题型5 圆的相关证明与计算 类型1 圆的基本性质证明与计算（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 圆的基本性质证明与计算（专题训练） 1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中， ， 则 （ ） ．1 B．2 ． D．4 【答】B 【分析】连接 ，由圆周角定理得 ，由 得， ， ，在 中，由 ，计算即可得到答． 【详解】解：连接 ，如图所示， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握 圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线． 2 如图， 是 的外接圆， ，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ） ．4 B． ．3 D． 【答】B 【分析】 过点 作 ，交 于点 ，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果． 【详解】 解：过点 作 ，交 于点 ， 是 的外接圆， ， ， 又 ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， ， ， ， 故选： ． 【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键． 3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点 在 上， 为 的中点． 若 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】连接 ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答． 【详解】解：连接 ，如图所示： 点 在 上， 为 的中点， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， 根据圆周角定理可知 ， ， 故选：． 【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是 解决问题的关键． 4 如图， 是 的内接三角形， ， ，连接 ， ，则 的长 是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】 过点 作 于 ，根据垂径定理求出 ，根据圆周角定理求出 ，根据正弦 的定义求出 ，根据弧长公式计算求解． 【详解】 解：过点 作 于 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 ， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故选： ． 【点睛】 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关 键． 5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 关键． 5 设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ） ．有最大值 π B．有最小值 π ．有最大值 π D．有最小值 π 【答】 【分析】 由2r+l＝6，得出l＝6 2 ﹣r，代入圆锥的侧面积公式：S 侧＝πrl，利用配方法整理得出，S 侧 ＝﹣2π(r﹣ )2+ π，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：∵2r+l＝6， ∴l＝6 2 ﹣r， ∴圆锥的侧面积S 侧＝πrl＝πr(6 2 ﹣r)＝﹣2π(r2 3 ﹣r)＝﹣2π[(r﹣ )2﹣ ]＝﹣2π(r﹣ )2+ π， ∴当r＝ 时，S 侧有最大值 ． 故选：． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于 圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长熟记圆锥的侧面积: 是解题 的关键． 6．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点．若 ，则 （ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7 如图，B 为 的直径，，D 为 上的两点，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】 连接D，如图，根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出 ， 从而得到 的度数． 【详解】 解：连接D，如图， B 为 的直径， ， ， ． 故选B． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】 本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够 熟练掌握相关知识进行求解 8．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ， ， ，则 的长度是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据切线的性质及正切的定义得到 ，再根据勾股定理得到 ． 【详解】解：连接 ， ∵ 是 的切线， 为切点， ∴ ， ∵ ， ， ∴在 中， ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴在 ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关 键． 9 如图， 是 的外接圆，D 是 的直径．若 ，弦 ，则 的 值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】 连接D，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得D 的长，然后即可求得∠D 的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠B=∠D，从而可以得到s∠B 的值． 【详解】 解：连接D，如右图所示， ∵D 是⊙的直径，D=10，弦=6， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∠ ∴ D=90°， ∴D= =8， ∴s∠D= = ， ∠ ∵ B=∠D， ∴s∠B 的值为 ， 故选：． 【点睛】 本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是 求出s∠D 的值，利用数形结合的思想解答． 10．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中，若 ， ，则扇形 (阴影部分)的面积是( ) ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据圆周角定理求得 ，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理 是解题的关键． 11 如图，B 是⊙的弦，且B＝6，点是弧B 中点，点D 是优弧B 上的一点，∠D＝30°，则圆 心到弦B 的距离等于（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【分析】 连接，，，交B 于E，先根据垂径定理求出E=3，然后证明三角形是等边三角形，从而可以 得到∠E=30°，再利用三线合一定理求解即可 【详解】 解：如图所示，连接，，，交B 于E， ∵是弧B 的中点，B=6， ⊥ ∴ B，E=BE=3， ∠ ∵ D=30°， ∠ ∴ =2∠D=60°， 又∵=， △ ∴是等边三角形， ⊥ ∵ B, ∴ ， , ∴ ∴ ∴圆心到弦B 的距离为 ， 故选 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】 本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理， 解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 12．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在 中，弦 相交于点P，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据圆周角定理，可以得到 的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出 的度数． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出 的度数． 13 如图，∠B＝36°，点在边B 上，⊙与边相切于点D，交边B 于点E，F，连接FD，则∠FD 等于（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．27° B．29° ．35° D．37° 【答】 【分析】 连接D，根据切线的性质得到∠D＝90°，根据直角三角形的性质得到∠D＝90° 36° ﹣ ＝54°， 根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】 解：连接D， ⊙ ∵ 与边相切于点D， ∠ ∴ D＝90°， ∠ ∵ B＝36°， ∠ ∴ D＝90° 36° ﹣ ＝54°， ∴ ， 故选：． