第26讲 圆的相关概念及性质（讲义）（解析版）

第26 讲 圆的相关概念及性质 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 圆的相关概念 题型01 理解圆的相关概念 题型02 圆的周长与面积相关计算 题型03 圆中的角度计算 题型04 圆中线段长度的计算 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 考点二 圆的性质 题型01 由垂径定理及推论判断正误 题型02 利用垂径定理求解 题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解 题型04 根据垂径定理与相似三角形综合求解 题型05 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标 题型06 利用垂径定理求平行弦问题 题型07 利用垂径定理求同心圆问题 题型08 垂径定理在格点中的应用 题型09 利用垂径定理的推论求解 题型10 垂径定理的实际应用 题型11 利用垂径定理求取值范围 题型12 利用弧、弦、圆心角关系判断正误 题型13 利用弧、弦、圆心角关系求角度 题型14 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 题型15 利用弧、弦、圆心角关系求周长 题型16 利用弧、弦、圆心角关系求面积 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 题型18 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 题型19 利用弧、弦、圆心角关系求最值 题型20 利用弧、弦、圆心角关系证明 题型21 利用圆周角定理求解 题型22 利用圆周角定理推论求解 题型23 已知圆内接四边形求角度 题型24 利用圆的有关性质求值 题型25 利用圆的有关性质证明 题型26 利用圆的有关性质解决翻折问题 题型27 利用圆的有关性质解决最值问题 题型28 利用圆的有关性质求取值范围 题型29 利用圆的有关性质解决多结论问题 题型30 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距 题型31 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角 考点要求 新课标要求 命题预测 圆的相关概念  ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周 角的概念  了解等圆、等弧的概念 在中考数学中，圆的基本性质在小题中通 常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定 理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中 档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可 以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出 题，难度中等或偏上在整个中考中的占比也不 是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在 3-13 分左右，属于中考中的中档考题 所以， 考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的 基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在 后续的结合问题中更好的举一反三 圆 的 性 质 圆的对称性  理解圆既是轴对称图形，也是中心 对称图形 垂径定理及推论  探索并证明垂径定理:垂直于弦的 直径平分弦以及弦所对的两条弧 弧、弦、圆心角 的关系  探索圆周角与圆心角及其所对弧的 关系，知道同弧(或等弧)所对的圆 周角相等 圆周角定理及推 论  了解并证明圆周角定理及其推论 圆内接四边形的 性质  理解圆内接四边形的对角互补 考点一 圆的相关概念 定义内容 补充说明 圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A所形成的图形叫圆以O点为圆心的圆记作⊙，读作圆 由圆的定义可知，确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置 ②半径，它确定圆的大小 圆心为、半径为r 的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长r 的点组成的图形 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦 ①在一个圆上可以画无数条弦和直径 ②直径是弦，但弦不一定是直径 ③直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧用符号：“❑ ⏜”表 示 以A 、B为端点的弧记作AB ⏜ ，读作：“圆弧B”或“弧B” ①半圆是弧,但弧不一定是半圆 ②弧有长度和度数, 规定半圆的度数为 180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大 于 180° 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫 做半圆 优弧 大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 同圆 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆 ①在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等 弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧 ②同圆或等圆的半径相同 等圆 半径相等的圆叫做等圆 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和 圆相交，二者缺一不可． 圆内接 四边形 如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内 接四边形这个圆叫做这个四边形的外接圆 题型01 理解圆的相关概念 【例1】（2023·广东湛江·统考二模）下列说法中，正确的是（ ） ①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相 等；④弧分为优弧和劣弧． ．① B．①③ ．①③④ D．②③④ 【答】 【分析】根据菱形和矩形的判定方法、圆周角定理、弧的分类，逐项判断即可得出答． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正 确； ②对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，对角线相等的平行四边形才是矩形，故该选项错误； ③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误； ④弧分为优弧、劣弧、半圆弧，故该项错误； 综上可知，正确的有①， 故选：． 【点睛】本题考查菱形、矩形的判定，圆周角定理，弧的分类，属于基础题，熟练掌握上述知识点是解题 的关键． 【变式1-1】（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ） ．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 ．