专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型（解析版）

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 【答】 【分析】如图，连接 ，设 交于点 ，根据题意可得 是 的直径， ，设 ，证明 ，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出 ，根据 ，勾股定理求得 ，根据 即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，设 交于点 ， ∵ 是 的直径， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 设 则 ， ， ， ， 中， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ，解得 ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查了 圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性 质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D 为上的动点（点、除外）， BD 的延长线交⊙于点E，连接E．(1)求证 ；(2)当 时，求E 的长． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得 ，再由对顶角相等得 ，故可证明绪 论； （2）根据 可得 由 可得出 连接E，可证明 ，得出 代入相关数据可求出 ，从而可求出绪论． 【详解】（1）∵ 所对的圆周角是 ，∴ ，又 ，∴ ； （2）∵△ 是等边三角形，∴ ∵ ，∴ ∴ ∵ ∴ ，∴ ∴ 连接 如图，∵ ∴ ∴∠ 又∠ ，∴△ ∴ ， ∴ ∴ ，∴ （负值舍去） ∴ ，解得， 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ． 证明：如图1，连接 ． ∵ ， ．∴ ，（根据） ∴ @，∴ ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，B 是 的弦，P 是 上一点， ， ， ， 求 的半径． 【答】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似； ；(2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长 交圆于点D，延长 交圆于点F， 设圆的半径为rcm，则 ， ，根据（1）中结论代入求解即可． 【详解】（1）连接 ．∵ ， ． ∴ ，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴ ，∴ ，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答为：有两个角对应相等的两个三角形相似； ； （2）延长 交圆于点D，延长 交圆于点F， 设圆的半径为rcm，则 ， ， 根据（1）中结论得 ，即为 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， 的半径为 ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交 弦定理是解题关键． 模型2 双割线模型 条件：如图，割线与弦F 交圆于点E 和点G。 结论： 例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图， 、 是⊙ 的割线， ， ， 则 = 例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图， 为 的割线，且 ， 交 于点， 若 ，则 的半径的长为 ． 【答】 【分析】延长 交圆于点D，连接 、 ，由圆内接四边形内对角互补性质可得 ， 结合邻补角互补可得 ，继而证明 ，由相似三角形对应边成比例解得 ， 由此计算 ，最后根据线段的和差解题即可． 【详解】如图，延长 交圆于点D，连接 、 ， 四边形 为圆内接四边形，∴ ． ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴半径为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关 知识是解题关键． 例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆 有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线 定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定 理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过 外一点 作 的两条割线，一条交 于 、 点，另一条交 于 、 点． 求证： ． 证明一：连接 、 ， ∵ 和 为 所对的圆周角，∴______． 又∵ ，∴______，∴______． 即 ． 研究后发现，如图②，如果连接 、 ，即可得到学习过的圆内接四边形 ．那么或许割线定理 也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接 、 ， 【答】证明一： ， ∽ ， ；证明二见解析 【分析】（1）证明 ∽ 即可得到结论； （2）根据圆内接四边形的性质可得 ，进一步证明 ∽ 【详解】解：证明一：连接 、 ， ∵ 和 为 所对的圆周角，∴ ． 又∵ ，∴ ∽ ，∴ ．即 ． 故答为： ， ∽ ， ， 证明二：连接 、 ， ∵四边形 为圆内接四边形，∴ ， 又∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ∽ ，∴ ，即 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 模型3 切割线模型 条件：如图，B 是圆的切线，是圆的割线。 结论： 例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知 是 的切线， 为切点， 与 相交于 ． 两点， ， ，则 的长等于（ ) ． B．16m ． D． 【答】D 【分析】根据已知得到 的长，再根据切割线定理即可求得 的长 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，故选D． 【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质是解决本题的关键 例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们 把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平 面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书．其中第三卷命题36 2 ﹣圆幂定 理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充 完整，并写出证明过程． 已知：如图，是⊙外一点， ． 求证： ． 【答】B 是⊙的切线，直线D 为⊙的割线，B2＝•D，见解析 【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△B∽△DB，即可求解． 【详解】解：（已知：如图，是⊙外一点，）B 是⊙的切线，直线D 为⊙的割线． 求证：B2＝•D． 故答为：B 是⊙的切线，直线D 为⊙的割线，B2＝•D， 证明：连接BD，连接B 并延长交⊙于点E，连接E， ∵B 是⊙的切线，∴∠B+∠BE＝90°，∵BE 是圆的直径，∴∠BE＝90°＝∠E+∠BE， ∴∠B＝∠E，而∠E＝∠DB，∴∠B＝∠BD， ∵∠B＝∠DB，∴△B∽△DB，∴ ，∴B2＝•D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键． 例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想， 特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》， 这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设， 被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书．其中第三卷命题36-2 圆幂定理（切割线定理）内 容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中 项．（比例中项的定义：如果 、 、三个量成连比例即 ，则 叫做 和的比例中项） (1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补 充完整，并写出证明过程．已知：如图， 是圆 外一点， 是圆 的切线，直线 为圆 的割线． 求证： 证明： (2)已知 ， ，则 的长度是 ． 【答】(1) ，证明见解析(2) 【分析】（1）根据比例中项的定义写出“求证”， 连接 并延长交 于点 ，连接 ，先根 据圆的切线的性质可得 ，再根据圆周角定理可得 ，从而可得 ，然后根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据线段和差求出 ，再根据（1）的结论即可得． 【详解】（1）求证： ． 证明：如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ， 是 的切线， ， ， 由圆周角定理得： ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ． （2）解： ， ， ， 由（1）已证： ， ， 解得 或 （不符题意，舍去），故答为： ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质 和圆周角定理是解题关键． 