； ④根据三角形外心的性质可得出结论； ⑤根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误； ①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆 ．①④ B．②③ ．①③④ D．②③④ 【答】 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可． 【详解】解：①、对角线互相平分的四边形是平