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴 【答】D 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意； 、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意； D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大． 【变式1-2】（2021·河南南阳·校联考一模）下列关于圆的说法，正确的是（ ） ．弦是直径，直径也是弦 B．半圆是圆中最长的弧 ．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆 【答】 【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可． 【详解】解：、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意； B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意； 、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意； D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答． 【变式1-3】（2022·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ） ①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形． ．①② B．②③ ．②④ D．④ 【答】 【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断． 【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误； ④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确； 故选：． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的 关键． 题型02 圆的周长与面积相关计算 【例2】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的 仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那 么周围圆环面积约为（ ） ．40000 π B．1600 π ．64000 π D．160000 π 【答】D 【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为O，连接OC，则大圆的半径为OC，小圆的半径为OB， ∴设小圆的半径为OB=r，大圆的半径OC=R， ∵BC=400像素，∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， 在Rt △OBC中，O B 2+BC 2=OC 2，即r 2+BC 2=R 2， ∴R 2−r 2=BC 2=400 2， ∵S圆环=π R 2−π r 2=π( R 2−r 2)， ∴S圆环=π( R 2−r 2)=π ×BC 2=π ×400 2=160000 π， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键． 【变式2-1】（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公计划砌一个形状如图（1）所示的喷 水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌 喷水池的边沿（ ） ．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多 ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定 【答】 【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L 的关系即可． 【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3, ∴d1+d2+d3=D 根据圆周长公式，得图（1）中，需要2πD； 图（2）中，需要πD +πd1+πd2+πd3=πD +π( d1+d2+d3)= 2πD 故选：． 【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径． 【变式2-2】（2021·河南南阳·校联考一模）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”．如图所 示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答】π 1 ﹣ 【分析】根据阴影部分面积＝圆的面积 中间正方形的面积即可求得． ﹣ 【详解】解：∵“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4， ∴“外圆”的的半径为1，“内方”的边长为1， ∴圆的面积为π，中间正方形的面积为1， ∴图中阴影部分面积为：π 1 ﹣． 故答为：π 1 ﹣． 【点睛】本题考查了圆的面积，明确阴影部分面积的组成是解决本题的关键． 【变式2-3】（2022·山东济宁·统考一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与 正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位） 【答】14 【分析】根据圆的性质和正方形的性质求圆的半径和正方形的边长，利用面积公式求解即可 【详解】解：如图 由题意得与EF 共线 ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1 ∴EF：=3：1 ∴E：=3：1 设E=3x，= x 在正方形BD 中 由勾股定理得：D=❑ √2x ∴圆的面积为：π×（3x）2=9πx2 正方形的面积为（❑ √2x）2=2 x2 ∴9πx2÷2 x2=9 π 2 ≈14 故答为：14 【点睛】本题主要考查了圆的性质和正方形的性质，以及圆与正方形的面积公式的求解 【变式2-4】（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为，半径为r 的小圆面积增加 一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到 大顺序排列）是 ． 【答】1：❑ √2：❑ √3：2 【分析】设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4 a．由题意得四个圆是相似形， 根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答． 【详解】解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4 a， 所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方， 因而半径的比是1:❑ √2:❑ √3:2，周长的比等于相似比，即半径的比，是1:❑ √2:❑ √3:2． 故答为：1:❑ √2:❑ √3:2． 