模型4 弦切角模型 条件：如图，B 是圆的切线，B 是圆的直径。 结论：1） ； 2） ；3） 。 例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个 课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的 角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线 与⊙相切于 点， ， 为⊙上不同于 的两点，连接 ， ， ．请你写出图 中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测 和 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的 方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线 与⊙相切于 点， ， 为圆上不同于 的两点，连接 ， ， ． 求证： ．（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理_____ _． 【答】（1） ， ， ， （任意写出两个即可）；（2）见解析；（3）弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 【分析】（1）根据弦切角的定义加以识别即可；（2）过点作直径F，连接DF，借助于同弧所对的圆周角 相等，将∠DE 转化为∠F，所以只需证∠DB=∠F 即可．（3）由题意可归纳：弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角． 【详解】解：（1）弦D、E 分别与切线B 构成的弦切角为：∠DB，∠EB； 弦D、E 分别与切线构成的弦切角为：∠D，∠E． 故答为： ， ， ， （任意写2 个即可） （2）证明：过 作直径 ，连接 ． ∵ 是 直径，∴ ．∴ ． 又∵ 与 相切于点 ，∴ ．∴ ．∴ ． ∴ ．∴ ． （3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理及推论、直角三角形的两锐角互余等知识点，熟知上述 图形的相关性质是解题的基础，对新定义的理解及问题的概括能力是关键 例2．（2023·河南洛阳·统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000 多年前，由我国的墨子给 出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希 腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100 多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们 把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹 弧所对的圆周角度数． (1)如图1， 是 的切线．点，D 在 上．求证： ；(2)如图2， 是 的切线．连 接 交 于点D， 为 的直径．若 ， ， 的半径为5，求 的长． 【答】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，并延长交 于点M，连接 ，先证明 ，再根据同弧或等弧所 对的圆周角相等得出 ，即可证明 ；（2）连接 ， ，证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，即 ，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接 ，并延长交 于点M，连接 ，如图所示： ∵ 是 的直径，∴ ，∴ ， ∵ 是 的切线，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ． （2）解：连接 ， ，如图所示： ∵ 是 的直径，∴ ，∴ ，∵ 是 的切线，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 与（1）同理可得， ， ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，切线的性质定理，直径所对的圆周角为 直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质定理． 例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦 切角．如图1， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦， 即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13 卷，以第1 卷的23 个定义、5 个公设和5 个公理作为基本出发点，给出了119 个定义和465 个命题及证明．第三卷中命题32 一弦切角定 理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度 数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦，点 在 上，连接 ， ， ， ．求证： ．证明： (2)如图3， 为 的切线， 为切点，点 是 上一动点，过点 作 于点 ， 交 于 ，连接 ， ， ．若 ， ，求弦 的长． 【答】(1)见解析(2)21 【分析】（1）如图2，延长 交 于 ，连接 ，根据圆周角定理得到 ，求得 ，根据切线的性质得到 ，求得 ，于是得到结论；（2）如图 3，连接 ，根据勾股定理得到 ，据切线的性质得到 ，根据相似三角 形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：求证： ， 证明：如图2，延长 交 于 ，连接 ， 是 的直径， ， ， 为 的切线， ， ， ， ， ；即 ； （2）如图3，连接 ， ， ， ， 为 的切线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线 是解题的关键． 模型5 托勒密定理模型 条件：如图，B、D 是圆的两条弦； 结论： 例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptlemy）（公元90 年～公元168 年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒 密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形 内接于 ．求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作 ，交 于点E． ∵ ∴ （依据1） ∴ （依据2） ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________________．依据2：________________________________． （2）如图3，四边形 内接于 ， 为 的直径， ， ，点D 为 的中点， 求 的长． 【答】（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题． （2）首先证明 ，由托勒密定理，构建方程求出 即可． 【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等． “依据2”是两角对应相等的两个三角形相似． 故答为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似． （2）∵ 为 的直径，∴ ， ∵点D 为 的中点，∴ ，∴ ，∴在 中， ∵ ∴在 中， ∵ ∴ ，∴ 【点睛】本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数， 托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题． 例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 如图①，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？ 如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现： 证明：如图③，作 ，交 于点 ∵ ，∴ ， ∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明） 【应用迁移】如图④，已知等边 外接圆 ，点 为 上一点，且 ， ，求 的长 【答】【旧知再现】互补， 110；【问题创新】见解析；【应用迁移】 【分析】【重温旧知】根据圆周角定理，得出 ， ，化简得出 ，利用等腰三角形的两个底角相等和圆内接四边形对角互补，即可得 ； 【提出问题】所得等式两边加上D•B，右边变形后即可得证； 【应用迁移】由上题的结论，根据 为等边三角形，可得B==B，代入化简即可求出P 的长 【详解】（1）如图示： 连接，，根据圆周角定理，则有： ， ∴ ∴圆内接四边形的对角互补； ∵ ，∴在等腰三角形BD 中， ∴ （2）证明：如图，∵ ∴ ，即 ， 又∵ ，∴ ∴ ，即 ∴ ， ∴ ， （3）由（2）可知 ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ，∴ 即 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的 判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 课后专项训练 1．（2023 山东九年级课时练习）如图B 与圆相切于，D 是圆内一点，DB 与圆相交于．已知B＝D＝3，D ＝2，B＝6，则圆的半径为 ． 【答】 【分析】连接B 并延长，交圆于F，过作E⊥BF，连接 ，证明 ，则可得B2＝