专题12 圆与几何综合的两种考法（解析版）

专题12 圆与几何综合的两种考法 类型一、切线问题 例1．（连圆心，证半径）如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分 交 于点E，过点E 作 ，交 的延长线于点F． (1)求证： 与 相切； (2)若 ， ，过点E 作 于点M，交 于点G，交 于点，求 的长． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接 ，由 是 的直径可得 ，进而可得 ，再根据圆周角定理可得 ，进而可证 ， ，即可证明 与 相切； （2）连接 ， ，先证 是等边三角形，推出 ，再 根据圆周角定理证明 ，进而可得 ，再根据弧长公式即 可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， 是 的直径， ， 平分 交 于点E， ， ， ， ， ， 是 的半径， 与 相切； （2）解：如图，连接 ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的直径， ， ．即 的长为 ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟 练应用圆周角定理是解题的关键． 例2（连半径，证垂直）．如图， 中， ， 过B、两点，且 是 的 切线，连接 交劣弧 于点P． (1)证明： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的半径． 【答】(1)见解析；(2)6 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定理得到 ， 再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）设 的半径为r，则 ， ．在 中，利用勾股定理列出方程， 解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵ 是 的切线， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 的半径， ∴ 是 的切线； （2）设 的半径为r，则 ， ． 在 中， ∵ ， ∴ ， 解得： ． ∴ 的半径为6． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练 掌握圆的有关性质是解题的关键． 【变式训练1】．如图， 内接于 是 的直径， 的切线 交 的延长 线于点 交 于点 ，交 于点 ，连接 ． (1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由； (2)若 的半径为 ，求阴影部分的面积． 【答】(1)相切，理由见解析；(2) 【分析】（1）连接 ，证明 ，由全等三角形的判定与性质得出 ，由切线的判定可得出结论； （2）证明 是等边三角形，求出 ， ，由三角形面积公式和扇形的 面积公式可得出答． 【详解】（1）解：直线 与 相切． 理由如下：连接 ， 为圆 切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又 为圆 的半径， 为圆 的切线； （2） ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行 线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与 性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 【变式训练1】．如图， 为 的直径， 是圆的切线，切点为 ， 平行于弦 ． (1)求证： 是 的切线； (2)直线 与 交于点 ，且 ， ，求 的半径． 【答】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据平行线的性质可得 ， ，根据等边对等角可得 ，推得 ，根据全等三角形的判定和性质可得 ，即可根据切 线的判定定理证明结论； （2）设 的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出 的半径． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ 是 的半径，∴D 是 的切线； （2）解：设 的半径为r， 在 中， ，即 ， 解得： ， ∴ 的半径为． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等 边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的 关键． 【变式训练2】．如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点， 平分 交 于点D，过点D 作直线 于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 于点M． (1)求证：直线 是 的切线； (2)求证： ； 【答】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角平分线的定 义得到 ，证明 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判 定定理证明即可； （2）根据题意证得 ，再根据等边对等角即可证明． 【详解】（1）解：证明：连接 ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 直线 是 的切线； （2） 线段 是 的直径， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半 径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 【变式训练3】．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，为 上一点，经过点，D 的 分别交 ， 于点E，F． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的半径． 【答】(1)见解析；(2) 的半径为5． 【分析】（1）连接 ，可得 ，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得 ，根据“内错角相等，两直线平行”可得 ，根据平行线的性质， 可得 ，再根据切线的判定方法，即可判定； （2）过点作 ，交 于点G，根据垂径定理可得 ，故 ，根据矩形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ， ， 是 的平分线， ， ， ， ， 为 的半径，点D 在 上， ∴ 是 的切线； （2）解：过点作 ，交 于点G，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， 的半径为5． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的 性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线． 类型二、求长度 例．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，D 是 延长线的一点， 交 的延长线于E， 于F，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ，求 的长． 【答】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）要证 是 的切线，只要连接 ，再证 即可； （2）由切线的性质及勾股定理可得 的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得 的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答． 【详解】（1）证明：连接 ； ∵ ，又 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 又 是 的半径， ∴ 是 的切线． （2）解：∵ ， ∴ ， ， ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质．要证某线是圆的 切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 【变式训练1】．如图，在 中， ，点D 在边 上，点E 在边 上． 以点D 为圆心， 为半径作 与 相切于点F，已知 ． (1)求证： ； (2)连接 ，若 ，求线段 的长． 【答】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，根据 与 相切于点F 得到 ，结合 ，即可 得到 ，结合 ， ，得到 ， 即可得到证明； （2）根据 ， 得到 ，即可得到 ，即 可得到 ，即可得到答； 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 与 相切于点F， ∴ ， ∴ ，又 ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：在 和 中， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由（1） ， ∴ ， ∴ ； 【点睛】本题考查圆的切线的性质，三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据三角形 全等的性质转换线段关系． 【变式训练2】．