【点睛】本题主要考查了圆相似形时，解题的关键是：掌握面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相 似比． 题型03 圆中的角度计算 【例3】（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点在弦AB上，连接 并延长交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 【答】 【分析】连接，根据圆的半径相等证明∠B=∠B 和∠D=∠D，得到答． 【详解】解：连接， ∵=B， ∴∠B=∠B=30°， ∵=D， ∴∠D=∠D=20°， ∴∠BD=∠B+∠D=50°， 故选：． 【点睛】本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键． 【变式3-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，B 是⊙的弦，⊥B，垂足为，OD∥AB，＝1 2D，则∠BD 的度数为（ ） ．90° B．95° ．100° D．105° 【答】D 【分析】连接B，即得出B＝D，从而得出∠BD＝∠DB．根据含30 度角的直角三角形的性质结合题意可判 断∠B＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BD＝∠B＝30°，从而根据三角形内角和求出∠BD＝∠DB＝ 75°，最后由∠BD＝∠B+∠BD 求解即可． 【详解】如图：连接B， ∴B＝D， ∴∠BD＝∠DB． ∵＝1 2D， ∴＝1 2B． ∵⊥B， ∴sin∠OBC=OC OB =1 2, ∴∠B＝30°． ∵OD∥AB， ∴∠BD＝∠B＝30°， ∴∠BD＝∠DB＝75°， ∴∠BD＝∠B+∠BD=30°+75°＝105°． 故选D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三 角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键． 【变式3-2】（2022·河北廊坊·统考模拟预测）如图，CD是⊙O的直径，弦DE ∥AO，若∠A=25°， 则∠D的度数为（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 【答】 【分析】由=，得∠=∠=25°，再由三角形外角性质得∠D=50°，然后根据平行线的性质可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴=， ∴∠=∠=25°， ∴∠D=∠+∠=50°， ∵∥DE， ∴∠D=∠D=50°， 故选：． 【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目， 难度不大． 【变式3-3】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在扇形AOB中，D为´ AB上的点， 连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为（ ） ．35° B．52.5° ．70° D．72° 【答】 【分析】连接OD，根据CD=OA，OA=OD，设∠C=α，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得 ∠A=3α，根据三角形内角和定理即可求得 【详解】解：如图，连接OD， ∴OA=OD ∴∠A=∠ODA ∵ CD=OA ∴∠C=∠DOC 设∠C=α， ∴∠A=∠ODA=∠DOC+∠C=2α 在△AOC中，∠O=75° ∴∠A+∠C=105° ∴3α=105° ∴α=35° ∴∠A=2α=70° 故选 【点睛】本题考查了圆的基本概念，等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 题型04 圆中线段长度的计算 【例4】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，点D 在斜边AB上，以BD为直 径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的 长为（ ） ．40 3 B．8 ．24 5 D．6 【答】 【分析】连接OE，证明OE∥BC，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OE，如图， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠CBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠CBE=∠OEB， ∴OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴OE BC = AO AB ， ∵⊙O的半径为3，AD=2， ∴AO=AD+OD=5，AB=AO+OB=8， ∴BC=OE⋅AB AO =3×8 5 =24 5 ， 故选：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式4-1】（2023·云南临沧·统考一模）已知AB=12，、D 是以AB为直径的⊙O上的任意两点，连接 CD，且AB⊥CD，垂足为M，∠OCD=30°，则线段MB的长为 ． 【答】9 【分析】根据含30 度角的直角三角形的性质得到OM=1 2 OC=3，则MB=OM +OB=9． 【详解】解：如图， ∵AB⊥CD，∠OCD=30°， ∴OM=1 2 OC， ∵AB=12， ∴OC=OB=6， ∴OM=3， ∴MB=OM +OB=9， 故答为：9． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，含 30 度角的直角三角形的性质，正确求出OM=1 2 OC=3是解 题的关键． 【变式4-2】（2023·广东·统考一模）已知、B 是圆上的点，以为圆心作弧，交OA、OB于点、D．分别以 点和点D 为圆心，大于1 2 CD长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段OE，交AB于点F，交⊙O于点 G．若OF=3cm，∠AOB=120°，则⊙O的半径为 cm． 【答】6 【分析】连接CD，根据作图得出OE垂直平分CD，根据等腰三角形的性质得出 ∠AOE=∠BOE=1 2 ∠AOB=60°，OF ⊥AB，利用直角三角形的性质，求出 OA=2OF=2×3=6 (cm )即可． 【详解】解：连接CD， 根据作图可知，OC=OD，OE垂直平分CD， ∵OC=OD，OE⊥CD， ∴∠AOE=∠BOE=1 2 ∠AOB=60°， 即∠AOF=∠BOF=1 2 ∠AOB=60°， ∵AO=BO， ∴OF ⊥AB， ∴∠AFO=90°， ∴∠OAF=30°， ∴OA=2OF=2×3=6 (cm )． 故答为：6． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是 熟练掌握直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半． 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 【例5】（2023·山东德州·统考三模）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P 是线段BC上一 动点，点M 为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ） ．5 2 B．12