题型5 圆的相关证明与计算（复习讲义）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型五圆的相关证明与计算（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 长的弦． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优 弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 考点02 垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦 的垂线，构造直角三角形． 2．推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 考点03 圆心角、弧、弦的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等 量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等． 考点04 圆周角定理及其推论 1．定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 考点05 与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙内； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)d=r⇔点在⊙上； (3)d>r⇔点在⊙外． 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0 个 1 个 2 个 数量关系 d>r d=r d<r 考点06 切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点． （2）切线到圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点07 三角形与圆 1 三角形外接圆 外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点， 交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】如图，连接 ，证明 ， ，可得 ， 从而可得 ． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 切 于点B， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选： 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌 握基本图形的性质是解本题的关键． 2．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点，连接 ，若 ，则 的度数为（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】B 【分析】连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，从而可得 ，再根 据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，连接 ， 直线 与 相切， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解 题关键． 3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，连接 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由 是 的直径，得出 ，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出 ，进而即可求解． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．设 的面积 为 的面积为 ，若 ，则 的值为（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【分析】如图，过 作 于 ，证明 ，由 ，即 ，可得 ，证明 ，可得 ，设 ， 则 ，可得 ， ，再利用正切的 定义可得答． 【详解】解：如图，过 作 于 ， ∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故选： 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出 合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 5 如图，，B，是半径为1 的⊙上的三个点，若B＝ ，∠B＝30°，则∠B 的度数为（ ） ．95° B．100° ．105° D．110° 【答】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】 连接B，，根据勾股定理逆定理可得∠B＝90°，∠B＝∠B＝45°，根据圆周角定理可得∠B ＝2∠B＝60°，∠B＝∠B＝60°，由此可求得答． 【详解】 解：如图，连接B，， ∵＝B＝1，B＝ ， ∴2＋B2＝B2， ∠B ∴ ＝90°， 又∵＝B， ∠B ∴ ＝∠B＝45°， ∠B ∵ ＝30°， ∠B ∴ ＝2∠B＝60°， 又∵＝B， ∠B ∴ ＝∠B＝60°， ∠B ∴ ＝∠B＋∠B＝105°， 故选：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是 解决本题的关键． 6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点 在 上， 为 的中点． 若 ，则 等于（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【分析】连接 ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答． 【详解】解：连接 ，如图所示： 点 在 上， 为 的中点， ， ， ， 根据圆周角定理可知 ， ， 故选：． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是 解决问题的关键． 7 如图，B 是⊙的直径，，B 是⊙的弦，若 ，则 的度数为（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．70° B．90° ．40° D．60° 【答】 【分析】 直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可． 【详解】 B ∵ 是⊙的直径， ∠B=90° ∴ ， ∴在Rt△B 中，∠B=90°-∠=70°， 故选：． 【点睛】 本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键． 8 如图， 中， ， ， ．点 为 内一点，且 满足 ．当 的长度最小时， 的面积是（ ） ．3 B． ． D． 【答】D 【分析】 由题意知 ，又 长度一定，则点P 的运动轨迹是以 中点为圆心， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 长为半径的圆弧，所以当B、P、三点共线时，BP 最短；在 中，利用勾 股定理可求B 的长，并得到点P 是B 的中点，由线段长度即可得到 是等边三角形， 利用特殊 三边关系即可求解． 【详解】 解： 取 中点，并以为圆心， 长为半径画圆 由题意知：当B、P、三点共线时，BP 最短 点P 是B 的中点 在 中， 是等边三角形 在 中， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】 本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合 题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆． 9．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是直 径， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)证明见解析 (2) ， 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可， （2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证 是直角三角形，用勾股定理求出 长， 再通过三角形相似即可求解． 