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14．（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形 内接于 为对角线， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 经过圆心 ．若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 为圆的直径， ∴ ， ∴ ； 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角 形两锐角互余，掌握它们是关键． 15 如图，点是以点为圆心，B 为直径的半圆上一点，连接，B，．若＝4，B＝3，则s∠B 的 值是（ ） ．1 B． ． D． 【答】B 【分析】 如图，过点作⊥B 于．利用勾股定理求出B，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解：如图，过点作⊥B 于． ∵B 是直径， ∠ ∴ B＝90°， ∵＝4，B＝3， ∴B＝ ， ∴＝ B＝ ， ∵ ＝ •B•＝ ••B， ∴＝ ， ∴s∠B＝ ＝ ， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出的长，属 于中考常考题型． 16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣 弧 上．若 ，则 （ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据 互相垂直可得 所对的圆心角为 ，根据圆周角定理可得 ，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 半径 互相垂直， ， 所对的圆心角为 ， 所对的圆周角 ， 又 ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中， 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 17 如图，B 是⊙的直径，点是⊙上一点，连接，B，则∠的度数是（ ） ．60° B．90° ．120° D．150° 【答】B 【分析】 直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可． 【详解】 解：∵B 是⊙的直径，点是⊙上一点， ∠ ∴ =90° 故选：B 【点睛】 此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的 圆周角是直角是解答此题的关键． 18．（2023·四川·统考中考真题）如图， 是 的直径，点，D 在 上，连接 ，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 19 如图， 是⊙的直径，点 、 在⊙上， ，则 的大小为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【解析】 【分析】 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍得到∠B=2∠BD=40°，即可求出答 【详解】 ∵ , ∠ ∴ B=2∠BD=40°， ∠ ∴ =180°-∠B=140°， 故选：B 【点睛】 此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍，邻补角的定义 20．（2023·广东·统考中考真题）如图， 是 的直径， ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 21 如图， 内接于圆， ，过点 的切线交 的延长线于点 ．则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【解析】 【分析】 连接，根据切线的性质得出∠P=90°，再由∠P=28°得出∠P，最后根据外角的性质得出∠B 【详解】 解：连接， ∵P 与圆相切， ⊥ ∴ P， ∠ ∵ B=90°， ∴B 为直径， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∠ ∵ P=28°， ∠ ∴ P=180°-90°-28°=62°， 而=， ∠ ∴ =∠=2∠B=∠P， 即∠B=31°， 故选B 【点睛】 本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出∠P 22．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形 中， ，连 接 ， ， ， ， ．则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出 ，根据圆周角定理得出 ，根据已知条件得出 ，进而根据圆周角定理即 可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形 中， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∵ ∴ , 故选：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关 键． 23 如图，已知 是 的直径， 是弦，若 则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【解析】 【分析】 先由圆周角定理得到∠DB=∠BD=36°，然后根据 是 的直径确定∠DB=90°，最后根 据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】 解：∵ 是弦，若 ∴ DB= ∠ ∠BD=36° 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 是 的直径 ∠ ∴ DB=90° BD=90°- DB=54° ∴∠ ∠ ． 故选：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键． 24 如图， 是圆 上一点， 是直径， ， ，点 在圆 上且平分弧 ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【解析】 【分析】 由 是圆的直径，可得∠=∠D=90°，又 在圆 上且平分弧 ，则 ∠BD=∠BD=45°，即△BD 是等腰直角三角形在Rt△B 中，根据勾股定理求出B 长，从而可 求D 的长 【详解】 解：∵ 是圆的直径， ∠=∠ ∴ D=90° 又 在圆 上且平分弧 ， ∠ ∴ BD=∠BD=45°，即△BD 是等腰直角三角形 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在Rt△B 中， ， ，根据勾股定理，得B= =2 △ ∵BD 是等腰直角三角形， ∴D= = 故选:D 【点睛】 此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数 形结合思想的应用． 25 如图，四边形 的外接圆为⊙ ， ， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【解析】 【分析】 根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得 ，根据三角形的内角和可得 ，利用角的和差运算即可求解． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 【点睛】 本题考查同弧所对的圆周角相等、三角形的内角和、等边对等角，熟练应用几何知识是解 题的关键． 26．（2023·上海·统考中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，点在 延长线上，且 ． (1)求 的半径； (2)求 的正切值． 【答】(1)5 (2) 【分析】（1）延长 ，交 于点 ，连接 ，先根据圆周角定理可得 ， 再解直角三角形可得 ，由此即可得； （2）过点 作 于点 ，先解直角三角形可得 ，从而可得 ，再利用 勾股定理可得 ，然后根据正切的定义即可得． 【详解】（1）解：如图，延长 ，交 于点 ，连接 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由圆周角定理得： ， 弦 的长为8，且 ， ， 解得 ， 的半径为 ． （2）解：如图，过点 作 于点 ， 的半径为5， ， ， ， ， ，即 ， 解得 ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 的正切值为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三 角形的方法是解题关键． 27 如图，在 中，以 为直径的 交 于点 弦 交 于点 且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求 的直径 的长度． 【答】（1）见解析；（2） 的直径 的长度为 【解析】 【分析】 (1)先用勾股定理的逆定理证明△EM 为直角三角形，且∠EM=90°，再根据M∥B 即可证明 ∠B=90°进而求解； (2)连接BM，由B 是直径得到∠MB=90°，再分别在Rt△MB 和Rt EM △ 中使用∠的余弦