如图，在 中， ，是边 上的点，以 为半径的圆分别 交边 、 于点D、E，过点D 作 于点F． (1)求证：直线 是 的切线； (2)若 ，求劣弧 的长． 【答】(1)详见解析；(2) 【分析】（1）连接 ，等边对等角推出 ，得到 ，进而推出 ，即可得证； （2）平行线的性质，求出 的度数，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：证明：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，而 于点F， ∴ ， 又 是 的半径， 即直线 是 的切线； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ，即圆的半径为1， ∴劣弧 的长 ． 【点睛】本题考查切线的判定，求弧长．解题的关键是掌握切线的判定定理以及弧长的计 算公式． 【变式训练3】．如图， 是 的直径，点 是 的中点，过点 的切线与 的延 长线交于 ，连接 ， ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的面积． 【答】(1)见解析；(2) 的面积为 【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，则 ，则 ，根据点 是 的中点，等弧所对的圆周角相等可得 ，根据平行线的判定和性质，即可； （2）连接 ，根据平行四边形的判定，得四边形 是平行四边形，根据 ， 则平行四边形 是菱形，则 是等边三角形，根据等边三角形的性质，得 ， ；根据直角三角形中， 所对的直角边是斜边的一边，得 ，再根据圆的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵点 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：连接 ， ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积为： ． 【点睛】本题考查圆，三角形，菱形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线， 等边三角形的性质，菱形的判定和性质． 【变式训练4】．如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点， 为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点E． (1)求 的度数； (2)如图2，过点作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．若 ， ，求 的长． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论； （2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解： 为 的直径， ， 为 的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接 ， 设 ， 则 ， ， ， 为 的直径， ， 在 中， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 解得 或 （不合题意舍去）， ， ， 是 的切线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆 周角定理和勾股定理是解题的关键． 课后训练 1．如图，以 为直径的 经过 的顶点， ， 分别平分 和 ， 的延长线交 于点D，连接 ， (1)求证： ： (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由角平分线的定义和圆周角定理可知， ， ，可得 即可证明结论； （2）连接 、 、 ， 交 于点 ，由题意易知 ，进而可知 ，结合 ，可知 垂直平分 ．易证 是等腰直角三角形， ，可得 ，可得 ．设 ，则 ，在 和 中，根据 ， 可列方程 解出的值，进而完成解答． 【详解】（1）证明：由圆周角定理可得： ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． （2）解：连接 、 ， 交 于点 ， 由圆周角定理可得： ，由（1）知 ， ∴ ． ∴ ． ∵ ． ∴ 垂直平分 ． ∵ 为直径， ∴ ，则 是等腰直角三角形． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ，解得： ∴ ． 设 ，则 ， 在 和 中， ， 即： ，解得 ，即 ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点， 证明 是等腰直角三角形是解题关键． 2．如图，在 中， 为直径， 为弦， 为 延长线上的一点，连接 ． (1)若 的长为 ，求 的度数． (2)若 ， ，求证： 是 的切线． 【答】(1) ；(2)证明见解析 【分析】（1）连接 ，如图，设 的度数为 ，利用弧长公式得到 ， 求出得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数； （2）连接 ，如图，先利用圆周角定理得到 ，则利用勾股定理先计算出 ，再计算出 ，所以 ，然后利用勾股定理的逆定理证明 为直 角三角形， ，所以 ，从而根据切线的判定定理得到结论． 【详解】（1）解：连接 ，如图，设 的度数为 ， ∵ 的长为 ， 为直径， ， ∴ ， 解得 ，即 ， ∴ ； （2）连接 ，如图， ∵ 为直径， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， ， ∴ ， 而 为直径， ∴ 是 的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 也考查了圆周角定理、弧长公式和勾股定理的逆定理． 3．如图，在 中，、B，三点在 上，点在 边上，点E 在 外， ， 垂足为F． (1)若 ，求证： 是 的切线； (2)若 ，求 的长． 【答】(1)详见解析(2) 【分析】（1）连接 和 ，四边形 是平行四边形得 ，则 ，则 ，即可得到 ， 即可得到 ，又由 是 的半径即可得到结论； （2）过点F 作 交 于点G，四边形 是平行四边形，则 ， ，则 ，得四边形 为平行四边形，则 ，设 的半径为x，则 ，由垂径定理可得 ，在 中，由 勾股定理可得 则 ，解得 即可得到 ， 则 ，再证 ，在 中， 即可得到 的长． 【详解】（1）证明：连接 和 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 是 的半径， 是 的切线 （2）解：过点F 作 交 于点G， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ， 设 的半径为x，则 ∴ ， 在 中， ∴ ， 解得 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴在 中， ∴ ． 【点睛】此题考查了切线的判定定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等 知识，熟练掌握切线的判定定理和添加合适的辅助线是解题的关键． 4．如图1，已知 为 的直径，为 上一点， 于E，D 为弧 的中点，连 接 ，分别交 于点F 和点G． (1)求证： ； (2)如图2，若 ，连接 ，求证： ． 【答】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可得 ∠G+∠G＝90°，根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后根据 已知可得 ，从而可得 ，进而可得 ，最后根据对顶角相 等可得 ，从而可得 进而根据等角对等边即可解答； （2）连接 ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得 ，然后 根据 证明 ，从而可得 ，进而可得 ，最后根据等 弧所对的圆周角相等可得 ，从而可得 ，进而利用等腰三角形的三 线合一性质即可解答． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 为 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵D 为弧 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图 形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．如图， 中两条互相垂直的弦 交于点P， 经过点，E 是 的中点，连接 ，延长 交 于点F． (1)若 ， ，求 的长； (2)求证： ． 【答】(1) 的长为 ；(2)见解析 【分析】（1）根据垂径定理可得 垂直平分 ，从而可得 ，然后 在 中，利用勾股定理求出 的长，进行计算即可解答； （2）根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后利用直 角三角形斜边上的中线性质可得 ，从而可得 ，再利用对顶角相等，以 及同弧所对的圆周角相等可得 ，最后利用等量代换可得 ， 从而利用三角形内角和定理进行计算可得 ，即可解答． 【详解】（1）解：∵E 是 的中点， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的长为 ； （2）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵E 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径 定理是解题的关键．