【详解】（1）连接 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 为半径， ∴ 为 的切线， （2）∵ 为 直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中，由勾股定理得： ． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与 性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 10．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 【答】(1)详见解析 (2) 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论； (2)根据已知条件可知 ，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关 系即可求得线段 的长度． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 即 ， ∴ 是 的切线； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵在 中， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 又∵ ， 即 ， 解得 （取正值）， ∴ ， 【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和 判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 11 如图，，B 是 上两点，且 ，连接B 并延长到点，使 ，连接． （1）求证：是 的切线． （2）点D，E 分别是，的中点，DE 所在直线交 于点F，G， ，求GF 的长． 【答】（1）见解析；（2）2 【分析】 （1）先证得△B 为等边三角形，从而得出∠B=60°，利用三角形外角的性质得出 ∠=∠B=30°，由此可得∠=90°即可得出结论； （2）过作M⊥DF 于M，D⊥于，利用勾股定理得出= ，根据含30°的直角三角形 的性质得出D = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长． 【详解】 （1）证明：∵B=，=B B==B ∴ △B ∴ 为等边三角形 ∠B=60° ∴ ，∠B=60° B=B ∵ B=B ∴ ∠=∠B ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又∵∠B=60°=∠+∠B ∠=∠B=30° ∴ ∠=∠B+∠B=90° ∴ ∴是⊙的切线； （2）∵=4 B=B=B=4 ∴ =8 ∴ = ∴ = = D ∵ 、E 分别为、的中点， E//B ∴ ，D= 过作M⊥DF 于M，D⊥于 则四边形MD 为矩形 D=M ∴ 在Rt△D 中，∠=30°，∴D= D= M= ∴ 连接G，∵M⊥GF GF=2MG=2 ∴ = =2 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】 本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解 题的关键． 12．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上， ，点 在线段 的延长线上，且 ． (1)求证：EF 与 相切； (2)若 ，求 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，结合已知推出 ，再证 明 ，推出 ，即可证明结论成立； （2）设 半径为x，则 ，在 中，利用正弦函数求得半径的长，再在 中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 半径， ∴EF 与 相切； （2）解：设 半径为x，则 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ，即 ， 解得 ， 经检验， 是所列方程的解， ∴ 半径为4，则 ， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定 和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ， 与 轴相交于点 ．连接 ，过点 作 于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求证：四边形 为矩形． (2)已知 的半径为4， ，求弦 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ， ∴ 轴． ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形． （2）如图，连接 ． 四边形 是矩形， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， ． 点 为圆心， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理 是解题的关键． 14 如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ， 若 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为8， ，求 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）连接E，证明E⊥EF 即可； （2）由 证得 ，运用正弦的概念可得结论． 【详解】 解：（1）证明：连接E，如图， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm =E ∵ ∠E=∠E ∴ ． EF=PF ∵ ， ∠EPF=∠PEF ∴ ∠P=∠EPF ∵ ， ∠P=∠EPF ∴ ， ∠EF=∠P ∴ ． D⊥B ∵ ， ∠=90° ∴ ． ∠E+∠P=90° ∴ ． ∠E+∠EF=90° ∴ ∠EF=90° ∴ E⊥EF ∴ ． E ∵ 是 的半径 EF ∴ 是圆的切线， （2）∵D⊥B ∴ 是直角三角形 ∵ ∴ 设 ，则 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由勾股定理得， 由（1）得， 是直角三角形 ∴ ∴ ，即 ∵ ∴ 解得， 【点睛】 此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定 是解答此题的关键． 15．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以 的边 为直径作 ，交 边于 点D，过点作 交 于点E，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 和 的长． 【答】(1)见解析 (2) ， 【分析】（1）根据 ，得到 ，再根据同弧所对的圆周角相等，得到 ，可证明 是等腰三角形，即可解答； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）根据直径所对的圆周角为直角，得到 ，设 ，根据勾股定理列方 程，解得x 的值，即可求出 ；解法一：过点 作 的垂线段，交 的延长线于点 F，证明 ，求出 的长，根据勾股定理即可解出 的长；解法二：连接 ,得到角相等，进而证得 ，根据对应边成比例即可解出 的长． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ； （2）解：设 ， 是 的直径， ， ， ，即 ， 根据（1）中的结论，可得 ， 根据勾股定理，可得 ，即 ， 解得 ， （舍去）， ， , 根据勾股定理，可得 ； 解法一：如图，过点 作 的垂线段，交 的延长线于点F， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 可得方程 ，解得 ， ， ， 根据勾股定理，可得 ． 解法二：如图，连接 , ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质， 平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题